Диссертация (1150419), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Нотогда в пространстве E  существует точка ε 0  γ 0 , h c 0  , где h c 0 – соответствующаясовокупность компонент матрицыK0 ,для которойK 0  K (ε 0 ), J d* (ε 0 )  J d0 .Очевидно, что в пространстве E  не найдется такая точка ε 01 , чтоJ d* (ε 01 )  J d0 , поскольку если предположить обратное, то для матрицыK (ε 01 )   sk имеем J d K (ε 01 )  = J d* (ε 01 )  J d0 ,чего не может быть попредположению об оптимальности K 0 .58Таким образом, оптимальное решение ε 0 задачи (2.1.19) однозначноопределяет оптимальное решение K 0  K (ε 0 ) задачи (2.1.8) и наоборот. Вэтом плане указанные задачи эквивалентны.

Но тогда любая минимизирующая последовательность ε i  для функции J d* (ε ) , которую можно построить с помощью любого численного метода спуска для задачи (2.1.19) ,определяетсоответствующуюминимизирующуюпоследовательность{K (ε i )} , причем справедливы равенства (2.1.18). ■Теорема 2.1.1 определяет основу для построения прямого алгоритмарешения задачи (2.1.8), базирующегося на ее трансформации к задаче(2.1.19) на безусловный экстремум.Алгоритм 2.1.1.1.

Взять любую точку γ  Enmи построить вспомогательный поли-*ном  ( s, γ ) по формулам (1.3.4) – (1.3.7) либо по аналогичным формулам[14, 12] для более сложного варианта модальных условий.2. Сформировать систему линейных уравнений (2.1.17), обеспечивающую выполнение тождества (2.1.16), которая всегда совместна и, еслиее решение не является единственным, осуществить произвольный выборвектора h c  Encсвободных переменных (компонент матрицы K ) по от-ношению к этой системе.3. Послеподстановкивсистему(2.1.17)принятоговектора~ε  γ ,h c   E  ,   n  m  nc , найти ее решение k  k (ε) , а, соответствен~но, и матрицу K  K (ε) .~4.

Подставить найденную матрицу K  K (ε) коэффициентов обратной связи (2.1.1) в соотношения (2.1.6), (2.1.7) и найти для замкнутой сис~~темы (2.1.1), (2.1.2) соответствующее значение J d  J d (K (ε ))  J d (ε) размера минимального инвариантного эллипсоида.595. С помощью любого допустимого численного метода решения задачи (2.1.19) на безусловный экстремум, задать новую точку ε и, повторяяпункты 3,4, минимизировать функцию J d* (ε ) .6. Процесс завершить после нахождения точки ε 0  arg min J d* (ε ) ,εE ~определяя при этом матрицу K 0  K (ε 0 ) , которая принимается в качестверешениязадачи(2.1.8),обеспечивающегоминимальноезначениеmin J d (K )  J d (K 0 )  J d0  J d* (ε 0 ) размера минимального инвариантногоK skэллипсоида.Необходимо отметить, что предложенный алгоритм определяет наиболее очевидный прямой путь решения задачи (2.1.8), однако он обладаеточевидными недостатками, присущими задачам конечномерной оптимизации.

Основная трудность связана с тем, что функция J d* (ε ) в общем случаене является выпуклой, что порождает проблему остановки вычислительного процесса в точках локального экстремума.В связи с этим обстоятельством представляется разумным связатьметод решения задачи (2.1.8) с более простой задачей (2.1.9), решение которой фактически сводится к минимизации в пространстве E 2 .Рассмотрим множество регуляторов (2.1.2) с матрицамиK (, ) , определенными по формуле (2.1.14). Возьмем произвольный регулятор из этого множества и сформируем характеристический полином 3 ( s, , ) замкнутой системы по формуле (2.1.15), представляя его в виде 3 ( s, , )  s n  ms n  m 1  s 1 (1 ν (, )) ,где ν (, )   n  m 1 (, )  1 (, )  0 (, )   E n  m – вектор коэффициентов полинома.Аналогично запишем характеристический полином60 3 ( s, K )  s n  ms n  m 1  s 1(1 ν (K ))с вектором коэффициентов ν (K )  E n  m , построенный по формуле (2.1.3)для произвольного регулятора (2.1.2) при условии K   k .Определение 2.1.2.

Взаимным удалением регуляторов (2.1.2) с матрицами коэффициентов K (, )    и K   k или соответствующих имхарактеристических полиномов  3 ( s, , ) и  3 ( s, K ) друг от друга будемназывать неотрицательное вещественное число     (, , K )  ν (, )  ν (K ) .(2.1.20)Теорема 2.1.2. Для произвольного регулятора (2.1.2) из множества  на множестве  sk всегда найдется регулятор (2.1.2), который наиболее близок к нему в смысле удаления  .sДоказательство.

