Диссертация (1145439), страница 38
Текст из файла (страница 38)
К сожалению, аналитическое решение не может быть найдено, поэтомуниже будут представлены результаты численного моделирования.224Теперь перейдем к трехшаговой игре, где выигрыши игроков принимают видH13 (γ11 , γ12 , γ12 , γ22 , γ13 , γ23 ) = ln(γ13 x) + δ1 H12 (γ11 , γ21 , γ12 , γ22 ) == ln(γ13 x) + δ1 (1 + a1 + a21 ) ln(εx − γ13 x − γ23 )α ++δ1 (ln(γ12 ) + a1 (1 + a1 ) ln(ε − γ12 − γ22 ) + δ1 ln(γ11 ) ++a1 δ1 ln(ε − γ11 − γ21 ) − δ12 ln 2) == (1 + a1 + a21 + a31 ) ln x + ln(γ13 ) + a1 (1 + a1 + a21 ) ln(ε − γ13 − γ23 ) ++δ1 ln(γ12 ) + δ1 a1 (1 + a1 ) ln(ε − γ12 − γ22 ) ++δ12 ln(γ11 ) + a1 δ12 ln(ε − γ11 − γ21 ) − δ13 ln 2 ,H23 (γ11 , γ12 , γ12 , γ22 , γ13 , γ23 ) = (1 + a2 + a22 + a32 ) ln x + ln(γ23 ) ++a2 (1 + a2 + a22 ) ln(ε − γ13 − γ23 ) + δ2 ln(γ22 ) ++δ2 a2 (1 + a2 ) ln(ε − γ12 − γ22 ) + δ22 ln(γ21 ) + a2 δ22 ln(ε − γ11 − γ21 ) − δ23 ln 2 .Для построения кооперативных стратегий решается задача максимизации произведенияНэшаH3 (γ11 , γ21 , γ12 , γ22 , γ13 , γ23 ) = (H13 (γ11 , γ21 , γ12 , γ22 , γ13 , γ23 ) − V13 (x, δ1 )) ··(H23 (γ11 , γ21 , γ12 , γ22 , γ13 , γ23 ) − V23 (x, δ2 )) == (H13 − V13 )(H23 − V23 ) →Аналогично, из условий первого порядкашения (2.27), (2.28) и.∂H3= 0, i = 1, 2, j = 1, 2, 3 получим соотно∂γijε − γ13 (1 + a1 + a21 + a31 ),1 + a2 + a22 + a31(2.30)εγ11 (a22 + a32 ).333PPPjjj212323εa1a2 + γ1 ((a2 + a2 )a1 − (a1 + a1 )a2 )(2.31)γ23 =γ13 =maxγ11 ,γ21 ,γ12 ,γ22 ,γ13 ,γ23j=0j=0Снова все параметры выражаются через одну неизвестнуюj=0γ11 ,для нахождения которойнеобходимо решить одно из уравнений условий первого порядка.Повторяя процесс для n-шаговой игры получим кооперативные выигрыши в виде (2.16),(2.17) и кооперативные стратегии в виде (2.18), (2.19).225Результаты моделированияМоделирование было проведено для 20-шаговой игры со следующими параметрами:ε = 0.6 ,α2 = 0.3 , x0 = 0.8 ,δ1 = 0.85 , δ2 = 0.9 .Из численного решения уравнения (2.20) получено γ11 = 0.177837.
Кооперативные инекооперативные выигрыши имеют видV1nc (x, δ1 ) = −13.2103 > V1N (x, δ1 ) = −14.6439 ,V2nc (x, δ2 ) = −20.5328 > V2N (x, δ2 ) = −23.2596 .Заметим, что кооперативное поведение выгоднее для обоих игроков.На рис. 4.10 представлен размер популяции и, как и ранее, заметим, что кооперативное поведение не только выгоднее игрокам, но и лучше для экологической ситуации, т.к.допускает более щадящий режим эксплуатации. На рис. 4.11, 4.12 показаны выловы обоихигроков.0.80.70.6xc0.50.424681012Time t14161820Рис. 4.10.
