Диссертация (1149550), страница 19

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 19)

В последнее время появляются работы,в которых говорится об успешном росте гетероструктур с сфалеритнымимодификациями GaN и AlN [129, 130, 131].Рассмотрим гетероструктуру с тонкими слоями GaN (толщиной sw) иAlN(толщинойсхематическоеsb),заключеннуюизображениевкоторойполубесконечныепредставленонаслоиAlN,рисунке8.1.Соответствие обозначений для полярных мод в изотропном и анизотропномслучаях приведено в таблице 8.1. Вначале рассмотрим моду поляризованнуюв плоскости интерфейса (IFX) в изотропной МКЯ, которая соответствуетЕ(LО) в анизотропной структуре.В рамках длинноволнового приближения электрическое поле вплоскости интерфейса слабо изменяется вдоль направления z. Условиенепрерывноститангенциальнойсоставляющейнапряженностиэлектрического поля (8.18а) приводит к выражению (8.1):E E Exb2 хb i 1xwE1 хb i 1 const(8.1)где Exw и Exb – среднее электрическое поле в ямных и барьерных слоях, E1xb иЕ2xb – амплитуды электрических полей на интерфейсе полубесконечнойсреды и ямного слоя.

Частота данного фонона определяется из условия (8.2):D  0,(8.2)xУсловие Ez  0 выполняется автоматически в силу симметрии уравненийМаксвелла (4.8-4.9) и геометрии рассматриваемой системы. Рассматриваемаяструктура формально является бесконечной, поэтому для поиска корнейуравнения (8.2) необходимо пользоваться усреднением вида (4.29), котороеприводит к вековому уравнению вида (8.3) для рассматриваемой структуры сN квантовыми ямами.N  E d   N  1  E d  wxwwbxbbi1bE1 xbe dz qzbE2 xbe dz  0 , qz(8.3)iNгде N – число квантовых ям, εb и εw – диэлектрическая проницаемость вбарьерном слое AlN и в ямном слое GaN соответственно (их частотная126зависимость имеет вид (8.15)), db и dw – толщина барьерного и ямного слоевсоответственно.

i1 и iN – координаты первого и последнего интерфейсов (счетинтерфейсов начинается слева, т.е. с -∞). Первое слагаемое в (8.3)характеризует вклад от ямных слоев с одинаковыми толщинами dw, которыхN штук в структуре с N ямами. Второе слагаемое – вклад одинаковых потолщине барьерных слоев, количество которых N-1, а толщина db. Третьеслагаемое вклад левого полубесконечного слоя, четвертое – правогополубесконечного слоя. Совместивначала отсчета по z с координатойпервого интерфейса, выбрав константу в (8.1) равной единице, используясвойство симметрии данной системы (следствием которого являетсяравенство вкладов от полубесконечных слоев) и проинтегрировав в явномвиде вклады от полубесконечных слоев с сокращением на константу иумножением на волновой вектор фонона (q).

Для данного типа мод дляструктуры с МКЯ получается вековое уравнение (8.4)N s   N  1  s  2  0wwb b(8.4)bДанное уравнение представляет собой вековое уравнение на частоту даннойфононной моды в длинноволновом пределе для структуры с МКЯ,заключенными в полубесконечные барьеры. Структура, представленная нарисунок 8.1, имеет два предельных случая:а) случай ОКЯ соответствует N=1. Подставивэто значение в (8.4),получается выражение (8.5) s  2  0ww(8.5)bили если выразить (8.5) через параметр R, получится выражение (8.6):R2swbчто согласуется с(8.6)wуравнением (5.7а) при переходе к тонкослойнымструктурам, где d→0, а следовательно и s=qd→0127б) случай СР, соответствует N→∞, при этом Nsb>>2, а N-1≈N получаетсявыражение (8.7) s  s  0wwb(8.7)bили если выразить (8.7) через параметр R получается выражение (8.8):ssRwwbb(8.8)что согласуется при переходе к тонкослойным структурам, с уравнением(5.17).Для случая моды, поляризованной вдоль направления роста в (IFZ визотропной МКЯ и А(ТО) в анизотропной МКЯ), вывод векового уравненияаналогичен.

