Диссертация (1149901), страница 15
Текст из файла (страница 15)
А именно, как легко показать, азимутальный уголскорости электрона после столкновения с боковой поверхностью равен, где- азимутальный угол радиуса - вектора положения точки, в которой происходит отражение89электрона в выбранной ранее системе координат. То есть,отражения от бокового цилиндра радиусаграничное условие полногозаписывается в виде:Функция распределения не зависит от азимутальных углов. В таком случае этограничное условие превращается в тождество, справедливое при любом радиусе, в том числе, ипри. Это означает, что наличие полностью отражающих стенок в выбранной намицилиндрической геометрии не влияет на решение задачи.Таким образом, утверждениедоказано.В рамках сформулированной модели уравнение Больцмана для ФРЭимеет вид:(4.1)с граничными условиями:(4.1а)где- обратная длина свободного пробега электрона относительноупругих столкновений;с осью- косинусы полярных углов, которые составляет скорость электронадо и после столкновения, соответственно;(4.2);- косинус угла упругого рассеяния электрона;- разница азимутальных углов скоростей электрона до и после столкновения;-индикатриса упругого рассеяния электрона на атоме He, удовлетворяющая условиюнормировки:(4.2а)Первое из равенств (4.1а) означает полное отражение электронов от плоского катода,второе - их полное поглощение плоским анодом.Отметим, что, как уже говорилось, в отличие от процесса упругого рассеяния электронана атоме He при небольших энергиях (порядка единиц эВ), рассеяние приявляетсясильно анизотропным.
Произведение соответствующей индикатрисы на полное сечениеупругого рассеяниякак функция угла рассеяниядля этой энергии относительногодвижения электрона и атома приведена на рис. 4.2 [98, 99]. При этом средний косинус угларассеяния по данным [98] равен приблизительно 0.301, а по данным [99] - 0.253, что, как иформа приведенной зависимости, свидетельствует о сильном преимущественном рассеянии"вперед".90Ge()el (10-16 см2 ср-1)101286420050100150200(град)Рис. 4.2.
Сравнение индикатрис упругого рассеяния электрона на атоме He при энергииподанным 1 - [99]; 2 - [98].На рис. 4.3 для сравнения приведены также произведения соответствующейиндикатрисы на полное сечение упругого рассеяния[98] и приэлектрона на атоме He при[99].Ge()el (10-16 см2 ср-1)10E0=30 эВ8E0=12 эВ6420050100150200(град)Рис.
4.3. Сечение упругого рассеяния электрона на атоме He при энергиях[99].91Видно, что в случаерассеяние гораздо более изотропно. Подтверждениемэтого является то, что средний косинус угла рассеяния при этой энергии электрона равенприблизительно -0.042. Зависимость среднего косинуса угла рассеяния электрона на атоме He,рассчитанная по данным об индикатрисе рассеяния, взятым из [99] приведена на рис. 4.4.e0,40,30,20,10,0-0,110152025303540E0(эВ)Рис. 4.4. Зависимость среднего косинуса угла рассеянияэлектрона на атоме He от энергииотносительного движения по данным об индикатрисе рассеяния из [99].Индикатриса рассеяния, аппроксимирующая точную индикатрису [98], имеетвид:(4.3)соответствующая ей индикатриса, удовлетворяющая условию нормировки, записывается ввиде:(4.3а)где уголвыражен в радианах,- в единицах,а-в.
Это выражениеможно использовать для уменьшения времени расчетов вместо приведенных в [98, 99]численных массивов. Отметим, что интегрирование индикатрисы (4.3) дает для полного итранспортного сечений упругого рассеяния призначения, соответственно, что хорошо согласуется с известными литературными данными [98,99, 102].924.1.2 Решение уравнения Больцмана для условий пролетного режима и сравнениерезультатов аналитической теории с расчетами методом Монте-КарлоРешение задачи (4.1), (4.1а) можно получить методом разложения ФРЭ по числамстолкновений [103]. Учитывая, что величина, можно ожидать, что ФРЭ, испытавших неболее трех - четырех столкновений, будет хорошим приближением.
Суть метода заключается вследующем. Очевидно, что ФРЭ, испытавших n столкновений, формируется за счетодного столкновения электронов, испытавших n-1 столкновение. При этом частицы "уходят"из числа формирующихза счет n+1 столкновения. Таким образом, для определенияимеем систему рекуррентных уравнений:при,где(4.4)- ФРЭ, испытавших более чем столкновений.Уравнение (4.4) является линейным дифференциальным уравнением первого порядка и имеетаналитическое решение [92]:припри(4.5)93Отметим, что в выражение дляупругого рассеяния электрона на атомев качестве множителя входит индикатриса.