Размер популяции: темная линия – кооперативное поведение, светлая –равновесие по НэшуСледствие 2.1. Арбитражная схема Нэша дает преимущество игроку с меньшим коэффициентом дисконтирования при стремлении горизонта планирования к бесконечности.Доказательство. Пусть δ1 < δ2 . Из (2.18), (2.19) устремляя n к бесконечности, получимγ1n → ε(1 − a1 ) , γ2n → 0 .Если же δ2 < δ1 , то ситуация наоборот:γ1n → 0 , γ2n → ε(1 − a2 ) .2260.220.180.20.180.16vil1N 0.16vil2N 0.140.140.120.120.10.12468Time t1012214468Time t101214Рис. 4.11. Вылов первого игрока:Рис. 4.12. Вылов второго игрока:темная линия – кооперативноетемная линия – кооперативноеповедение, светлая – равновесие поповедение, светлая – равновесие поНэшуНэшу4.2.3.2. n-шаговая игра и рекурсивная арбитражная процедураЗдесь, в отличие от предыдущего раздела, кооперативное поведение определяется с помощью рекурсивной арбитражной процедуры.
В каждый момент времени кооперативныестратегии находятся из арбитражного решения, где в качестве точки статус-кво выступаютнекооперативные выигрыши.Теорема 2.6. Кооперативные выигрыши в n-шаговой игре (2.4), (2.9) имеют видcH1n(γ11 , . . . , γ1n , γ21 , . . . , γ2n )=nXaj1 ln x +j=0n−1X+hiX(n−j)c(n−j)c(n−j)cδ1n−j ln(γ1)+ai1 ln(ε − γ1− γ2) − δ1n ln 2 ,n−jj=0(2.32)i=1cH2n(γ11 , . . .
, γ1n , γ21 , . . . , γ2n ) =nXaj2 ln x +j=0+n−1XhiX(n−j)c(n−j)c(n−j)cδ2n−j ln(γ2)+ai2 ln(ε − γ1− γ2) − δ2n ln 2 .n−jj=0(2.33)i=1Кооперативные стратегии могут быть найдены рекурсивно из уравненийγ2tct−1³Xδ2t−jh(t−j)cln(γ2)j=0= γ1tc+t−jXai2ln(ε −(t−j)cγ1−(t−j)cγ2)j=0δ1t−jh−t−1X´δ2j At−j=2j=0i=1t−1³Xit−1i X´X(t−j)c(t−j)c(t−j)cj t−jiδ1 A1ln(γ1)+a1 ln(ε − γ1− γ2) −t−jj=0i=1со связьюγ2tc =ε − γ1tctPi=0tPi=0ai2ai1,(2.34)227гдеεhAti = ln (tPj=1tPj=0aj1tPj=0ajptP)j=0ajiaj2 − 1P jitXaj j=1 i(ai ), i, p = 1, 2 , i 6= p , t = 1, . . .
, n .tj=1Доказательство. Начинаем рассмотрение с одношаговой игры и предположим, что в концеигры агенты делят оставшийся ресурс поровну. Начальный размер популяции – x.Предположим, что агенты играют индивидуально, тогда выигрыш первого игрока имеетвидNH11³1´α= ln(u11 ) + δ1 ln (εx − u11 − u21 ) =2= ln(u11 ) + a1 ln(εx − u11 − u21 ) − δ1 ln 2и, аналогично, выигрыш второго –NH21= ln(u21 ) + a2 ln(εx − u11 − u21 ) − δ2 ln 2 .Максимизируя функции выигрышей игроков, получим некооперативные стратегии обоих игроковuN11 =εa1εa2x , uNx21 =(1 + a1 )(1 + a2 ) − 1(1 + a1 )(1 + a2 ) − 1и выигрыши в равновесии по Нэшу –NH11= (1 + a1 ) ln x + A11 − δ1 ln 2 ,(2.35)NH21= (1 + a2 ) ln x + A12 − δ2 ln 2 ,(2.36)где A11 и A12 не зависят от x и имеют видA11´³´(εa2 )1+a1 aa11(εa1 )1+a2 aa221, A2 = ln.= ln((1 + a1 )(1 + a2 ) − 1)1+a1((1 + a1 )(1 + a2 ) − 1)1+a2³Для определения кооперативных стратегий решается задача максимизации произведения НэшаN)·H1c = (ln(u1 ) + a1 ln(εx − u1 − u2 ) − δ1 ln 2 − H11N)=·(ln(u2 ) + a2 ln(εx − u1 − u2 ) − δ2 ln 2 − H21NcNc) → max ,− H21)(H21− H11= (H11u1 ,u2 ≥0(2.37)Nзаданы в (2.35), (2.36).где Hi1Лемма 2.1.
