Диссертация (1145439), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Поэтому для выполнения условия рациональности для первого игрока должно бытьвыполненоδ < usl1 .Аналогично, из условия рациональности для второго игрока получим, что должно бытьвыполнено δ < usl2 .Исследуем какое из условий достаточно для рациональности решения, если δ2 > δ1 .Во-первых заметим, что∂B1∂B2> 0,< 0.∂δ2∂δ2Поэтому функция B1 − B2 возрастает по δ2 и B1 = B2 = 0, если δ2 = δ1 , следовательноB1 > B 2 .Несложно показать, что M1 > M2 и K1 < K2 .Рассмотрим разницу√√1 K1 M2 − M1 K2 + M2 D1 − M1 D2,usl1 − usl2 =2αM1 M2где Di = (Ki + (1 + α)Mi )2 + 8ai (1 − ai )Mi (ln ε − 1 − (1 − α) ln 2).K1 M2 − M1 K2 = 2(α ln 2 − ln x)(δ1 (1 − a1 )M2 − δ2 (1 − a2 )M1 ) < 0 ,еслиδ1 (1 − a1 )M2 − δ2 (1 − a2 )M1 < 0 .(2.11)218M2=ppD1 − M1 D2 =δ1 (1 − a1 )M2 − δ2 (1 − a2 )M1√√(2(α ln 2 − ln x)(K1 M2 + K2 M1 ) +M2 D1 + M1 D2+4M1 M2 (−3α(1 − α) ln 2 + 4α(ln ε − 1) − (1 − α) ln x)) < 0поскольку выполняется (2.11) и K1 M2 + K2 M1 = K1 M2 − K2 M1 + 2M1 K2 < 0.Следовательноusl1 < usl2 ,а (2.11) эквивалентно следующему неравенствуδ1 V2 (x, δ2 ) − δ2 V1 (x, δ1 ) < 0 .0.350.30.25d20.20.150.10.050.050.10.150.2d10.250.30.35Рис.
4.7. Условия на δ: темная линия – usl1 , светлая линия – usl2На рис. 4.7 изображены области существования общего коэффициента дисконтирования, в которых выполнены условия рациональности кооперации. При моделировании былииспользованы следующие параметры: α = 0.8, ε = 0.95, x0 = 0.8. Область, ограниченнаясверху кривой темного цвета, соответствует случаю выполнения usl1 , а область, ограниченная справа светлой кривой – usl2 . Заметим, что когда δ1 и δ2 малы и близки по значениюоба условия выполняются.4.2.2.2. Арбитражное решениеПредположим, что кооперативный выигрыш распределяется в пропорции γV (x, δ) : (1−γ)V (x, δ), где γ – неизвестный параметр. Найдем условия, которым должны удовлетворять219параметры δ и γ для рациональности кооперацииγV (x, δ) ≥ V1 (x, δ1 ) , (1 − γ)V (x, δ) ≥ V2 (x, δ2 ) .(2.12)Из (2.12) выпишем условия на γ:V (x, δ) − V2 (x, δ2 )V1 (x, δ1 )≤γ≤.V (x, δ)V (x, δ)V1 (x, δ1 )V (x, δ) − V2 (x, δ2 )и r2 =.V (x, δ)V (x, δ)∂V (x, δ)Поскольку< 0, функция r1 возрастает по δ, а r2 убывает по δ.
Следовательно∂δполучим условия в видеОбозначим r1 =lim r2 ≤ γ ≤ lim r1 ,δ→0δ→0иlim r1 =δ→0V2 (x, δ2 )V1 (x, δ1 ), lim r2 = 1 −.2 ln(εx/2) δ→02 ln(εx/2)Поэтому решение существует, если³ εx ´³ εx ´2 − V2 (x, δ2 )/ ln< 2γ < V1 (x, δ1 )/ ln.22(2.13)А условия существования δ (см. раздел 4.2.2.1) принимают видn γK + (1 + α)Miiδ < min+2αMipo(γKi +(1+α)Mi )2 +8αγ(1−a1 )Mi (ln ε−1−ln 2(1−α))+, i = 1, 2 .2αMiТаким образом, получено множество допустимых параметров δ и γ. Для построениярешения предлагается использовать арбитражную схему Нэшаg = (γV (x, δ) − V1 (x, δ1 ))((1 − γ)V (x, δ) − V2 (x, δ2 )) → max .δ,γИсследуем функцию g:∂g ∂V (x, δ)=((1−γ)(γV (x, δ)−V1 (x, δ1 )) + γ((1−γ)V (x, δ)−V2 (x, δ2 ))) < 0∂δ∂δ∂V (x, δ)< 0 и условия (2.12) должны выполняться.∂δСледовательно, g убывает по δ и максимум достигается при δ → 0.
