Диссертация (1145439), страница 34

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 34)

Пусть стратегии игроков из коалиций uki , i ∈ K и vjl , j ∈ L заданы. Индивидуальные игроки решают задачи максимизации своих выигрышейJiN =∞Xδ t ln(uit ) → max , i ∈ N \K, JjN =uitt=0∞Xδ t ln(vjt ) → max , j ∈ M \Lvjtt=0при динамике развития ресурса´β1´α1 ³³PP lPP kvjt , x0 = x ,uityt −vjt −uit − xt+1 = xt −j∈Li∈Kj∈M \Li∈N \K´β2´α2 ³³PP kPP lu, y0 = y .−vx−u−y=y−vitjttt t+1itjtj∈Li∈Kj∈M \L(1.13)(1.14)i∈N \KNПолученные равновесные стратегии обозначим ũNi , i ∈ N \K и ṽj , j ∈ M \L.Этап 2.

Игроки, входящие в коалиции, максимизируют свой суммарный выигрыш∞∞hXihXiXXlttln(vjt ) → maxln(uit ) → max , J =δJ =δkt=0i∈Kuit ,i∈Kt=0j∈Lvjt ,j∈L(1.15)201при динамике³P N ´β1PP N ´α1³Pu−ũy−v−ṽjt, x0 = x ,x=x−ittjtt+1titi∈Kj∈Li∈N \Kj∈M \L³PP N ´α2³PP N ´β2vjt −ṽjtxt −uit −ũit, y0 = y . yt+1 = yt −j∈Li∈Kj∈M \L(1.16)i∈N \KПолученные стратегии членов коалиций обозначим ũki , i ∈ K и ṽjl , j ∈ L.Теорема 1.4. Оптимальные стратегии игроков в задаче (1.13)–(1.16) имеют видN \Kũki = γ̃ k x , i ∈ K , ũNx , i ∈ N \K ,i = γ̃ṽjl = φ̃l y , j ∈ L , ṽjN = γ̃ M \L y , j ∈ M \L ,где1z2, γ̃ N \K = kγ̃ k,k(z2 + 1)n − k + z21z1φ̃l =, φ̃M \L = lφ̃l.l(z1 + 1)m − l + z1γ̃ k =При этом выигрыши коалиций принимают видṼ k (K, L) = kA1 ln x + kB1 ln y + C̃ k , Ṽ l (K, L) = lA2 ln x + lB2 ln y + C̃ l ,выигрыши игроков, не входящих в коалиции, –ṼiN (K, L) = A1 ln x + B1 ln y + C̃ N \K , i ∈ N \K ,W̃jN (K, L) = A2 ln x + B2 ln y + C̃ M \L , j ∈ M \L .Параметры связаны как³´kz2 kC̃ = k C̃−ln,1−δn − k + z2³´z21 hC̃ N \K =− ln(z2 + 1) + ln+1−δn − k + z2³´ b ³´iz22z121+z2 ln+ ln,(z2 + 1)(n − k + z2 )∆(z1 + 1)(m − l + z1 )³´lz1 llM \LC̃ = lC̃−ln,1−δm − l + z1³´1 hz1C̃ M \L =− ln(z1 + 1) + ln+1−δm − l + z1´³´ib2 ³z22z12+ ln+ z1 ln.∆(z2 + 1)(n − k + z2 )(z1 + 1)(m − l + z1 )kN \KСледствие 1.3.

При независимом формировании коалиций выигрыш индивидуальных игроков больше, чем при формировании коалиций по Штакельбергу. А для кооперирующихсяигроков верно обратное утверждение.202Доказательство. Сравним выигрыш игрока, не входящего в коалицию K, в обеих моделях:1ViN − ṼiN = C N \K − C̃ N \K =·1−δ³³ (n − k + z )(z + 1) ´ b ³ (m − l + z )(z + 1) ´´22111· (z2 + 1) ln+ ln≥ 0,(n − k + z2 + 1)z2∆(m − l + z1 + 1)z1т.к. оба слагаемых положительны.Сравним выигрыш игрока, входящего в коалицию K (при равном делении выигрыша,т.к. игроки в коалиции K одинаковы):g=´³V k Ṽ k1z2.−= C N \K − C̃ N \K +lnkk1−δn − k + z2Несложно проверить, что эта функция возрастает по z2 . Найдем предел при z2 → ∞.Заметим, что при этом z1 = z2 +a2 −a1∆тоже стремится к бесконечности иlim g = 0 .z2 ,z1 →∞Следовательно, функция g неположительная, что и доказывает утверждение.4.1.3.

