Диссертация (1150419), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

В указанных работах известные методы синтеза адаптируются подспецифические особенности, присущие динамике морских судов.В работах Е. И. Веремея и В.М. Корчанова [10-20, 102] представленаидеология использования единой многоцелевой структуры законов управления для обеспечения желаемого качества движения морских судов в различных режимах функционирования.Тем не менее, до настоящего времени остается открытым вопрос оприменимости методов аналитического и численного синтеза законовуправления движением морских судов с учетом неопределенностей в задании характеристик внешних возмущающих воздействий.

В связи с этим, нанаш взгляд, существует возможность для дальнейшего развития методикисинтеза в ряде конкретных ситуаций на базе результатов, полученных вдиссертации.21ГЛАВА 2. СИНТЕЗ БАЗОВЫХ РЕГУЛЯТОРОВПО СОСТОЯНИЮ С УЧЕТОМ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙПри построении систем стабилизации, управляющих движениемморских судов, широко используются динамические обратные связи с математической моделью (1.2.4). Заметим, что наличие собственной динамики в регуляторе является вынужденной мерой. С одной стороны, указаннаядинамика позволяет формировать управляющее воздействие по измеряемому выходу объекта с восстановлением информации о векторе состояния.С другой стороны, динамические обратные связи позволяют обеспечиватьжелаемые свойства замкнутой системы такие, как астатизм при действииступенчатых возмущений, фильтрацию или компенсацию морского волнения и т.д.Структура динамических обратных связей для морских судов [103],[17] в подавляющем большинстве ситуаций включает в свой состав асимптотические наблюдатели, которые формируют оценки для компонент векторов состояния.

При этом управляющий сигнал, подаваемый на приводыисполнительных органов, формируется на основе базового закона управления u  Kx по состоянию. При непосредственной реализации обратнойсвязи осуществляется замена вектора x на вектор его оценок, формируемый наблюдателем.Заметим, что динамические свойства замкнутой системы, в первуюочередь, определяются выбором матрицы K базового закона.

При синтезесистем управления движением морских судов этому вопросу уделяетсябольшое значение. Конкретные методы формирования базового закона наоснове оптимизационного подхода представлены в работе [103]. Даннаяглава посвящена развитию этих методов применительно к задаче о наилучшем подавлении влияния на судно ограниченных возмущающих внешних воздействий.522.1.

Оптимизация размера минимального инвариантного эллипсоидас обеспечением желаемых модальных свойствРассмотрим линейную модель динамики суднаx  Ax  Bδ  Dw (t ),δ  u,(2.1.1)y  Cx,сохраняя введенные выше обозначения для динамических переменных всистеме (1.2.3), однако в данном случае будем считать, что y  e , трактуяэту переменную как контролируемую.Обратную связь для системы (2.1.1) будем формировать в виде регулятора по состояниюxu  K x x  K δ  K   , K   K xδK  ,(2.1.2)где матрицы K x и K  соответствующих размерностей имеют постоянныекомпоненты.Далее множество стабилизирующих регуляторов (2.1.2) будем обозначать символом  k , отождествляя его с совокупностью таких матриц K ,для которых характеристический полином 3 ( s, K )  det E n  m s  A 0  B 0 K (2.1.3)замкнутой системы (2.1.1), (2.1.2) является гурвицевым.

Здесь использованы следующие обозначения:A B 0 A 0   , B0    . 0 0 Em 53Введем в рассмотрение сужение  sk множества стабилизирующихрегуляторов, определяя его желаемыми модальными требованиями к замкнутой системе: sk   K   k : i (K )  C  , i  1, n  m,(2.1.4)где i (K ) – корни характеристического полинома (2.1.3) этой системы,C – заданная область на комплексной плоскости.

В частности, в качестветакой области, как и в подразделе 1.1.3, можно принять полуплоскостьC   {s  x  jy  C1 : x   d } , где  d  0 – заданное вещественное число, определяющее степень устойчивости замкнутой системы. Однако возможны и другие варианты, которые будут указаны ниже.Как и ранее будем считать, что в задании внешнего возмущающеговоздействия имеется неопределенность, однако постулируем его ограниченность, полагаяwt   1 при 0  t   ,(2.1.5)где указана евклидова норма пространства E l .Введем в рассмотрение функционал J d  J d (K ) , характеризующийразмер минимального инвариантного эллипсоида, включающего множество ea реакций на внешние воздействия для замкнутой системы (2.1.1),(2.1.2).

В соответствии с теоремой 1.2.1 в данном случае имеемJ d  J d (K )  f  P( 0 )  tr C3P( 0 )C3  ,(2.1.6)где  0  arg min f  P()  , f  P()   tr C3P ()C3  , P () – положительно0определенное решение линейного матричного уравненияA 3P  PA3  P   1D3 D3  0 ,(2.1.7)54DA 3  A 0  B 0 K , C3   C 0  , D3    .0Рассмотрим задачу о выборе стабилизирующего регулятора (2.1.2),который минимизирует размер J d инвариантного эллипсоида с учетом желаемых модальных свойств замкнутой системыJ d  J d (K ) minK sk  k,(2.1.8)где допустимое множество  sk определяется формулой (2.1.4).Заметим, что если модальные свойства не принимаются во вниманиеи требуется лишь устойчивость замкнутой системы, то мы приходим к постановке известной задачиJ d  J d (K )  min ,Kk(2.1.9)которая в деталях обсуждается в монографии [54].