В силу неразрывности нормальной составляющей вектораэлектрического смещения (4.18б) и малой тощины слоев с хорошейточностью выполняется выражениеD D Dzb2 zb i 1zwD1 zb i 1 const(8.9)Условие Dx  0 выполняется автоматически в силу симметрии уравненийМаксвелла (4.8-4.9) и геометрии рассматриваемой системы. Вековымуравнением для данной моды является уравнение (8.10)E  0,(8.10)zкоторое в явном виде для рассматриваемой гетероструктуры записываетсяследующим образом:NDzwd   N  1wwDi1zbd bbD eqzdz  1 zbD e1 zbiNb qzdz  0(8.11)bИнтегрирование слагаемых, относящихся к барьерам слоям приводит квековому уравнению (8.12) для А(ТО) моды в длинноволновом приближениидля МКЯNsww N  1 sbb2 0,bВ случае СР, т.е. когда N→∞, Nsb>>2, а N-1≈N получается(8.12)128s s 0 wbwb(8.13)Уравнение (8.13) соответствует вековому уравнению (5.16) для А(ТО)(или IFZ) моды в изотропной СР.В случае ОКЯ (N=1) с тонкой толщиной ямного слоя получается выражение(8.14)Rs ,2ww(8.14)bкоторое соответствует вековому уравнению (5.7б) для IFZ моды визотропной ОКЯ в пределе тонкого ямного слоя.Формулы (8.4) и (8.12) являются приближенными.

Для оценки ихточности была выбрана система с двумя квантовыми ямами c равнымитолщинами слоев, в которой постепенно изменялась толщина слоя GaN спостоянным s2=0.2 межбарьерным слоем AlN. На рисунке 8.2 приводитсясравнение расчета делокализованных полярных фононов по приближеннымформулам (8.4) и (8.12) с точным решением. Точный расчет такого родаструктур в рамках МДКпредставляет собой поиск частот для системы,составленной из пар уравнений, которые являются граничными условиямивида (4.18а,б) для каждого интерфейса.Частота фонона, см-11299008808608408208007807607406406206005805600,00,20,40,60,81,0Толщина слоя GaN в единицах s1=qd1, отн.ед.Рисунок 8.2 - Рассчитанные значения частот фононов IFX (красный цвет) иIFZ (синий цвет) для гетероструктуры из двух равных квантовых ям поприближенным формулам (8.4) и (8.12) (линии) и точным методом (точки) взависимости от параметра s1=qd1 при постоянном s2=qd2=0.2.Вплоть до величин sb=sw=0.5 наблюдается хорошее совпадение междуАмплитуда электрического поляфонона, отн.ед.Амплитуда электрического поляфонона, отн.ед.приближенным и точным расчетом.0,150,100,050,000,100,050,00-0,05-0,05-0,10-0,10-0,15-0,15-1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0а)0,15Координата в единицах s, отн.

ед.б)-1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,00,20,40,60,8Координата в единицах s, отн. ед.1,00,100,050,00-0,050,100,050,00-0,10-0,15-1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0в)Координата в единицах s, отн. ед.-0,15-1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0г)0,100,050,00-0,05Координата в единицах s, отн. ед.0,150,100,050,00-0,05-0,10-0,10-0,15-0,15-1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0Амплитуда электрического поляфонона, отн.ед.Координата в единицах s, отн. ед.0,150,100,050,00-0,05-1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0е)Амплитуда электрического поляфонона, отн.ед.д)Координата в единицах s, отн.

ед.0,150,100,050,00-0,05-0,10-0,10-0,15ж)0,15-0,05-0,10Амплитуда электрического поляфонона, отн.ед.Амплитуда электрического поляфонона, отн.ед.0,15Амплитуда электрического поляфонона, отн.ед.Амплитуда электрического поляфонона, отн.ед.130-1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0Координата в единицах s, отн. ед.-0,15-1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0з)Координата в единицах s, отн. ед.Рисунок 8.3 - Напряженность электрического поля Ех (черный цвет) и Еz(красный цвет), рассчитанная в рамках МДК для структуры из 4-х квантовыхям c толщинами слоевsGaN=0.2 и sAlN=0.2 при различных значенияхпараметра R: R= -86.9 (а), -0.01 (б), -53.6 (в), -0.02 (г), -20.0 (д), -0.05 (е), -3.2(ж), -0.31 (з).На рис 8.3 представлены результаты расчета точным методомэлектрических полей для системы из 4-х квантовых ям с ямным материалом –сфалеритнымGaNибарьернымматериалом–сфалеритнымAlN,131заключенныхвполубесконечныебарьерыизсфалеритныхAlN.Электрические поля, индуцируемые модами IFX (564.72 и 870.35 см-1) имодами IFZ мод (610.85 и 792.55 см-1), приведены на рисунке.

8.3ж и рис. 8.3зcсоответственно. Полученные в результате расчета значения параметров R(см. подпись к рисунку 8.3), согласуются с соотношением (4.41), чтоподтверждает доказанное в главе 4 Свойство 2 для бинарных изотропныхгетероструктур.РассмотрениевековыхуравненийдляизоторпныхМКЯвдлинноволновом пределе позволяет определеить область решений дляразличных соотношений толщин слоев барьерного и ямного слоев.Перепишем уравнения (8.4) и (8.12) в виде (8.15) и (8.16) соответственно.R N  1 s  2NsbwbR(8.15)wNs N  1 s  2wwb(8.16)bСопоставляя уравнения (8.15) и (8.16), можно увидеть, что, если частотаммод IFZ соответствует значение R, то частотам IFX-мод соответствуетзначение 1/R. При больших значениях параметра R наибольшие смещениясовершаютатомыямногослоя,втовремякакдлярешения,соответствующего 1/R, наибольшие смещения соверают атомы барьерногослоя.

