Диссертация (1150419), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Полученное значение J dij сравнивается с предшествующим значением размера минимального эллипсоида: если J dij оказывается меньшим,то предшествующее значение отбрасывается, в противном случае осуществляется переход к новым значениям номеров пар.После завершения циклов получаем решение (2.1.26).В заключение еще раз подчеркнем, что в результате рассмотрениязадач (2.1.9) и (2.1.25) мы имеем верхнюю и нижнюю оценки для решениязадачи (2.1.8), т.е. справедливо соотношениеJ d*  J d0  J dNs .(2.1.27)Если при анализе оценок оказывается, что J dNs  J d*  J d*   d , где  d – допустимое ухудшение размера минимального инвариантного эллипсоида, тов качестве решения задачи (2.1.8) можно приближенно принять решение(2.1.26) задачи (2.1.25) на конечной сетке.2.2.

Синтез управлений, удовлетворяющих дополнительнымдинамическим требованиям при действии ступенчатых возмущенийВыполнение заданных требований к модальным свойствам системыуправления, естественно, не ограничивает круг вопросов, связанных с достижением желаемого качества процессов управления. В частности, однимиз важнейших условий, которым всегда уделяется внимание при построении систем управления МПО, является хорошая динамика замкнутой системы при воздействии на нее возмущений ступенчатого характера, определяемых воздействием ветра, морских течений и другими причинами.65Рассмотрим движения замкнутой системы при нулевых начальныхусловиях для векторов состояния объекта, привода и регулятора под воздействием внешних возмущений видаw (t )  w 0 1(t ) ,(2.2.1)lгде 1(t ) – ступенчатая единичная скалярная функция, w 0  E – вектор спостоянными компонентами.Определение 2.2.1.

Будем называть замкнутую линейную систему(2.1.1), (2.1.2) астатической по вектору контролируемых координат y , если под воздействием возмущения (2.2.1) для любого вектора w 0  E l выполняется равенствоlim y  t   0 .t Регулятор (2.1.2), обеспечивающий выполнение указанного равенства, будем называть астатическим по вектору y .Наряду с обратными связями (2.1.2), которые далее будем называтьпозиционными, введем в рассмотрение скоростные регуляторы [17] видаu  μx  νy ,(2.2.2)с матрицами μ и ν , имеющими соответствующие размерности и постоянные компоненты.Определение 2.2.2.

Будем говорить, что скоростной регулятор(2.2.2) эквивалентен позиционному регулятору (2.1.2) по отработке заданного командного сигнала, если обратная связь (2.2.2) обеспечивает такойже характеристический полином замкнутой системы, что и (2.1.2), и еслипереходные процессы по переменной y в соответствующих замкнутых66системах при отсутствии возмущений тождественно совпадают.Теорема 2.2.1. Пусть для модели (2.1.1) выполняются условия k  m ,rank C  m , т.е. количество измеряемых координат равно количеству управляющих воздействий. Тогда, при отсутствии внешних возмущений, регуля-xтор u  K x x  K δ  K   , являющийся решением задачи (2.1.21), можноδоднозначно представить в скоростной эквивалентной форме (2.2.2), гдематрицы μ и ν однозначно определяются матрицей K .

При этом регулятор(2.2.2) будет являться астатическим по вектору y , если матрица ν не вырожденная.Доказательство. Преобразуем регулятор (2.1.2) к форме (2.2.2), выражая векторы x и δ через производные x и регулируемые координаты yв силу уравнений объекта при отсутствии возмущений.

При нулевом внешнем воздействии ( w  t   0 ) система (2.1.1) принимает видx  Ax  Bδ,δ  u,(2.2.3)y  Cx.Поскольку rank C  m , соответственно перенумеруем компонентывектора x и представим матрицу измерений в блочном виде C   C1 C 2  ,где блок C1 имеет размерность m  (n  m) , а блок C 2 является невырожденной квадратной матрицей размера m  m . Тогда уравнение измерениядля системы (2.1.1) можно представить в видеy  C1x1  C 2 x 2 , x  (x1x2 ),(2.2.4)где x 2  E m , x1  E n  m – вспомогательные векторы.Поскольку det C 2  0 , из последнего равенства можно однозначновыразить вектор x 2 , получая67x 2  C2 1y  C2 1C1x1 .(2.2.5)Соответственно, можно преобразовать и уравнение состояния в системе (2.2.3), которое примет видx  A1x1  A 2 x 2  Bδ  x  A1x1  A 2C 21y  A 2C 21C1x1  Bδ  x  H1x1  A 2C21y  Bδ,(2.2.6)H1  A1  A 2C 21C1.x nВводя вспомогательный вектор z   1   E , получаемδx   H1 B  z  A 2C21y  Mz  A 2C2 1y.Тогда, если матрица M – не вырожденная, тоz  M 1x  M 1A 2C21y .(2.2.7)С учетом введенных обозначений и соотношения (2.2.5) базовый закон управления (2.1.2) преобразуется к видуu  K x x  K  δ  K x1x1  K x 2 x 2  K δ 11 K x1x1  K δ  K x 2C 2 y  K x 2C 2 C1x1 (2.2.8) K x1  K x 2C 21C1 K  z  K x 2C 21y  L1z  K x 2C 21y.При подстановке (2.2.7) в (2.2.8) получаемu  L1M 1x  K x 2C2 1  L1M 1A 2C2 1 y .(2.2.9)Если ввести обозначенияμ  L1M 1 , ν  K x 2C21  L1M 1A 2C21 ,(2.2.10)то согласно (2.2.4)(2.2.10) справедливо тождество68u(t )  K x x(t )  K δ(t )  μx (t )  νy (t ) ,(2.2.11)т.е.

