Диссертация (1149901), страница 16
Текст из файла (страница 16)
При этом следуетучесть, что, поскольку в области между катодным и анодным падениями в НПР потенциалпостоянен с точностью до некоторой величины порядка, то в качестве функции,описывающей энергетическую зависимость рассеянной части ФРЭможно взять:гдеФормулу (3.33) можно уточнить. Учтем, что аппаратная функция зондового методадвойной демодуляции - четная функция своего аргумента и рассмотрим величинуИнтегрируя это выражение по частям, с учетом четности аппаратной функции, можнополучить:Поскольку- четная функция, то- нечетная и второй член в (4.9), такимобразом, равен нулю. Отсюда следует, что соотношение (3.33) верно с точностью до величины. Это существенно расширяет область применимости соотношения (3.33) по параметру.4.2 Способ оценки индикатрисы упругого рассеяния электрона на атоме из данных о ФРЭв пролетном режиме НПРПредположим, что у нас есть экспериментально измеренная ФРэнергии электронов, при некоторой, то есть, с некоторым шагом по координате определена ее угловаязависимость.
Требуется из этих данных найти индикатрису рассеяния. Для решения даннойзадачи перепишем решение уравнения Больцмана (4.4) в виде:96(4.10)где:(4.11)а интегральный оператори функцииобразом из соотношения (4.5).определяются очевиднымЯсно, что ряд в формуле (4.10), представляющий решениеуравнения Больцмана в виде разложения по числам столкновения, сходится, если уравнениеБольцмана имеет единственное решение (то есть, в том числе, и в рассматриваемом случае).Это можно доказать строго, используя то, что норма операторагде-непрерывная (вместе с первой производной) функция своих аргументов, удовлетворяющаяусловию:Будем считать, что соотношение (4.10) является уравнением для нахождения ФР частиц,испытавшиходностолкновение.Решатьуравнение(4.10)будемметодомпоследовательных приближений:(4.12)Покажем, что решениеприсходится к точному выражению,асходимость данного метода превосходит сходимость ряда ФР по числам столкновений вформуле (4.4).
Действительно, действуя согласно (4.12), с использованием (4.10) получаем:(4.13)97Из (4.13) пригде вимеем:- том члене ряда (4.14) количество "вложенных" аргументов оператораравно .Таким образом, получаем, что старший член ряда в правой части соотношения (4.13) дляимеет вид- такой же, как- тый член в сходящемся ряду в правойчасти выражения (4.10). Отсюда следует, что приряд в правой части (4.13) стремится кнулю, аТаким образом,предложенный метод последовательных приближений сходится кточному решению. Нетрудно показать, используя явный вид оператора, что,поскольку ФР частиц, испытавших любое число столкновений, положительна в областиопределения, то выражениепри любых.
Но тогда ряд(4.14) является знакопеременным и при увеличении убывает быстрее, чем остаток рядавсоотношении (4.4), а относительная ошибка - того приближения определяется относительнымвкладом в ФР частиц, испытавшихстолкновение.Из соотношений (4.13) также следует, что для четных и нечетных приближенийвыполняется:(4.15)Отсюда следует, что выполняется неравенство:1 ,z, 0.5 1 ,z( +1)1 ,z.(4.16)Действительно,Но, как было показано выше, при любомслагаемые в последнем соотношении имеютразный знак (см. неравенства (4.15)), откуда и следует (4.16).Таким образом, при любом заданном значениинаименьшее отклонение от точногорешения имеет функцияи это отклонение более чем в два раза меньше отклонения от точного решения приближенийи(см.
неравенства (4.16)).98Прииндикатриса рассеяния связана с ФР частиц, испытавших одно столкновение,алгебраически, что позволяет изнайтинаходится аналогично с использованием найденной. Индикатриса рассеяния приприТаким образом, зная точную часть ФРЭ, испытавших не менее одного столкновения,можно, при условии достаточно быстрой сходимости ряда (4.10), найти индикатрису рассеяния. Учитывая вышесказанное, наилучшее совпадение при минимальном значении индекса iполучим, если возьмем в качестве индикатрисы рассеяния величину:(4.17)Используя формулы (4.11), для величиныимеем:(4.18)4.3 Обсуждение полученных результатовДля проверки правильности разработанной аналитической теории, а также оценки чиселстолкновений, которые требуется учитывать при различных параметрахрезультаты расчетов длямы сравнилипо формулам (4.5) рассеянной части ФРИ с аналогичнымиданными, полученными методом Монте-Карло.