Кроме того, из уравнений (8.15) и (8.16) видно, что IFZ и IFX модамсоответствуютчастотныеинтервалы,вкоторыхдиэлектрическиепроницаемости имеют противоположные знаки. Так, для гетероструктурыGaN/AlN такими интервалами будут ТО-диапазон (от ТО в GaN до ТО вAlN) и LO-диапазон (от LO в GaN до LO в AlN), которые соответствуютобласти существования интерфейсных мод в случаях ОКЯ и СР.Расчет частот фононов симметрии IFZ и IFX для ТО и LO диапазонов взависимости от числа квантовых ям для структуры, представленной нарисунке 8.1, приведен на рисунке 8.4.880Частота фонона, см-1Частота фонона, см-1132LО-диапазон860840820800780020406080620ТО-диапазон610600590580570560100Число квантовых ям, шт.020406080100Число квантовых ям, шт.Рисунок 8.4 - Частоты IFZ (синий цвет) и IFX (красный цвет) фононов взависимости от количества квантовых ям, рассчитанные по формулам (8.15)и (8.16) (непрерывная линия) и общим методом (точки) в гетеросистемеGaN/AlN c равными толщинами барьерных и ямных слоев sw=sb=0.2 иполубесконечными барьерами AlN.

Горизонтальные штриховые линиисоответствуют частотам фононов в бесконечной равнопериодной СР.Сравнивая результаты приближенного и точного расчетов, можновидеть, что рассхождение между ними не превышает 2 см-1. А анализируяасмптотическое поведение решений при N→, можно видеть, что уже длясистемы с N=100 отклонение результатов приближенного расчета отзначений частот, характерных для идеальной СР, также менее 2 см-1. Можнозаключить, что влиянием буферных слоев начиная с определенного числаквантовых ям, т.е. их вкладом в среднее значение, можно принебречь, чтосвязано с экспоненциально затухающим(интерфейсным) характеромфононных мод, амплитуда электрических полей которых в рамках МДК длявсех изотропных материалов спадает в е раз на одинаковом расстоянии отинтерфейса.Анизотропныйслучайкачественноотличаетсяот изотропного,вследствии различия диэлектрических функций в плоскости интерфейса ивдоль направления роста структуры.133Вековое уравнение для А(ТО) мод для изображенной на рисунке 8.1анизотропной гетероструктуре, составленной из вюрцитных материалов, вдлинноволновом приближении имеет вид (8.17):ND z ,1d1   N  1zz ,1D z ,2i1d2  g zD 1 z ,2 e 2zz ,2dz  D 1 z ,2 eiNzz ,2g z2dz  0(8.17)zz ,2После интегрирования и сокращения уравнение (8.17) переходит в (8.18):Nd1 N  1 dzz ,12zz ,220 zz ,2 | g 2 |(8.18)В пределе СР (и когда параметр f не стреится к 0 или 1), т.е.

при N→∞можно принебречь слагаемым 2/(εzz,2|g2|), а так же N-1≈N, тогда получаетсявыражение (8.19) для полярных А(ТО) модzz ,2zz ,1dd(8.19)21Для случая ОКЯ с тонким слоем GaN, что соответствует случаю N=1получается выражение (8.20):d1zz ,12 0. |g |zz ,2(8.20)2В случае E(LO) мод на частоте фонона должно выполняться условиеD  0 , Уравнение этого условия - (8.21).xN  d   N  1  d xx ,11xx ,2220|g |xx ,2(8.21)2Данное уравнение представляет собой вековое уравнение на частотуданной фононной моды в длинноволновом пределе для структуры смножественными квантовыми ямами, заключенными в полубесконечныебарьеры. В случае ОКЯ (N=1) из этого уравнения получается уравнение(8.22). d xx ,1120|g |xx ,22(8.22)134В случае СР, что соответствует N→∞, и когда параметр f не стреится к 0 или1, слагаемым 2εхх,2/g2 можно пренебречь, а N-1≈N в таком случае уравнение(8.21) переходит в (8.23)xx ,2xx ,1dd(8.23)12Область решений в вюрцитных МКЯ GaN/AlN для различных соотношенийтолщин слоев удобно оценить, переписав уравнения (8.18) и (8.21) в форме(8.24) и (8.25) соответственноzz ,1zz ,2Nd(8.24)12 N  1 d g22 N  1 dxx ,1xx ,222|g |(8.25)2Nd1В уравнениях (8.24) и (8.25) правая часть является отрицательнойвнезависимости от числа квантовых ям и соотношений толщин слоев.

Характеристики

Список файлов диссертации