Диссертация (1145439), страница 33

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 33)

Проведена проверка выполнения условий внешней и внутреннейустойчивости. В явном виде получены условия коалиционной устойчивости для представленной модели. Показано, что сформулированное понятие устойчивости дает возможностьформирования устойчивых коалиций большой размерности.4.1.1. Модель с миграциейВ данном разделе исследуется дискретная модель управления возобновляемым ресурсом, в которой эксплуатируемая территория разделена на две части, где ведут эксплуатацию игроки типа 1 (N = {1, .

. . , n}) и типа 2 (M = {1, . . . , m}). Предполагается, что междучастями эксплуатируемой территории существует миграционный обмен. Таким образом,размер популяции в одном районе (где вылов ведут игроки типа 1) зависит не только отвылова и размера популяции в предыдущий момент, но и от размера популяции и выловав другом районе (где популяцию эксплуатируют игроки типа 2).Предполагается, что возможно формирование двух коалиций и присутствие игроковобоих типов, играющих индивидуально. При этом рассматриваются два механизма формирования коалиций: 1) игроки в коалициях и индивидуальные игроки определяют своистратегии независимо (стратегии Курно-Нэша); 2) коалиции являются лидерами, а индивидуальные игроки – ведомыми (стратегии Штакельберга).195Для представленной модели исследованы условия внутренней и внешней устойчивости(1.3) и (1.4).

К сожалению, как и в большинстве эколого-экономических моделей [101], коалиции только малой размерности здесь являются внутренне устойчивыми (для стратегийКурно-Нэша). А для стратегий Штакельберга коалиции являются скорее внутренне, чемвнешне устойчивыми. Однако, предложенные условия коалиционной устойчивости (1.5),(1.6) дают возможность формирования устойчивых коалиций большой размерности.Итак, предполагаем, что популяция развивается в соответствии с биологическим законом [108] x = xα1 y β1 , x = x ,t+10tt y = y α2 xβ2 , y = y ,t+10ttгде xt ≥ 0 – размер популяции в первом районе в момент времени t, yt ≥ 0 – размерпопуляции во втором районе в момент времени t, 0 < αi < 1 – коэффициенты внутреннегороста, 0 < βi < 1 – коэффициенты миграции (i = 1, 2).Пусть N = {1, .

. . , n} игроков эксплуатируют популяцию xt , M = {1, . . . , m} игроков –популяцию yt .Функции выигрышей игроков имеют логарифмический вид. Рассматриваются задачимаксимизации бесконечных сумм дисконтированных выигрышей игроков:Ji =∞Xt=0tδ ln(uit ) → max , i = 1, . .

. , n, Jj =uit∞Xδ t ln(vjt ) → max , j = 1, . . . , m ,t=0vjt(1.7)где uit , vjt ≥ 0 – стратегии (интенсивность эксплуатации) игроков в момент времени t,0 < δ < 1 – коэффициент дисконтирования.Стратегии игроков являются допустимыми, если выполнены условияnXuit ≤ xt ,i=1mXvjt ≤ yt .(1.8)j=1Таким образом, динамика развития популяции с учетом эксплуатации приобретает вид³´ α1 ³´β1nmPPuityt −vjt, x0 = x , xt+1 = xt −i=1j=1³´ α2 ³´β2(1.9)mnPPy=y−vx−u,y=y.tjttit0 t+1j=1i=1Для упрощения формул в дальнейшем будем использовать следующие обозначения:∆ = (1 − a1 )(1 − a2 ) − b1 b2 , ai = δαi , bi = δβi , i = 1, 2 ,z1 =1 − a2 − ∆1 − a1 − ∆, z2 =.∆∆196При этом введем ограничения∆ ≥ 0, z1 ≥ 0, z2 ≥ 0 ,(1.10)что соответствует ситуации достаточно малого коэффициента дисконтирования.Начнем рассмотрение с некооперативного случая и найдем равновесие по Нэшу.Теорема 1.1. Оптимальные по Нэшу стратегии игроков в задаче (1.7), (1.9) имеют видui = γ N x , i = 1, .

. . , n,vj = φN y , j = 1, . . . , m ,гдеγN =11, φN =.n + z2m + z1Доказательство. Для доказательства используем метод динамического программирования [8]. Предполагаем, что стратегии игроков линейно зависят от размеров популяций. Таккак все игроки одного типа одинаковы, то ui = γ N x, i ∈ N и vj = φN y, j ∈ M . А функцииБеллмана ищем в следующем виде:Vi (x, y) = A1 ln x + B1 ln y + C1 , i = 1, .