Максимум по γ∂ 2g= −2V (x, δ)2 < 0.существует, т.к.∂γ 2³ εx ´³ εx ´lim g = (2γ ln− V1 (x, δ1 ))(2(1 − γ) ln− V2 (x, δ1 )) ,δ→022поскольку220откудаγ∗ =³ εx ´1 1+ (V1 (x, δ1 ) − V2 (x, δ2 ))/ ln.2 42(2.14)Для существования аналитического решенияδ = 0 , γ = γ∗условия (2.13) и 0 < γ < 1 должны выполняться, что эквивалентно,2³2´< V1 (x, δ1 ) − V2 (x, δ2 ) < 2 ln.εxV1 (x, δ1 ) + V2 (x, δ2 ) < 2 ln2 ln³ εx ´2³ εx ´(2.15)В остальных случаях решение может быть найдено численно.В качестве первого примера рассмотрим следующие параметры: δ1 = 0.1, δ2 = 0.2.Легко проверить, что условия (2.15) выполняются и (2.13) принимает вид 0.070 < γ <0.494. Следовательно, существует аналитическое решение: δ = 0, γ = 0.183. Также можнонайти его и численно как показано на рис.
4.8, где был получен следующий результат:δ = 0.001,γ = 0.2. Выигрыши игроков принимают вид: V1c = γV (x, δ) = −0.390, V2c =(1 − γ)V (x, δ) = −1.560.Теперь рассмотрим случай с большими коэффициентами дисконтирования: δ1 = 0.8 иδ2 = 0.9. Получим, что условия (2.15) не выполняются и будем искать решение численно.Как показано на рис. 4.9 мы получили δ = 0.001, γ = 0.1 и кооперативные выигрышиV1c = −0.195, V2c = −1.755.–14–1–12–10–8–6–4–20–1.2–5–1.4–10–1.6–15–1.8–20–2–25–2.2–30–2.4–35–1–0.8–0.6–0.4–0.2Рис.
4.8. Переговорное множество приРис. 4.9. Переговорное множество приδ1 = 0.1, δ2 = 0.2δ1 = 0.8, δ2 = 0.92214.2.3. Кооперативное равновесиеВ данном разделе рассматривается модель управления возобновляемыми ресурсами сконечным горизонтом планирования (2.4), (2.9), а кооперативные стратегии и выигрышиагентов эколого-экономической системы определяются без использования общего коэффициента дисконтирования. Исследованы два варианта построения кооперативного поведенияпри помощи арбитражной процедуры Нэша:1. Кооперативные стратегии определяются из решения арбитражной схемы для всегопериода продолжения игры;2.
Используется рекурсивная арбитражная процедура, где арбитражная схема Нэшаприменяется на каждом шаге игры.4.2.3.1. n-шаговая игра и арбитражная схема НэшаКооперативные стратегии и выигрыши определяются из решения задачи максимизациипроизведения Нэша для всего периода продолжения игры, т.е. решается следующая задача:(V1nc (x, δ1 ) − V1n (x, δ1 ))(V2nc (x, δ2 ) − V2n (x, δ2 )) =nnXXtcnδ2t ln(uc2t ) − V2n (x, δ2 )) → cmax,δ1 ln(u1t ) − V1 (x, δ1 ))(=(cu1t ,u2t ≥0t=0t=0где Vin (x, δi ) – некооперативные выигрыши, определенные в (2.10).Теорема 2.5.
Кооперативные выигрыши в n-шаговой игре (2.4), (2.9) имеют видH1n (γ11 , . . . , γ1n , γ21 , . . . , γ2n )=nXaj1ln x +j=0+nXj=1jδ1n−jXnXδ1n−j ln(γ1j ) +j=1nai1 ln(ε − γ1j − γ2j ) − δ1n ln 2 =i=1+nXj=1δ1n−jX n−j1 − an+11ln x +δ1 ln(γ1j ) +1 − a1j=1a1 (1 − aj1 )ln(ε − γ1j − γ2j ) − δ1n ln 2 ,1 − a1(2.16)nH2n (γ11 , . . . , γ1n , γ21 , . . . , γ2n ) =+nXj=1δ2n−jX n−j1 − an+12ln x +δ2 ln(γ2j ) +1 − a2j=1a2 (1 − aj2 )ln(ε − γ1j − γ2j ) − δ2n ln 2 .1 − a2(2.17)Кооперативные стратегии игроков связаны какγ1t =εγ11 at−12 (1 + a2 )=tttP jPPjjt−1t−1t−11ttεa1a2 + γ1 ((a2 + a2 )a1 − (a1 + a1 )a2 )j=0=j=0j=021 t−1εγ1 a2 (1 − a2 )(1 − a1 )t−1t+1t−1t−1 2222εa1 (1−a1 )(1−a2 )+γ11 (at−12 (1−a2 )−a1 (1−a1 −a2 (a2 −a1 ))),(2.18)222ε − γ1tγ2t =tPj=0tPj=0aj1=aj2ε(1 − a1 )(1 − a2 ) − γ1t (1 − a2 )(1 − at+11 ), t = 1, .