Решение задачи (2.37) существует, единственно и достигается во внутренней точке допустимого множества.228Доказательство. Арбитражное решение Нэша – это решение задачи максимизации илианалогично минимизации произведения НэшаcNcNH1c = (−H11+ H11)(−H21+ H21) → minu1 ,u2 ≥0на множествеNcH11− H11≤ 0,(2.38)NcH21− H21≤ 0,(2.39)−(εx − u1 − u2 ) ≤ 0 ,u1 ≥ 0 , u 2 ≥ 0 .Здесь неравенства (2.38), (2.39) обозначают рациональность арбитражного решения, апоследние два неравенства – это условия, которым должны удовлетворять допустимыестратегии.Используя теорему Куна–Таккера запишем функцию Лагранжа в видеcNcNNcNcL = (−H11+ H11)(H21− H21) + λ1 (H11− H11) + λ2 (H21− H21) − λ3 (εx − u1 − u2 ) .Заметим сразу, что множитель Лагранжа λ3 может быть исключен из условий минимума, т.к.
условия для него имеют видεx − u1 − u2 ≥ 0 ,λ3 (εx − u1 − u2 ) = 0 ,ccи, если предположить, что λ3 > 0, то εx − u1 − u2 = 0 и H11= H21= −∞, что противоречитусловиям (2.38), (2.39).Следовательно, запишем условия Куна–Таккера только для двух множителей Лагранжа(здесь введено обозначение x̄ = εx − u1 − u2 )³ 1a2 ca1 ´ cNN+ λ1 ) + (H11− λ2 ) ≥ 0 ,− H11− +(H21 − H21u1x̄x̄h³ 1ia2 ca1 ´ cNNu1 − ++ λ1 ) + (H11+ λ2 ) = 0 ,− H11(H21 − H21u1x̄x̄229³ 1a2 ´ ca1 cNN+ λ2 ) + (H21+ λ1 ) ≥ 0 ,− +(H11 − H11− H21u2x̄x̄h³ 1ia2 ´ ca1 cNNu2 − +(H11 − H11+ λ2 ) + (H21− H21+ λ1 ) = 0 ,u2x̄x̄cNH11− H11≥ 0,(2.40)cNλ1 (H11− H11) = 0,(2.41)Nc≥ 0,− H21H21(2.42)Nc) = 0,− H21λ2 (H21(2.43)u1 ≥ 0 , u 2 ≥ 0 , λ 1 ≥ 0 , λ 2 ≥ 0 .1.
Рассмотрим случай λ1 = 0, λ2 > 0, тогда из (2.43) получимcNH21− H21= 0.Если хотя бы одна из стратегий ui , i = 1, 2 равняется нулю, то условия (2.40) или(2.42) не выполняются. Следовательно, ui > 0, i = 1, 2 и тогдаcNH11− H11= −λ2 ,что противоречит условию (2.40).cN2. Аналогично, в случае λ1 > 0, λ2 = 0 получим H21− H21= −λ1 , что противоречитусловию (2.42).3. Рассмотрим случай λ1 > 0, λ2 > 0, тогда из (2.41) и (2.43) получимcNcNH11− H11= 0 , H21− H21= 0.Аналогично первому случаю, легко проверить, что ui > 0, i = 1, 2, а целевая функцияH1c равна нулю.
Из системы условий Куна–Таккера получим³1a1 ´a2− +λ1 + λ2 = 0 ,u1x̄x̄³ 1a2 ´a1− +λ2 + λ1 = 0 .u2x̄x̄Следовательноλ2 =u2λ1 .u1(2.44)230Из первого уравнения (2.44) получим³−a1 a2 u2 ´1++λ1 = 0 .u1x̄x̄ u1(2.45)Так как в данном случае кооперативное поведение совпадает с некооперативным, тоNu1 = uN1 , u2 = u2 . Подставляя некооперативные стратегии, запишем (2.45) в следую-щем виде:a1 a2λ1 = 0 .u1 x̄Получили, что λ1 = 0, что противоречит предположению.4. Окончательно, рассмотрим случай λ1 = λ2 = 0. Аналогично легко проверить, чтоui > 0, i = 1, 2. Следовательно минимум достигается во внутренней точке допустимогомножества и может быть найден из условий первого порядка.Для того, чтобы показать, что условия Куна–Таккера являются достаточными условиями оптимальности в задаче (2.37) рассмотрим вторую производную H1c по u1 :³1a1 ´ ca2 c2a2 h 1a1 iNN+(H21 − H21 ) + 2 (H11 − H11 ) +−f1 =u21 x̄2x̄x̄ u1x̄и по u2 :³1a2 ´ ca1 c2a1 h 1a2 iNNf2 =+(H11 − H11 ) + 2 (H21 − H21 ) +−.u22 x̄2x̄x̄ u2x̄Следовательно H1c вогнута, если f1 ≥ 0 и f2 ≥ 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