. . , n ,Wj (x, y) = A2 ln x + B2 ln y + C2 , j = 1, . . . , m .Тогда уравнения Беллмана примут вид= ln(ui ) + δA1 [α1 ln(x −+δB1 [α2 ln(y −mXvj ) + β2 ln(x −j=1+δB2 [α2 ln(y −A1 ln x + B1 ln y + C1 =mXui ) + β1 ln(y −vj )] +i=1nXj=1ui )] + δC1 , i = 1, . . . , n ,i=1= ln(vj ) + δA2 [α1 ln(x −mXnXvj ) + β2 ln(x −j=1nXi=1nXA2 ln x + B2 ln y + C2 =mXui ) + β1 ln(y −vj )] +j=1ui )] + δC2 , j = 1, . . . , m .i=1Максимизируя, получим оптимальные некооперативные стратегииui =1x , i = 1, . . . , n,n + z2vj =1y , j = 1, .

. . , mm + z1и параметры функций Беллмана в видеA1 =1 − a2b1b21 − a1, B1 = , A 2 = , B2 =,∆∆∆∆1971 hb1 ³ z1 ´iz2 ln z2 − (z2 + 1) ln(n + z2 ) + ln,1−δ∆m + z11 hb2 ³ z2 ´iC2 =z1 ln z1 − (z1 + 1) ln(m + z1 ) + ln.1−δ∆n + z2C1 =Осталось показать, что такие стратегии являются допустимыми (1.8), т.е.0 ≤ nγ N ≤ 1 , 0 ≤ mφN ≤ 1 ,что выполнено при условиях (1.10).Аналогично рассмотрим кооперативный случай (формирование гранд коалиции). Приэтом игроки максимизируют суммарный дисконтированный выигрыш∞nmhXiXXtJ=δln(uit ) +ln(vjt ) →t=0i=1j=1maxuit ,i∈N, vjt ,j∈M.(1.11)Теорема 1.2. Оптимальные кооперативные стратегии игроков в задаче (1.9), (1.11) имеют видui = γx , i = 1, .

. . , n, vj = φy , j = 1, . . . , m ,гдеγ=11, φ=.b2n(z2 + 1) + m ∆m(z1 + 1) + n b∆1При этом кооперативный выигрыш имеет видV = (nA1 + mA2 ) ln x + (nB1 + mB2 ) ln y + C ,³³i1 hb2 ´b1 ´C=n ln γ + m ln φ + nz2 + mln(1 − nγ) + mz2 + nln(1 − mφ) .1−δ∆∆Доказательство.

Аналогично теореме 1.1. Заметим только, что условия (1.8) выполнены,т.к. они принимают видn(1 − a2 )a2 + b2 (m + nb1 ) ≥ 0, m(1 − a1 )a1 + b1 (n + mb2 ) ≥ 0 .Следствие 1.1. Общий выигрыш игроков при кооперативном поведении больше, чем вравновесии по Нэшу.Доказательство. Сравним выигрыш гранд коалиции и сумму выигрышей игроков в некооперативном случаеg = V − nV N − mW N = C − nC1 − mC2 = g1 (z1 ) + g2 (z2 ) ,198где³ p (m + z ) ´³m + z ´b1111g1 (z1 ) = m ln+ p1 ln, p1 = mz1 + n ,m + p1z1∆³n + z ´³ p (n + z ) ´b2222g2 (z2 ) = n ln+ p2 ln, p2 = nz2 + m .n + p2z2∆Несложно показать, что функция g возрастает по z1 и z2 . Поэтому рассмотримh³lim g2 (z2 ) = n lnz2 →0´³b2 ³ b2 ´inb2n´+mlnm+mlimln1+.∆∆∆ z2 →0z2m b∆2 + nВыражение в квадратных скобках положительно, т.к.

