Диссертация (1145387), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Вероятность наблюдать реконструированные значения r при заданных наблюдаемых t в генераторном пространстве обозначим через p(r|t). Очевидно, что распределение реконструированных значений g(r) связано с распределением в генераторном пространствеf (t) через операцию свертки с условной вероятностью p(r|t):Zg(r) =f (t)p(r|t)dt(22)Полиномы в формуле дифференциального сечения (10) могут быть свернуты тем жесамым способом для того, чтобы описать реконструированные угловые распределения.Определимнабор наблюдаемыхвеличин в пространстве на генераторномуровне как t = oonnZ,RecoZ,TruthRecoT ruth., φRecoи реконструированные переменные r = cos θCScos θCS, φTCSruth , pTCS , pTТогдаZZZZ,T ruthZ,T ruthT ruth, φTCSruth )p(r|t)dt,Pi (cos θCSP̃ij (r|pT∈ (∆pT)j ) =Z,T ruthT ruthT ruthφCS(∆pT)j cos θCS(23)где индекс i = 0, .., 8 — номер полинома; j = 0, .., 22 номер интервала по переменнойruthruthruthruthpZ,T; P̃ij (r|pZ,T∈ (∆pZ,T)j ) — полином после свертки по переменной pZ,TTTTTruthвнутри измеряемого интервала (∆pZ,T)j .
Полиномы после свертки P̃ij являются функTZ,Recoruthцией pT, но классифицируются по измеряемым интервалам pZ,T.TТак как условная вероятность p(r|t) наблюдать реконструированные значения rпри заданных наблюдаемых t в генераторном пространстве неизвестна, то вместо нееиспользуется функция, полученная моделированием методом Монте-Карло, p(r|t)M C .Двумерная функция плотности вероятности в полном фазовом пространстве в каждомruthизмеряемом интервале j для переменной pZ,Tможет быть записана в виде:T(T ruthfj (cos θCS, φTCSruth ) = σjT ruthP8 (cos θCS, φTCSruth ) +7X)T ruthAref, φTCSruth ) ,ij Pi (cos θCS(24)i=0где σj — неполяризованное дифференциальное сечение, интегрированное по переменным cos θCS и φCS , и Aref— референсное значение углового коэффициента i в измеijruthряемом интервале j для переменной pZ,T.
Тогда условную вероятность pM C (r|t) дляT94моделированного методом Монте-Карло события с весом wevt (r, t) можно определитьследующим образом:wevt (r, t),(25)pM C (r|t) =T ruthfj (cos θCS, φTCSruth )где wevt (r, t) — произведение всех весов для данного события, то есть произведение веса генераторного события (если он вводится при генерировании), весов, определяющихпоправки на эффективность триггера, реконструкции и идентификации лептонов и такдалее.
Деление в формуле (25) на функцию fj необходимо чтобы устранить зависимостьот референсных коэффициентов, используемых далее для построения шаблонных распределений. Суммирование функции pM C (r|t) по всем событиям должно давать единицу, если моделированные события распределены в соответствии с формулой разложениясечения по полиномам (10). Используя вышеизложенное, можно определить в каждомZ,RecoRecoизмеряемом интервале (m, k, l) переменных (cos θCS, φReco) шаблонное распредеCS , pTruthление tij как сумму по всем событиям для измеряемого интервала j переменной pZ,T.Ttmkl=ijXZ,RecoZ,T ruthRecoReco)levt∈(∆pT)j ,(∆cos θCS )m ,(∆φCS )n ,(∆pTT ruth, φTCSruth )Pi (cos θCSwevt (r, t).T ruth, φTCSruth )fj (cos θCS(26)На рисунке 29 показаны примеры шаблонных распределений в виде одномерныхпроекций на оси cos θCS и φCS , полученные для канала eeCC для трех интервалов поpZT интегрально по быстроте y Z .
Также на рисунке 29 показаны одномерные графикидля полиномов Pi (cos θCS , φCS ). Полиномы P1 и P6 , интеграл от которых по всему фазовому пространству переменных (cos θCS , φCS ) равен нулю (см. раздел 1.1), или равеннулю интеграл по одной из переменных, на рисунке 29 не показаны. Различия в формемежду полиномами и шаблонными распределениями на рисунке 29 отражают эффекты, связанные с аксептансом детектора и эффективностью регистрации лептонов. Еслисравнить формы соответствующих шаблонных распределений на рисунке 29 в разныхинтервалах по pZT , то видно, что эти эффекты зависят от поперечного импульса pZT .В частности, это хорошо видно на примере полинома P8 , который имеет равномерноераспределение по полярному углу φCS и поэтому в точности отражает поведение аксептанса для шаблонных распределений.
В приложении A на рисунках 54 – 56 приведеныдвумерные графики для всех девяти полиномов и шаблонных распределений по переменным cos θCS и φCS для трех характерных интервалов по pZT .Шаблонные распределения для фоновых событий строятся отдельно для каждогоиз физических процессов, дающих вклад в фон (см. раздел 3.3). Шаблонные распределения для фоновых событий нормируются на соответствующие сечение умноженноена интегральную светимость накопленных данных.