позиционный регулятор сведен к скоростной форме (2.2.2).Заметим, что в силу тождественности проводимых преобразований сиспользованием однородных уравнений (2.2.3), нетрудно проверить, чтозамкнутые системы (2.2.3), (2.1.2) и (2.2.3), (2.2.2) с матрицами μ и ν(2.2.10) имеют одинаковые характеристические полиномы.Теперь введем в рассмотрение командный сигнал x(t )  x по состоянию МПО, где x – n -мерный вектор с постоянными компонентами. Приотработке указанного сигнала с помощью обратной связи с использованием позиционного регулятора (2.1.2) его уравнение принимает вид [12]:u  K x  x  x  K δ .(2.2.12)Очевидно, что в силу тождества (2.2.11), для тождественности переходныхпроцессов в замкнутых системах (2.2.3), (2.1.2) и (2.2.3), (2.2.2) достаточноввести командный сигнал в скоростной закон следующим образом:u  μx  νy  K x x .(2.2.13)И, наконец, покажем, что регулятор (2.2.2) с матрицами (2.2.10)обеспечивает астатизм замкнутой системы (2.1.1), (2.2.2) по выходу y .

Заметим, что если ограничения по отклонениям рулей допускают существование положения равновесия в замкнутой системе при наличии ступенчатого возмущающего воздействия, то это положение определяется следующей системой линейных алгебраических уравнений:0  Ax  Bδ  Dw 0 ,0  νy.(2.2.14)Из последнего соотношения следует, что если матрица ν не вырожденная,69то по отношению к переменной y система (2.2.14) имеет нулевое решениедля любого вектора w 0  E l , что и свидетельствует об астатизме.

■Обратим внимание на то, что переход от позиционного регулятора(2.1.2), синтезированного как решение задачи (2.1.21), к скоростной эквивалентной форме (2.2.2) с матрицами (2.2.10) гарантирует дополнительноесвойство астатизма замкнутой системы. Однако этим не ограничиваетсясовокупность динамических требований, предъявляемых к ее поведениюпри воздействии возмущений ступенчатого характера. Помимо обеспечения нулевой статической ошибки в большинстве практических ситуацийвозникает необходимость в ограничении динамических отклонений контролируемой переменной.Для рассмотрения указанных ограничений напомним, что переходный процесс в астатической замкнутой системе (2.1.1), (2.2.2), находящейся под воздействием ступенчатых возмущений (2.2.1), происходит при нулевых начальных условиях.

Это значит, что для контролируемой переменной выполняется условие y (0)  0 , а с учетом соотношения lim y  t   0t можно утверждать, что найдется такая точка t m  [0, ) , что выполняетсяравенство max y t   y tm  . В связи с отмеченным обстоятельством,t[ 0,  )введем в рассмотрение функционал, заданный на множестве позиционныхобратных связей (2.1.2) и определяемый формулойJ p  J p (K )  max y t  .t[ 0,  )(2.2.15)Функционал (2.2.15) вычисляется на движениях астатической замкнутойсистемы (2.1.1), (2.2.2), находящейся под воздействием ступенчатых возмущений (2.2.1) с заданным вектором w 0  E l , выбор которого определяется условиями содержательной задачи синтеза. Потребуем, чтобы синтезируемая система удовлетворяла ограничению70J p  J p (K )  J p 0 ,(2.2.16)где J p 0  0 – заданное вещественное число.Соотношение (2.2.16) может быть введено как дополнительное условие, определяющее допустимое множество регуляторов при решении задачоптимизации размера минимального инвариантного эллипсоида, рассмотренных в предшествующем параграфе.

В частности, его удобно использоNsвать для задания конечной сетки  в задаче (2.1.25), что приводит к оче-видной модификации алгоритма 2.1.3. Применение модифицированногоалгоритма позволяет уменьшить размер минимального эллипсоида с учетом желаемых модальных свойств и с дополнительным ограничением динамической ошибки при использовании астатического варианта обратнойсвязи.2.3. Вопросы синтеза цифровых базовых законов управленияПрактическая реализация законов управления морскими судами в настоящее время осуществляется с помощью средств цифровой вычислительной техники, что при определенных условиях требует специальногоучета при синтезе обратных связей.Рассмотрим цифровую линейную модель динамики суднаx[k  1]  Ax[k ]  Bδ[k ]  Dw[k ],δ[k  1]  u[k ]  δ[k ],y[k ]  Cx[k ],(2.3.1)сохраняя введенные выше обозначения для динамических переменных.Для простоты будем считать, что измеряемый выход y системы одновременно является и контролируемой переменной.Будем формировать обратную связь для системы (2.3.1) в виде71x[k ] u[k ]  K x x[k ]  K δ[k ]  K  , K  K x δ[k ] K  ,(2.3.2)где матрицы K x и K  соответствующих размерностей имеют постоянныекомпоненты.Обозначим через  k множество стабилизирующих регуляторов, длякоторых корни характеристического полиномаA B  0  3 ( z, K )  det  E n  m z  A 0  B 0K  , A 0   , B 0    (2.3.3) 0 Em  Em замкнутой системы (2.3.1), (2.3.2) лежат внутри единичного круга.Рассмотрим также сужение  ks множества стабилизирующих регуляторов, определяя его желаемыми модальными требованиями к замкнутойсистеме: sk   K   k : i (K )  C  , i  1, n  m,(2.3.4)где i (K ) – корни характеристического полинома (2.3.3) замкнутой системы, C – заданная область на комплексной плоскости.

Характеристики

Список файлов диссертации