При аналитических расчетах учитывалось тристолкновения. Результаты приведены на рис. 4.5, 4.6.99Fsc(), ср-112340,100,050,000123радРис. 4.5. Сравнение расчетов рассеянной части ФРЭ в He по методу Монте-Карло и вычисленной поформулам (4.5) с учетом первых трех столкновений для отношения расстояния между электродами кдлине пробегана различных относительных расстояниях от катода;1, 2 - расчетметодом Монте-Карло при, соответственно; 3, 4 - аналитически расчет с учетом трехстолкновений при, соответственно.Fsc(), ср-10,201230,150,100,050,0001Рис. 4.6.
То же, что на рис. 4.5, но при23раддля1 - расчет методом Монте Карло; 2 - аналитический расчет; 3 - аналитический расчет с коэффициентом 1.14.100Видно, что принаблюдается хорошее соответствие аналитических и численныхрасчетов дляво всем диапазоне углов . В то же время, прианалитическиерасчеты дают заниженные результаты. При этом масштабирование (умножение результатованалитических расчетов на постоянный множитель) не приводит к удовлетворительномусоответствию с численными расчетами.
Очевидно, это является следствием того, что при таком(и большем) параметренеобходим учет электронов, испытавших более трех столкновений. Изприведенных на рис. 4.5, 4.6 данных видно, что наибольшая разница наблюдается при углах,близких к. Это очевидный результат, поскольку из-за полностью отражающих стенок(и диаметре объема плазмы порядка межэлектродного расстояния) эффективный путь, которыйпроходят электроны в поперечном направлении, заметно больше, чем расстояние междуэлектродами. Соответственно, электроны испытывают большее число столкновений иприближение, когда учитываются частицы, испытавшие не более трех столкновений,становится неадекватным при меньшем значении параметра.
Как уже говорилось выше,сечения неупругих процессов значительно меньше сечения упругого рассеяния электрона наатоме He. Тем не менее, увеличение эффективного числа столкновений электронов придвижении под углами, близкими кможет оказать некоторое влияние на форму ФРИ,поскольку электрон, отражаясь от стенок, находящихся при потенциале катода, проходит в этомслучае наибольшее расстояние. На рис. 4.7, 4.8 приведены результаты расчетов ФРЭ с учетомпроцесса прямой ионизации атома He и без него для, соответственно.;Fsc(), ср-1120,100,050,000123радРис.
4.7. Сравнение рассеянной части ФРЭ, рассчитанной методом Монте-Карло с учетом ионизацииатома He - 1 и без учета - 2;для101Fsc(), ср-1120,100,050,000123радРис. 4.8. То же, что на рис. 4.7, но приВидно, что, действительно, максимальное влияние неупругих столкновений наблюдаетсяпри углах, близких к, однако, при таком параметреоно невелико и составляет несколькопроцентов.На рис. 4.9 представлены результаты расчетов методом Монте-Карло рассеянной частиФРЭ в He дляи различных значений параметра;Fsc(), ср-11230,200,150,100,050,000123радРис.
4.9. Рассеянная часть ФРЭ в He при;для различных отношений межэлектродногорасстояния к длине пробега электрона относительно упругого рассеяния: 1 ;2;3.102Видно, что с его ростом вид ФРЭ практически не меняется, однако, ее абсолютнаявеличина возрастает. Последнее, видимо, связано с увеличением вероятности столкновенийпри увеличении межэлектродного расстояния по сравнению с длиной пробега электронаотносительно упругого рассеяния.На рис. 4.10 приведены результаты численного эксперимента по восстановлению ФРЭ впролетном режиме НПР с использованием результатов Гл.3.Fsc(), ср-10,1212340,100,080,060,040,020,000123радРис. 4.10. Результаты модельного численного эксперимента; 1, 2 - ФРЭ в НПР, рассчитанная поформуле (3.33) с использованием вычисленной по соотношениям (3.24) второй производной зондовоготока с наложением случайной погрешности 5% для, соответственно; 3, 4 - расчет методомМонте-Карло, соответственно;;Эксперимент проводился следующим образом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
