Диссертация (1145387), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Отдельно на графикахпоказаны вклады в полную статистическую ошибку всех её компонент.рованных событий, определенных в формуле (26):Xσt2ij ,(m,n) =(Pievtevt∈(m,n)wevt 2),fj(36)где wevt — произведение всех весов данного события, fj — двумерная функция плотности вероятности по переменным cos θCS , φCS в заданном интервале j по переменнойruthT ruthpZ,T, которая определена в формуле (24), Piev ≡ Pi (cos θCS, φTCSruth ). Так как полиTruthном с номером i, используемый в данном интервале j по переменной pZ,Tв шабTлонном распределении tij , отличается от полинома с номером k, используемого в томже интервале j для другого шаблонного распределения tkj , существует нетривиальнаякорреляция между двумя шаблонными распределениями, которая не равна 100% и неравна 0.
Для правильного учета корреляции между статистическими ошибками для моделированных событий необходимо построить ковариационную матрицу между двумяшаблонными распределениями tij и tkj , учитывая мешающие параметры, описывающиесистематические ошибки шаблонных распределений. В общем виде ковариационннуюматрицу можно записать следующим образом:covij =Xevt∈(m,n)wPievt Pkevt (evtfj)2 .(37)Корреляционная матрица Σ может быть построена из элементов ковариационной матрицы covik .Для полностью некоррелированных шаблонных распределений систематическаяошибка может быть учтена путем введения мешающего параметра γi , который мас-108штабирует значение шаблонного распределения в каждом интервале (m, n) по угловымпеременным.
На этот параметр накладываются ограничения, используя дополнительное распределение Пуассона P (Ñief f |γi Nief f ), где Nief f — эффективное, то есть с учетомвеса, число моделированных событий в интервале (m, n) по угловым переменным. Параметр γi имеет номинальное значение 1 и ошибку √ 1 ef f . Если шаблонные распределенияNiполностью коррелированы, можно использовать один параметр γ, чтобы масштабировать все шаблонные распределения одновременно, используя в качестве N ef f полноеэффективное число моделированных событий.
В этом случае количество мешающихпараметров сокращается в девять раз (по числу полиномов или шаблонных распределений). Применительно к нашей задаче, в упрощенном подходе, будем рассматриватьшаблонные распределения, как полностью коррелированные (коэффициент корреляцииблизок к 1). Это означает, что в качестве N ef f берется невзвешенная сумма событий вXXкаждом интервале, то есть N ef f = (wevt /(wevt )2 )2 .evtevtДля частично коррелированных шаблонных распределений параметры γi могутбыть использованы тем же самым образом, только в этом случае ограничения, накладываемые на параметр, необходимо изменить так, чтобы принять во внимание корреляциюпараметров.
Для этого распределение Пуассона необходимо заменить на многомерноераспределение Гаусса G(~γ , Σ) = √12π exp(−0.5(γ̃ − 1̃)T Σ−1 (γ̃ − 1̃)), где Σ — корреляционная матрица. В этом случае определяется один мешающий параметр для каждогошаблонного распределения и для каждого интервала по угловым переменным шаблонного распределения.Для того чтобы изучить разницу между полностью коррелированной и частичнокоррелированной моделями, а также понять, нужно ли вводить дополнительное усложнение модели, было выполнено моделирование упрощенной модели, основанной на однойпеременной x ≡ cos θCS . Строилась функция правдоподобия для трех коррелированныхшаблонных распределений, соответствующих полиномам P0 , P4 , P8 , каждое из которыхимеет всего три интервала по переменной x:P0 (x) = 0.5 × (1 − 3x2 )P4 (x) = xP8 (x) = 1 + x2(38)Генерировались события, равномерно распределенные по переменной x от -1 до 1.
Затемсобытиям приписывались веса, которые определялись значением полинома. Очевидно,что в этом случае распределение событий будет совпадать с формой полинома. Ковариация между двумя шаблонными распределениями i, j в каждом интервале n есть сумма109Таблица 5 — Ковариационная и корреляционная матрицы, построенные с использованием моделированных событий, для изучения упрощенной модели корреляции ошибокдля шаблонных распределений.Ковариационная матрицаИнтервал 1Интервал68,7-0,50615965,7-71,9-0,50613,2-1,84-71,9162159-1,84373-139351Корреляционная матрицаИнтервал 0Интервал 1Интервал10,723 -0,6491-0,01680,991-0,6971-0,0262 -0,69710,7231-0,994 -0,0168-0,649 -0,99410,99-0,02621-0,617 0,994Интервал 062,269,8-13669,8150-323-136-3237022-1393517692-0,6170,9941произведений полиномов:expNi,n=covi,j,n =Xevt∈nXPi (xevt )Pi (xevt )Pj (xevt )(39)evt∈nДля построения шаблонных распределений генерировалось 1000 событий.
Матричные элементы ковариационной матрицы и соответствующей ей корреляционной матрицы приведены в таблице 5. Функция правдоподобия для упрощенной модели в трехинтервалах по переменной x строилась аналогично, как и для полной модели:L(µ, A0 , A4 ) =3YP (Ni |µ[A0 Ti0 + A4 Ti4 + Ti8 ]),(40)i=1где µ — нормировочный параметр, который нормирует каждое шаблонное распределение, в то время как параметры A0 и A4 нормируют значение соответствующих полиномов P0 и P4 .В частично коррелированной модели добавляется штрафная функция, котораяимеет вид функции Гаусса G(~γi , Σi ), а для каждого измеряемого интервала вводитсядополнительный мешающий параметр ~γi .