Для канала eeCF полученные шаб-15 ATLASPolynomial valuePolynomial value95P8P4P01055ATLASP8P7P5P3P2432100-1-5-1-0.500.510123456φ1.2ATLAS SimulationTemplated P8Templated P4Templated Ps = 8 TeV1 eeCC: yZ-integrated0.8CSTemplate value / 0.79Template value / 0.25cos θCS0pZ = 5-8 GeVT0.60.41.41.2ATLAS SimulationTemplated P8Templated P7Templated P5Templated P3Templated Ps = 8 TeVZ1 eeZ CC: y -integratedp = 5-8 GeV0.8T20.60.40.20.200-0.2-0.2-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.200.2 0.4 0.6 0.8-0.401123456φ1.41.2ATLAS SimulationTemplated P8Templated P4Templated Ps = 8 TeVeeCC: yZ-integratedCSTemplate value / 0.79Template value / 0.25cos θCS01 pZ = 22-25.5 GeVT0.80.60.41.61.41.2ATLAS SimulationTemplated P8Templated P7Templated P5Templated P3Templated Ps = 8 TeVeeCC: yZ-integrated1 pZT = 22-25.5 GeV20.80.60.40.20.200-0.2-0.2-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.200.2 0.4 0.6 0.8-0.401123456φ2.5ATLAS SimulationTemplated P8Templated P4Templated Ps = 8 TeVZ2 eeZ CC: y -integrated0p = 132-173 GeVT1.510.53 ATLAS SimulationTemplated P8Templated P7Templated P5Templated P3Templated Ps = 8 TeV2.52eeCC: yZ-integratedpZ = 132-173 GeVT21.510.500-0.5-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2CSTemplate value / 0.79Template value / 0.25cos θCS-0.500.2 0.4 0.6 0.81cos θCS0123456φCSРисунок 29 — Полиномы P0,4,8 как функции cos θCS (вверху слева) и P2,3,5,7,8 как функцииφCS (вверху справа).
Ниже на графиках показаны шаблонные распределения, полученные для канала eeCC интегрально по быстроте y Z для малых (5 − 8 ГэВ), средних(22 − 25.5 ГэВ) и больших (132 − 173 ГэВ) значений импульса pZT , спроектированные наось cos θCS и φCS . Разница в форме между полиномами и шаблонными распределениямиотражает эффекты, связанные с аксептансом детектора и эффективностью регистрациилептонов.96лонные распределения интегрируются либо по cos θCS , либо по φCS , так как для измерения поляризационных угловых коэффициентов в этом канале используются одномерныераспределения из-за недостаточной статистики, необходимой для измерений в двумерном случае.4.2Функция правдоподобияЧисло ожидаемых событий в измеряемом интервале n = (m, k, l) реконструироZ,RecoRecoванных переменных (cos θCS, φReco), где m = 0, .., 7, k = 0, .., 7 , l = 0, ..22, можетCS , pTбыть определено путем суммирования шаблонных распределений для событий сигналаи фона следующим образом:nNexp(A, σ) =( 23X"σj × L × tn8j +j=17X#Aij × tnij +bkgsXi=0)TBn,(27)Bгде• Aij — параметр определяющий угловой коэффициент i для интервала j по переruthменной pZ,T;T• A — набор параметров для всех угловых коэффициентов Aij ;• σj — параметр, определяющий неполяризованное сечение, проинтегрированное поruthугловым переменным cos θCS и φCS для интервала j по переменной pZ,T;T• σ — набор параметров для всех σj ;• tij — шаблонное распределение для полинома Pi ;• TB — шаблонное распределение для фоновых процессов;• L — интегральная светимость данных, используемых для измерения угловых коэффициентов.ruthСуммирование по индексу j учитывает вклад всех интервалов по переменной pZ,TвTZ,Recoизмеряемый интервал pT.
Это позволяет учесть миграцию событий в измеряемыйZ,Recoинтервал pT. Функция правдоподобия определяется как произведение плотностейnnвероятности Пуассона наблюдать Nobsсобытий при ожидаемом числе событий Nexp(A, σ)по всем измеряемым интервалам n:L(A, σ|Nobs ) =NbinsYnnnP (Nobs|Nexp(A, σ)) .(28)97Параметры подгонки A и σ функции плотности распределения вероятности находятсяиз условия максимума функции правдоподобия:∂L=0,∂A4.3∂L=0∂σУчет систематических и статистических ошибокДля учета систематических ошибок, которые возникают из-за неточного знанияразрешения и калибровок детектора, эффективности триггера, эффективностей регистрации и идентификации лептонов, из-за различных теоретических неопределенностей,строятся шаблонные распределения, в которых каждый параметр, являющийся источником систематических ошибок, варьируется на одно стандартное отклонение (±σ).
Если при этом источник систематической ошибки изменяет значение референсных поляризационных угловых коэффициентов ARef , как например, в случае систематическихошибок, связанных с ПФР или с моделированием партонных ливней, то значение референсного коэффициента пересчитывается и используется новое значение референсногокоэффициента для определении весов событий при построении шаблонного распределения.Для построения функции правдоподобия используется набор шаблонных распределений, в который входят шаблонные распределения для номинальных значений всехпараметров, являющихся источниками систематических ошибок, и шаблонные распределения, которые получаются после вариации параметров на одно стандартное (±σ)отклонение.Для того чтобы во время минимизации функции правдоподобия иметь возможность линейной интерполяции между значениями шаблонных распределений для номинальных значений параметров и после их вариации на одно стандартное (±σ) отклонение, вводится набор мешающих (англ., nuisance) параметров θ, от которых зависитфункция правдоподобия.
Каждый мешающий параметр есть случайная величина, которая распределена в соответствии со своей функцией плотности вероятности. Вводятсядве категории мешающих параметров θ = {β, γ}. Первая категория мешающих параметров β связана с экспериментальными и теоретическими систематическими ошибками. Каждый параметр β m из набора β = β 1 , ..., β M имеет плотность распределениявероятности в виде единичного распределения Гаусса G(0|β m , 1). Для шаблонных распределений с номинальными значениями параметров, являющихся источником систематических ошибок, β m = 0 и для шаблонных распределений со значениями параметровпосле их вариации на одно стандартное отклонение β m = ±1. Значение шаблонногораспределения интерполируется линейно между значениями шаблонных распределенийдля номинальных значений параметров и после их вариации на (±σ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