оно имеет видm³m b´´b2 ³ b2 ´b2 ³ ³ b2 ´2ln m− n ln+1 ≥mln m− 1 ≥ 0.∆∆n∆∆∆А последний предел равен ∞. Аналогично проверяется, чтоlim g1 (z1 ) ≥ 0 .z1 →0Следовательно, функция g неотрицательная, а это значит, что выигрыш гранд коалициибольше, чем сумма выигрышей в некооперативном случае.Следствие 1.2. Состояние популяций лучше при кооперативном поведении игроков, чемв равновесии по Нэшу.Доказательство. В некооперативном случае динамика развития популяций приобретаетвид³ z ´ α1 ³ z´β121α1 β1 xt+1 = xt yt,z2 ´ ³ m + z1´³n+β2α2z2z1 yt+1 = ytα2 xβt 2,n + z2m + z1а при кооперации –³ p ´ α1 ³ p´β121 xt+1 = xαt 1 ytβ1,p2 ´ ³ m + p1´³n+β2α2p2p1 yt+1 = ytα2 xβt 2.n + p2m + p1При этомp2z2p1z1>,>.n + p2n + z2 m + p 1m + p1Следовательно, размер популяций в обоих районах больше в кооперативном случае.1994.1.2. Формирование коалиционного разбиенияВ данном разделе исследуется возможность формирования двух коалиций и присутствия игроков обоих типов, играющих индивидуально.

При этом предполагается два механизма формирования коалиций: 1) игроки в коалициях и индивидуальные игроки определяют свои стратегии независимо (стратегии Курно-Нэша); 2) коалиции являются лидерами,а индивидуальные игроки – ведомыми (стратегии Штакельберга).Независимое формирование двух коалицийПусть игроки типа 1 формируют коалицию K ⊂ N , |K| = k, игроки типа 2 – L ⊂ M ,|L| = l, а оставшиеся N \K и M \L игроков используют оптимальные по Нэшу стратегии,определенные в играх с n − k + 1 и m − l + 1 агентами, соответственно.Таким образом, игроки максимизируют следующие функционалы:Jk =∞∞hXihXiXXlδtln(ukit ) → max , J l =δtln(vjt) → max ,t=0JiN =∞Xt=0ukit ,i∈Ki∈KNδ t ln(uNit ) → max , i ∈ N \K, Jj =uNitt=0∞Xl ,j∈Lvjtj∈LNδ t ln(vjt) → max , j ∈ M \L .t=0NvjtТеорема 1.3.

Оптимальные стратегии игроков в задаче (1.9), (1.12) имеют видN \Kuki = γ k x , i ∈ K , uNx , i ∈ N \K ,i = γvjl = φl y , j ∈ L , vjN = γ M \L y , j ∈ M \L ,где11, γ k = γ N \K ,n − k + 1 + z2k11=, φl = φM \L .m − l + 1 + z1lγ N \K =φM \LПри этом выигрыши коалиций принимают видV k (K, L) = kA1 ln x + kB1 ln y + C k , V l (K, L) = lA2 ln x + lB2 ln y + C l ,выигрыши игроков, не входящих в коалиции, –ViN (K, L) = A1 ln x + B1 ln y + C N \K , i ∈ N \K ,WjN (K, L) = A2 ln x + B2 ln y + C M \L , j ∈ M \L .(1.12)200Параметры связаны какlkln k , C l = lC M \L −ln l ,1−δ1−δ´i1 hb1 ³z1N \KC=z2 ln(z2 ) − (z2 + 1) ln(n − k + 1 + z2 ) + ln,1−δ∆m − l + 1 + z1´i1 hb2 ³z2C M \L =z1 ln(z1 ) − (z1 + 1) ln(m − l + 1 + z1 ) + ln.1−δ∆n − k + 1 + z2C k = kC N \K −Доказательство.

Аналогично теореме 1.1, а условия (1.8) выполняются, т.к.z2≥ 0,n − k + 1 + z2z1=≥ 0.m − l + 1 + z11 − kγ k − (n − k)γ N \K =1 − lφl − (m − l)φM \LФормирование коалиций в условиях ШтакельбергаПусть игроки типа 1 формируют коалицию K ⊂ N , |K| = k, игроки типа 2 – L ⊂ M ,|L| = l, а оставшиеся N \K и M \L игроков используют оптимальные по Нэшу стратегии.При этом предполагается, что коалиции являются лидерами, а оставшиеся игроки – ведомыми.Таким образом, сначала игроки, не входящие в коалиции, определяют свои равновесныепо Нэшу стратегии в предположении, что кооперативные стратегии известны. После этогоигроки в коалициях максимизируют свой выигрыш.Этап 1.

Характеристики

Список файлов диссертации