Заметим, что множество       sk можетбыть не пустым. Это значит, что среди регуляторов на множестве   могут быть как элементы, обладающие желаемыми модальными свойствами,так и не обладающие ими. Если для некоторых значений параметров , sмы имеем K (, )   , то в соответствии с леммой 1.3.1 обязательнонайдется такой вектор γ  E n  m , для которого  3 ( s, , )  * ( s, γ ) . Этозначит, что любой регулятор с матрицей K  K (ε )  K ( γ , h c )   sk , построенный в соответствии с формулами (2.1.16), (2.1.17), будет иметь нулевоеудаление от регулятора с матрицей K (, ) .sЕсли же K (, ) не принадлежит множеству  , то указанный вы-ше вектор γ не существует, однако можно поставить конечномерную задачу на безусловный экстремум61*  * (ε)    (, , K (ε))  min ,(2.1.21)εEгде зависимость K  K (ε)  K ( γ , h c ) от вектора ε  γ , hc  вводится так же,как и для задачи (2.1.19).

Очевидно, что решение ~ε  arg min * (ε ) задачиεE ~(2.1.21) определяет регулятор (2.1.2) с матрицей K  K (~ε )   sk , которыйнаиболее близок к регулятору с матрицей K (, ) в смысле удаления  . ■Теорема 2.1.2 позволяет сформировать алгоритм поиска приближенного решения задачи (2.1.8) с использованием идеологии решения задачи(2.1.9).Алгоритм 2.1.2.1. Взять любую пару ,   точек   0 ,   0 .2. Найти решение P (, ) линейного матричного уравнения (2.1.11).3.

Если окажется, что P (, )  0 , изменить выбор пары по некоторому правилу.4. Для заданной пары построить матрицу K (, ) по формуле (2.1.14)и вычислить значение функции F  P(, )   tr C3P(, )C3  .5. Для заданной пары ,   найти решение ~ε (, ) задачи (2.1.21),~получить матрицу K (, )  K (~ε (, ))   sk для наиболее близкого регулятора, и вычислить значение соответствующего удаления      (, ) .6. Вычислить значение вспомогательной функции-сверткиFa (, )  F P (, )     (, ) ,(2.1.22)где  – заданный весовой множитель.7.

С помощью любого допустимого численного метода минимизациифункции Fa (, ) на множестве   0 ,   0 задать новую пару ,   и,повторяя пункты 2,6, найти точку  0 , 0  ее экстремума.628. Если окажется, что K  βB0 P 1 (α0 , β 0 )   sk , и при этом выполнено условие J d (K )  J d*  J d*   d , где  d – допустимое ухудшение размера минимального инвариантного эллипсоида за счет обеспечения модальных свойств, то решение задачи закончено. Если же последнее неравенствонарушено, следует уменьшить величину весового множителя  в (2.1.22) иповторить процесс поиска.Рассмотрим еще один приближенный подход к решению задачи(2.1.8). Его существо состоит в минимизации функционала J d (K ) на мноsжестве  , т.е.

в переходе к вспомогательной задачеJ d  J d (K )  mins .(2.1.23)K sОчевидно, что, поскольку справедливо включение    sk , выполняют-ся следующие соотношенияmin J d (K )  J d (K 0 )  J d0  J ds  J d (K s )  mins J d (K ) , (2.1.24)K skK K s  arg mins J d (K ) ,K т.е. решение J ds задачи (2.1.23) является верхней оценкой для решения J d0задачи (2.1.8).В свою очередь, задачу (2.1.23) удобно решать на конечной сеткеNss   регуляторов, которая образуется следующим образом.

Задают-ся некоторые максимальные значения  max  0 и  max  0 параметров ,  ,и отрезки [  ,  max ] и [ ,  max ] , где    0 и   0 – малые числа, делятся на N одинаковых частей точками  i ,  j , i , j  1, N . Далее для каждойпары  i ,  j , i, j  1, N из полученной совокупности находится решениеP ( i ,  j ) линейного матричного уравнения (2.1.11). Если выполняются ус63ловия P ( i ,  j )  0 и K ij  K ( i ,  j )   j B0 P 1 ( i ,  j )   sk , то регуляторNsс матрицей K ij включается в конечную сетку  .Теперь вместо задачи (2.1.23) рассмотрим задачуJ d  J d (K )  minNs(2.1.25)K на сформированной конечной сетке.

Ее решениеJ dNs  J d (K Ns )  minNs J d (K ) , K Ns  arg minNs J d (K ) ,K (2.1.26)K Nssкоторое получается простым перебором, в силу включения    служит верхней оценкой для величины J ds , а согласно (2.1.24) – и для значения J d0 .Приведем алгоритм поиска решения J dNs , K Ns задачи (2.1.25).Алгоритм 2.1.3.Организуются два цикла i  1,2, N , j  1,2,  N по номерам пар i ,  j  параметров, в рамках которых выполняются следующие действия:1. Решается линейное матричное уравнениеA 0 P  PA0   j B 0B0   i P   i1D3D3  0 .2. Если найденное решение удовлетворяет условию P ( i ,  j )  0 , тоформируется матрица K ij  K ( i ,  j )  β j B0 P 1 ( i ,  j ) регулятора (2.1.2).Если условие не выполнено, осуществляется переход к новым значениямномеров пар.3. Для матрицы K ij формируется характеристический полином 3 ( s, K ij )  detE n  m s  A 0  B 0 K ij  замкнутой системы, и проверяются егомодальныесвойства.ЕслиK ij   sk ,товычисляетсязначение64J dij  J d (K ij ) , если же K ij   sk , то осуществляется переход к новым значениям номеров пар.4.

Характеристики

Список файлов диссертации