То есть, выбираябольшим, так, чтобы роль столкновений спараметрне слишкомбыла невелика, можно попытаться, исключаяиз измеренной зондовым методом ФРЭ первоначальный пучок, оценить индикатрисурассеяния электрона на атоме. Ниже мы подробнее рассмотрим эту возможность.Имея в виду, что электроны, вылетающие из катода в результате термоэлектроннойэмиссии, имеют изотропное по полусферевыражение для функцииугловое распределение, можно уточнить, учитывающее конечную ширину углового распределения.Первоначальный пучок электронов формируется следующим образом. Из катода, разогретогодо некоторой температуры, в результате термоэмиссии в полупространствовылетаетизотропный поток электронов, имеющий максвелловское распределение с температурой катода.
Далее он ускоряется в катодном слое до энергии. В результате формируется некотороеугловое распределение первоначального пучка электронов, имеющее конечную ширину.Учитывая, что, как было оценено, в рассматриваемых условиях толщина лэнгмюровского слояу катода составляет величину порядка 0.1 мм, что на два порядка меньше длины пробега, а, можно, решая уравнение Больцмана без учета столкновений, а затем интегрируярешение по энергиям, получить следующее выражение, нормированное на 1 при:(4.6)гдепри малых значениях величины- интегральная показательная функция [70].
Выражение (4.6)имеет вид:Отметим, что (4.6) совпадает с модельной функцией(формула (3.18) Гл. 3) при.944.1.3 Восстановление ФРЭ в условиях НПР без применения разложения в ряд пополиномам ЛежандраСуть способа восстановления ФРЭ в рассматриваемых условиях заключается вследующем. Как мы видели, ФРЭ удобно разделить на две части. Первую ()составляют электроны, не испытавшие ни одного столкновения, другую () -электроны, испытавшие хотя бы одно столкновение.
Естественно, что для исследованияинтерес представляет именно та часть ФРЭ, которые испытали хотя бы одно столкновение,поскольку она несет информацию о деталях взаимодействия электрона с атомом. Как мыувидим в дальнейшем, в НПР в пролетном режиме угловая зависимость этихпринципиально различная. А именно,обусловлено тем, чтослагаемыхв силу малости параметра) близка к,а(чтов силу вида индикатрисы упругогорассеяния электрона на атоме (в данном случае - атоме He) гораздо более плавно зависит отнаправления движения, чемвыполняется(рис. 4.2). Кроме того, в силу вышесказанного. Внеинтегральные членыв формуле (3.11) которыеформируют нерассеянная и рассеянная части ФРЭ соотносятся при малых углах также, как исами функции.
Отметим, что в силу резкой зависимостиинтегральный членот угла, формируемый нерассеянной частью ФРЭ, также существененпри малых углах и быстро осциллирует при его увеличении, уменьшаясь по модулю (см. Гл. 2).Указанные закономерности приводят к тому, что при малых углах, учитывая погрешностьзондовых измерений (в зависимости от применяемого метода регистрации второй производнойтока) от нескольких до десяти процентов [104], невозможно отделить часть регистрируемого вэксперименте сигнала, за который ответственна нерассеянная часть ФРЭ.
Как будет видно издальнейшего, в наших условиях эта область составляет величину порядка 10 0 - 200.увеличении угла, который составляет скорость электрона с осью Z,быстропадает.Соответственно,аналогичноведутсебяПри, в отличие отчастислагаемых, за которые ответственна нерассеянная часть ФРЭ и вне указанногодиапазона (более 100 - 200) экспериментально измеряемая вторая производная зондового токаопределяется исключительно частью ФРЭ(забегая вперед, укажем, что данныезакономерности для конкретных условий иллюстрируются рис.
4.12).В силу достаточно плавной угловой зависимости функции, как правило,реализуется ситуация, когда выполняются неравенства (3.28а), (3.30а), то есть, когда ширина95ФРЭ по энергии много больше, чем ширина аппаратной функции, а внеинтегральный член ввыражении для второй производной зондового тока по потенциалу зонда – большеинтегрального. Тогда в диапазоне углов, где можно пренебречь влиянием нерассеянной частиФРЭ на результаты измерений, можно применить формулу (3.33) Гл.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