. . , n .t+1(1 − a1 )(1 − a2 )(2.19)Стратегия первого игрока на последнем шаге – γ11 определяется из решения одного изуравнений условий первого порядка, например, последнегоan−1(ε − γ11 (1 + a1 ))(H1n − V1n ) − an−1(1 + a2 )γ11 (H2n − V2n ) = 0 .12(2.20)Доказательство. Сначала рассмотрим одношаговую игру и предположим, что в концеигры агенты делят оставшийся ресурс поровну. Начальный размер популяции – x.Как обычно в моделях «рыбных войн» стратегии игроков будем искать в линейном видеuc11 = γ11 x и uc21 = γ21 x.Тогда выигрыш первого игрока в одношаговой игре имеет вид´³111111 αH11 (γ1 , γ2 ) = ln(γ1 x) + δ1 ln (εx − γ1 x − γ2 x) =2= (1 + a1 ) ln x + ln(γ11 ) + a1 ln(ε − γ11 − γ21 ) − δ1 ln 2и, аналогично, второго –H21 (γ11 , γ21 ) = (1 + a2 ) ln x + ln(γ21 ) + a2 ln(ε − γ11 − γ21 ) − δ2 ln 2 .Следовательно, функция выигрыша первого игрока в двухшаговой игре примет видH12 (γ11 , γ12 , γ12 , γ22 ) = ln(γ12 x) + δ1 H11 (γ11 , γ21 ) == ln(γ12 x) + δ1 (1 + a1 ) ln(εx − γ12 x − γ22 )α ++δ1 (ln(γ11 ) + a1 ln(ε − γ11 − γ21 ) − δ1 ln 2) == (1 + a1 + a21 ) ln x + ln(γ12 ) + a1 (1 + a1 ) ln(ε − γ12 − γ22 ) ++δ1 ln(γ11 ) + δ1 a1 ln(ε − γ11 − γ21 ) − δ12 ln 2 ,второго –H22 (γ11 , γ21 , γ12 , γ22 ) = (1 + a2 + a22 ) ln x + ln(γ22 ) ++a2 (1 + a2 ) ln(ε − γ12 − γ22 ) + δ2 ln(γ21 ) + δ2 a2 ln(ε − γ11 − γ21 ) − δ22 ln 2) .Кооперативные стратегии в двухшаговой игре определяются из решения следующейзадачи:H2 (γ11 , γ21 , γ12 , γ22 ) == (H12 (γ11 , γ21 , γ12 , γ22 ) − V12 (x, δ1 ))(H22 (γ11 , γ21 , γ12 , γ22 ) − V22 (x, δ2 )) == (H12 − V12 )(H22 − V22 ) →maxγ11 ,γ21 ,γ12 ,γ22.223Существование и единственность решения данной задачи, достигающегося во внутренней точке допустимого множества, показано в лемме 2.1 следующего раздела и выполненодля задач с любым количеством шагов.Условия первого порядка имеют вид³δ´δ1 a1δ2 a2(H22 − V22 ) −(H12 − V12 ) = 0 ,11ε − γ1 − γ2ε − γ11 − γ21³δ´δ2 a2δ1 a122(H−V)+−(H12 − V12 ) = 0 ,−222ε − γ11 − γ21γ21 ε − γ11 − γ211γ11−³1a2 + a22a1 + a21 ´2)−(H−V−(H12 − V12 ) = 0 ,222γ12 ε − γ12 − γ22ε − γ12 − γ22³1a1 + a21a2 + a22 ´2−(H−V)+−(H12 − V12 ) = 0 .222ε − γ12 − γ22γ22 ε − γ12 − γ22(2.21)(2.22)(2.23)(2.24)Вычитая (2.22) из (2.21) и (2.24) из (2.23), получимδ2 γ11(H12 − V12 ) ,δ1 γ21γ2(H22 − V22 ) = 12 (H12 − V12 ) .γ2(H22 − V22 ) =(2.25)(2.26)Откудаδ2 γ11γ12=δ1 γ21γ22илиa2 γ11γ12=.a1 γ21γ22(2.27)Подставляя (2.25) и (2.26) в (2.21) и (2.22), получимδ2 ³a1 γ11 + a2 γ21 ´1−(H12 − V12 ) = 0 ,γ21ε − γ11 − γ211³(a1 + a21 )γ12 + (a2 + a22 )γ22 ´1−(H12 − V12 ) = 0 .222γ2ε − γ1 − γ2Откудаγ21 =ε − γ11 (1 + a1 )ε − γ12 (1 + a1 + a21 ), γ22 =.1 + a21 + a2 + a22(2.28)Подставляя (2.28) в (2.27), получим следующее соотношение:γ12 =εγ11 (a2 + a22 ).εa1 (1+a2 +a22 )+γ11 ((a2 +a22 )(1+a1 +a21 )−(a1 +a21 )(1+a2 +a22 ))(2.29)Следовательно, все параметры выражены через одну неизвестную стратегию первогоигрока на последнем шаге – γ11 , для определения которой необходимо решить одно из уравнений (2.21)–(2.24).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