В случае модели с полной корреляцией используется штрафная функция в виде распределения Пауссона P (Nief f |Nief f γi ) и соответствующие мешающие параметры добавляются для каждого измеряемого интервала110по переменной x. В этих двух случаях функцию правдоподобия можно записать в виде:L(µ, A0 , A4 , ~γ ) =3Yi=1L(µ, A0 , A4 , ~γ ) =3Yi=1P (Ni |µ[A0 Ti0 + A4 Ti4 + Ti8 ]γi ) ×3YP (Nief f |Nief f γi )(полн. кор.),i=1P (Ni |µ[A0 Ti0 γi0 + A4 Ti4 γi4 + Ti8 γi8 ]) ×3YG(~γi , Σi )(част. кор.).i=1Ошибки параметров A0 и A4 , полученные в результате двух подходов, представлены в таблице 6. В качестве псевдоданных использовались те же события, что и дляпостроения шаблонных распределений. Ошибки измерения коэффициентов разбивалисьна статистические ошибки данных и статистические ошибки моделированных событий.Следует отметить, что так как вес событий брался равным единице, статистическиеошибки псевдоданных и моделированных событий приблизительно равны.
Из таблицы 6 видно, что разница ошибок составляет примерно ∼ 10%. При этом ошибки дляполностью коррелированной модели больше.Основываясь на этих результатах, разница в ошибках для измерений, выполненных в данной работе с использованием полностью коррелированной и частично коррелированной моделей, может быть приблизительно оценена в предположении, что ошибкимасштабируются как √1N .
Таким образом, ошибка вследствие ограниченной статистикиданных масштабируется как √L1data , где Ldata – интегральная светимость данных, а статистическая ошибка Монте-Карло масштабируется как √ 1 , где Lef f – эффективнаяLef fинтегральная светимость моделированных событий.
В нашем случае Lef f ∼ 4 × Ldata .Поэтому отношение ошибок измерения угловых коэффициентов, в случае использования полностью коррелированнной или частично коррелированной моделями, равно:pp221 + 1/4σstat+ σMσF ullC=p 2=p∼ 1.02.σP artial1 + 0.81/4σstat + (0.9σM C )2(41)Другими словами, использование полностью коррелированной модели с мешающими параметрами, которых в 9 раз меньше, чем для частично коррелированной модели, приводит к увеличению ошибки всего на 2%.
Вследствие этого, в данной работе,была выбрана модель с полной корреляцией.5.3Cистематические ошибки данныхЭкспериментальные систематические ошибки возникают в первую очередь из-заошибок в определении энергетической калибровки при измерении энергии лептонов иопределении эффективности регистрации сигнала. Ошибки, связанные с определениеКХД фона, фона от электрослабых процессов и рождения tt̄-кварков, также относят-111Таблица 6 — Статистические ошибки измерения коэффициентов A0 и A4 в упрощенной модели с частичной корреляцией и полной корреляцией моделированных событий,используемых для построения шаблонных распределений. Статистические ошибки разбиты на статистические ошибки данных и моделированных событий.МетодПолностью корр.Частично корр.A0Данные стат.
/ Модел. стат.0,135 / 0,1370,135 / 0,120A4Данные стат / Модел. стат.0,0785 / 0,07840,0785 / 0,0724ся в эту категорию. Эти ошибки влияют на миграцию событий между интервалами, вкоторых выполняются измерения угловых коэффициентов, и на моделируемую эффективность регистрации событий детектором. Тем самым эти ошибки влияют на переменные, используемые для построения шаблоных распределений и на определение весовсобытий, которые применяются к моделированным событиям.Систематические ошибки, связанные с лептонами.
Для того чтобы скорректировать эффективности реконструкции и идентификации лептонов, а также эффективность триггеров, используются корректирующие коэффициенты (см раздел 2.3.3).Корректирующие коэффициенты определяются как отношение эффективности, изме. Корренной в данных, к эффективности, полученной моделированием событий DataMCректирующие коэффициенты применяются в качестве дополнительных весов для моделированных событий [115, 92, 99]. Корректирующие коэффициенты определяютсяс ошибкой, которую можно разделить на две компоненты. Первая компонента — этостатистическая ошибка измерения корректирующего коэффициента, которая являетсянекорелированной для разных интервалов кинематических переменных, в которых измеряются корректирующий коэффициент. Вторая компонента — это систематическаяошибка, которая коррелирует в разных интервалах и поэтому для её учета вводитсяодин дополнительный мешающий параметр.Для центральных электронов корректирующие коэффициенты измеряются в интервалах по поперечному импульсу pT и псевдобыстроте η электрона, в то время как длявпередлетящих электронов — только в интервалах по η.
Для центральных электронов,чтобы уменьшить количество необходимых мешающих параметров, ошибки рассматриваются как некоррелированные в 11 интервалах по поперечному импульсу электронов, вкоторых измерены корректирующие коэффициенты, и коррелированными в интервалахпо псевдобыстроте электрона η. Учитывая, что используются два корректирующих коэффициента — один для эффективности реконструкции, а второй для эффективностиидентификации вводится — (11 + 1) · 2 = 24 мешающих параметра для учета систематической ошибки корректирующего эффективность коэффициента для центрального112электрона. Эффект декорреляции по интервалам η был проверен и было обнаружено,что схема, в которой ошибки некоррелированы в интервалах по pT , дает более консервативную оценку ошибки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