Ее авторы дают относительно простое элегантное решение, которое представляется в видеJ d*  J d (K * )  min J d (K )  F P (* , * )   tr C3P(* , * )C3 ,K  k(2.1.10)где (* , * )  arg min F  P (, )  , F  P(, )   tr C3P(, )C3  , 0,  0P (, ) – положительно определенное решение линейного матричногоуравненияA 0 P  PA0   B 0B0  P   1D3D3  0 ,(2.1.11)K *  arg min J d (K )   B0 P 1 (* , * ) .(2.1.12)K  kЗамечание 1.

Поскольку справедливо включение  sk   k , с очевидностью имеем соотношениеJ d*  J d (K * )  min J d (K )  min J d (K )  J d (K 0 )  J d0 ,KkK sk(2.1.13)55т.е. решение J d* задачи (2.1.9) является нижней оценкой для решения J d0задачи (2.1.8), что существенно упрощает применение приближенных методов поиска ее решения.Замечание 2. Как отмечено в [54], для любой пары   0 ,   0 , длякоторой линейное матричное уравнение (2.1.11) имеет решение P (, )  0 ,регулятор (2.1.2) с матрицей коэффициентовK  K (, )   B0 P 1 (, )(2.1.14)является стабилизирующим.Введем специальное обозначение 3 ( s, , )  det E n  m s  A 0  B 0 K (, ) (2.1.15)для гурвицева характеристического полинома замкнутой системы (2.1.1),(2.1.2) при условии (2.1.14).Определение 2.1.1. Множество     k стабилизирующих обратных связей с матрицами K (, ) , определенными по формуле (2.1.14), будем называть множеством параметризованных регуляторов для задачи(2.1.9), решение которой фактически сводится к поиску на нем минимумафункции F  P(, )  .Теперь обратимся к задаче (2.1.8) и заметим, что ее решение удобносвязать с параметризацией вещественными векторами γ  E n  m характеристических полиномов системы, замкнутой регуляторами из допустимогомножества  sk , введенного соотношением (2.1.4).

Если модальные требования (2.1.4) определяются только указанными выше ограничениями настепень устойчивости, т.е. C   {s  x  jy  C1 : x   d } , то построениежелаемого характеристического полинома * ( s, γ ) должно быть непосред-56ственно выполнено по формулам (1.3.4) – (1.3.7) при условии nd  n  m .Если же область C задается в более сложных вариантах, существуют аналогичные формулы, приведенные в работах [14, 12], позволяющие выполнить построение параметризованного полинома * ( s, γ ) .Указанная параметризация множества характеристических полиномов определяет соответствующую параметризацию множества  sk регуляторов (2.1.2), которыми замыкается объект (2.1.1).

Действительно, зададимпроизвольный вектор γ  E n  m и по указанным формулам построим полином * ( s, γ ) . Для того, чтобы он был характеристическим полиномом длязамкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы матрица K коэффициентов регулятора (2.1.2) удовлетворяла тождеству 3 ( s, K )  detE n  m s  A 0  B 0 K   * ( s, γ ) .(2.1.16)Если собрать все компоненты матрицы K в вектор k  E mn  mm , то этомутождеству будет соответствовать эквивалентная линейная системаΓk  m(γ ) ,(2.1.17)где компоненты матрицы Γ определяются только матрицами A 0 и B 0 , авектор m(γ ) определяется коэффициентами полинома * ( s, γ ) и характеристического полинома матрицы A 0 .Заметим, что система (2.1.17) всегда совместна в силу условия полной управляемости.

Она содержит n  m уравнений и имеет m  n  m  mнеизвестных, т.е. nc  m  n  m  m  n  m компонент вектора k , собранnные в вектор h c  E c , могут быть выбраны произвольно. Введем в рассмотрение вектор ε  γ,h c   E  ,   n  m  nc , и, дополнительно задаваяпроизвольный вектор h c , найдем соответствующее решение k (ε )  k ( γ , h c )57системы (2.1.17). Таким образом, найдена матрица K  K (ε)  K ( γ , h c ) коэффициентов регулятора (2.1.2) из множества  sk , параметризованноговекторами ε  γ , hc  .Проведенная параметризация позволяет сформулировать следующееутверждение:Теорема 2.1.1. Для функционала J d (K ) в задаче (2.1.8) существуетминимизирующая последовательность {K (ε i )} регуляторов (2.1.2), определяемая последовательностью векторов ε i  такой, чтоlim{K (ε i )}  K 0  arg min J d (K ) , limJ d K (ε i )   J d (K 0 )  J d0 .

(2.1.18)i K ski Доказательство. Наряду с задачей (2.1.8) рассмотрим конечномерную задачу на безусловный экстремумJ d*  J d* (ε )  J d K (ε )   min .(2.1.19)εEАналогично доказательству теоремы 1.3.1 можно утверждать, что если найдено решение K 0 задачи (2.1.8), то в соответствии с леммой 1.3.1существует такая точка γ  γ 0  E n  m , что  3 ( s, K 0 )  * ( s, γ 0 ), где * –вспомогательный полином, построенный по формулам (1.3.4) – (1.3.7).

Характеристики

Список файлов диссертации