Внутренняя и внешняя устойчивость коалицийПроведем проверку условий устойчивости в представленной модели.Независимое формирование коалицийУсловие внутренней устойчивости (1.3) коалиции K принимает вид1 − a2 ³ (n − k + 1)∆ + 1 − a2 ´gint (k) =ln− ln k ≥ 0 .∆(n − k)∆ + 1 − a2Функция gint (k) вогнута по k. При этом gint (1) > 0 и gint (n) < 0 при n > 2. Поэтому условие внутренней устойчивости выполняется для коалиций размера k ≤ k̄, где k̄ находитсяиз равенства1 − a2.∆√zЗаметим, что решение стремится к k̄ = 1 при n → ∞, т.к. k̄ = 1 +(n − k̄ + z + 1)z = (n − k̄ + z)z k̄, z =1.n + z − k̄Условие внешней устойчивости (1.4) коалиции K принимает вид1 − a2 ³ (n − k − 1)∆ + 1 − a2 ´gext (k) =ln+ ln(k + 1) ≥ 0 .∆(n − k)∆ + 1 − a2Функция gext (k) выпукла по k.

При этом gext (n − 1) > 0 и может быть положительнойили отрицательной при k = 1. Поэтому условие внешней устойчивости выполняется длякоалиций любого размера при n, удовлетворяющем условию³n − 2 + z ´z ln+ ln 2 > 0 ,n−1+z203откудаn>z − 1 − (z − 2)21/z.21/z − 1(1.17)Если условие (1.17) не выполняется, то размер внешне устойчивой коалиции определяется из условия k ≥ k̄, где k̄ находится из равенства(n − k̄ + z − 1)z (k̄ + 1) = (n − k̄ + z)z , z =1 − a2.∆Аналогичные условия выполняются и для коалиции L.Таким образом, обе коалиции являются внешне устойчивыми при большом числе игроков, но не являются внутренне устойчивыми.

В работах по устойчивости кооперативныхсоглашений [90], [93], [104] показано, что условие внутренней устойчивости выполняетсяредко.Формирование коалиций по ШтакельбергуДля модели Штакельберга условие внутренней устойчивости (1.3) коалиции K принимает вид³ n−k+z ´³´z−1g̃int (k) = z ln− ln k − ln≥ 0.n−k−1+zn−k−1+zФункция g̃int (k) убывает по k, поэтому достаточно проверить знак при k = n. Следовательно, условие внутренней устойчивости выполняется для коалиций любого размера приn, удовлетворяющем условиюn<³ z ´z1 − a2, z=.z−1∆(1.18)Если условие (1.18) не выполняется, то размер внутреннее устойчивой коалиции определяется из условия k ≤ k̄, где k̄ находится из равенства(n − k̄ + z − 1)1−z (n − k̄ + z)z = k̄(z − 1) .Для модели Штакельберга условие внешней устойчивости (1.4) коалиции K принимаетвидg̃ext (k) = z2 ln³n − k − 1 + z ´2n − k + z2³´z2+ ln(k + 1) + ln≥ 0.n − k + z2Функция g̃ext (k) возрастает по k, поэтому достаточно посмотреть знак при k = 1.

Ноg̃ext (1) < 0, что несложно проверить. Поэтому условие внешней устойчивости выполняетсядля коалиций размера k ≥ k̄, где k̄ находится из равенства(n − k̄ + z − 1)z2 (k̄ + 1) = (n − k̄ + z)z2 +1 , z2 =1 − a2 − ∆.∆204Аналогичные условия выполняются и для коалиции L.Таким образом, как и следовало ожидать, в случае формирования коалиций по Штакельбергу обе коалиции являются скорее внутренне, чем внешне устойчивыми.Следовательно, как и в большинстве эколого-экономических моделей условия устойчивости выполняются только для коалиций малой размерности [101]. Поэтому необходимоиспользовать другие понятия устойчивости коалиционного разбиения.4.1.4. Коалиционная устойчивостьДля проверки введенных условий устойчивости построим оптимальные стратегии игроков и выигрыши коалиций для следующих случаев:1.

Игроки формируют коалицию L ∪ P , где j ∈ L ⊂ M – игроки типа 2, i ∈ P ⊂ K – игрокитипа 1. При этом у игроков типа 1 остается коалиция K\P , а все оставшиеся агенты играютиндивидуально.2. Игроки формируют коалицию K ∪ Q, где i ∈ K ⊂ N – игроки типа 1, j ∈ Q ⊂ L – игрокитипа 2. При этом, у игроков типа 2 остается коалиция L\Q, а все оставшиеся агенты играютиндивидуально.Используя, как и ранее, метод динамического программирования, получим выигрышиновых сформировавшихся коалиций.При независимом формировании коалиций:1.V l+p = (pA1 + lA2 ) ln x + (pB1 + lB2 ) ln y + C l+p ,1 hl+pC=p ln γ l+p + l ln φl+p +1−δl+p+(pA1 + lA2 − p) ln(1 − pγ − (k − p)γ k−p − (n − k)γ N ) +i+(pB1 + lB2 − l) ln(1 − lφl+p − (m − l)φN ) .При этом стратегии игроков принимают видz2uNi, i ∈ P , uk−p, i ∈ K\P ,=iH1k−ppz2 + l b∆2NuN=xγ=x, i ∈ N \K ,iH1lz1 + p b∆1z1= y , j ∈ L , vjN = yφN = y, j ∈ M \L ,F1F1³b2 ´(n − k + 1 + z2 ) + pz2 ,H1 = pz2 + l∆³b1 ´b1F1 = lz1 + p(m − l + 1 + z1 ) − p .∆∆ul+p= xγ l+p = xivjl+p = yφl+p(1.19)(1.20)2052.V k+q = (kA1 + qA2 ) ln x + (kB1 + qB2 ) ln y + C k+q ,1 hk ln γ k+q + q ln φk+q +C k+q =1−δ+(kA1 + qA2 − k) ln(1 − kγ k+q − (n − k)γ N ) +i+(kB1 + qB2 − q) ln(1 − qφk+q − (l − q)φl−q − (m − l)φN ) .(1.21)(1.22)При этом стратегии игроков принимают видvjNz1, j ∈ Q , vjl−q =, j ∈ L\Q ,H2l−qqz1 + k b∆1NN, j ∈ M \L ,vj = yφ = yH2kz2 + q b∆2z2N= x , i ∈ K , uN=xγ=x, i ∈ N \K ,iF2F2³b1 ´H2 = qz1 + k(m − l + 1 + z1 ) + qz1 ,∆³b2 ´b2F2 = kz2 + q(n − k + 1 + z2 ) − q .∆∆vjk+q = yφk+q = yuk+q= xγ k+qiПри формировании коалиций по Штакельбергу:1.

V l+p и C l+p имеют тот же вид, что и (1.19), (1.20), а стратегии –b2z2l+p pz2 + l ∆, i ∈ P , ũk−p=xγ̃, i ∈ K\P ,i(k − p)z2H̃1b2NNl+p pz2 + l ∆ũi = xγ̃ = xγ̃, i ∈ N \K ,n − k + z2b11NNl+p lz1 + p ∆, j ∈ M \L ,= y , j ∈ L , ṽj = y φ̃ = yφm − l + z1F̃1b2b1H̃1 = (pz2 + l )(z2 + 1) + pz2 , F̃1 = l(z1 + 1) + p .∆∆ũl+p= xγ̃ l+p = xiṽjl+p = y φ̃l+p2. V k+q и C k+q имеют тот же вид, что и (1.21), (1.22), а стратегии –qz1 + k b∆1z1, j ∈ Q , ṽjl−q = y φ̃k+q, j ∈ L\Q ,(l − q)z1H̃2b1NNk+q qz1 + k ∆ṽj = y φ̃ = y φ̃, j ∈ M \L ,m − l + z1b21Nk+q kz2 + q ∆=xγ̃=xγ̃, i ∈ N \K ,= x , i ∈ K , ũNin − k + z2F̃2b1b2H̃2 = (qz2 + k )(z1 + 1) + qz1 , F̃2 = k(z2 + 1) + q .∆∆ṽjk+q = y φ̃k+q = yũk+q= xγ̃ k+qiНезависимое формирование коалицийДля распределения кооперативного выигрыша в данной модели используется векторШепли.

Характеристики

Список файлов диссертации