Диссертация (1145387), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Из рисунка 32 видно, что ошибка вследствие регуляризации увеличивается с увеличениемпараметра γ, в то время как статистическая ошибка уменьшается, как и ожидалось.В пределе, когда γ → 0, статистическая ошибка становится равной ошибке вследствиерегуляризации. Вместе с уменьшением статистической ошибки возрастает корреляцияResidual fifth-order pol fit to A 0102ATLAS SimulationATL0.040.020.030.010.0200.01−0.010−0.01−0.02−0.0205101520pZ bin numberTРисунок 31 — Разность между результатами фитирования полиномом пятого порядка(слева) и четвертого порядка (справа) зависимости коэффициента A0 от pZT и значениямикоэффициента A0 после регуляризации по схеме, использующей производные шестогопорядка.
Измерения выполнены для канала eeCC интегрально по быстроте y Z .измеренных коэффициентов в соседних интервалах по pZT . Ошибка из-за процедуры регуляризации достигает минимума (плато) при значениях параметра γ между 10 и 100,что соответствует пределу, так как при регуляризации использовался полином шестого порядка, как было сказано выше. Основываясь на выполненных исследованиях, длярегуляризации измеренных коэффициентов в канале eeCC и µµCC использовалось значение параметра γ = 100, а в канале eeCF γ = 5.4.5Объединение нескольких каналов измеренийИзмерения угловых коэффициентов Aij выполнялось для трех независимых каналов — eeCC, µµCC и eeCF . Как известно, в случае независимых измерений функция правдоподобия есть произведение функций правдоподобия для каждого измерения.Поэтому, объединенный результат для нескольких измерений получается простым перемножением функций правдоподобия.
Каждая функция правдоподобия может бытьпредставлена в виде трех множителей. Первый множитель, который обозначается через Li (A, σ, θ), представляет собой наблюдаемые данные, второй множитель содержитмешающие параметры Ai (θi ) и третий вводится для регуляризации измерений Areg (A).Таким образом, функцию правдоподобия для объединения результатов в нескольких0ATLAS Simulation0.0258 TeV, 20.3 fb-1eeCC+µ µ0.020.0300.03: yZ-integratedCCRegularisedUncertainty on AUncertainty on A0103γ =100, Reg.
Biasγ =10γ =1γ =0.1ATLAS Simulation0.025eeCC+µ µ0.020.0150.0150.010.010.0050.0050108 TeV, 20.3 fb-10100pZT: yZ-integratedCCRegularisedγ =100, Data Stat.γ =10γ =1γ =0.1Unregularised10100pZ [GeV][GeV]TРисунок 32 — Ошибка вследствие регуляризации для коэффициента A0 , измеренногоинтегрально по быстроте y Z , в канале eeCC + µµCC для разных значений параметра γ (слева) наряду с соответствующей статистической ошибкой для коэффициента A0(справа) в зависимости от pZT . Для сравнения также показана нерегуляризованная статистическая ошибка.каналах измерений угловых коэффициентов можно записать в виде:Lcb (A, σ, θ) =(channelsYiLi (A, σ, θ)) M cbYiAi (θi ) Areg (A),(35)где M cb — число мешающих параметров по всем измеряемым канала и всем интервалам,в которых измеряются угловые коэффициенты.Объединение результатов выполнялось для каналов eeCC и µµCC при интегральных измерениях по быстроте y Z и в двух первых интервалах 0 < |y Z | < 1, 1, 0 < |y Z | <2, 0.
Для оценки совместимости измерений, выполненных в канале eeCF при большихзначениях быстроты 2, 0 < |y Z | < 3, 5, эти результаты объединялись с измерениями вканале µµCC.Совместимость результатов, полученных в различных каналах измерения угловых коэффициентов, оценивалась введением дополнительной параметризации функцииправдоподобия. Для этого вводился дополнительный параметр, который определялсякак разность между коэффициентами измеренными в двух разных каналах. Для параметров, которые представляют измеряемые коэффициенты Aaij и Abij в соответствующихканалах a и b, определялась их разность ∆Aij ≡ Aaij − Abij . Затем в функции правдоподобия делалась замена Aaij → ∆Aij + Abij . Новые параметры ∆Aij и Abij определялисьописанным выше методом.
Аналогичная параметризация выполнялась при измеренииразности коэффициентов A0 и A2 . Такая параметризация удобна тем, что она автоматически учитывает корреляции между двумя новыми параметрами.104Глава 5 Оценка статистических и систематических ошибок измеренийВ данной главе рассматриваются ожидаемые статистические и систематическиеошибки измеряемых угловых коэффициентов Ai . Статистические ошибки возникают изза ограниченной статистики как для данных (см. раздел 5.1), так и для моделированныхсобытий (см. раздел 5.2). Систематические ошибки можно разделить на экспериментальные (см. раздел 5.3), теоретические (см.
раздел 5.4) и ошибки связанные с методикой измерений угловых коэффициентов (см. раздел 5.5). Некоторые систематическиеошибки влияют на шаблонные распределения, которые используются для построенияфункции правдоподобия. Чтобы учесть это влияние, шаблонные распределения перестраиваются после вариации на одно стандартное отклонение ±σ каждого параметра,являющегося источником систематической ошибки.
Разница между номинальным шаблонным распределением и шаблонным распределением, полученным после вариацииодного из параметров, используется для оценки систематической ошибки измерения угловых коэффициентов (см. раздел 4.3).В разделе 5.6, в качестве примера, приведены значения статистических и систематических ошибок угловых коэффициентов, которые получаются при измерении угловыхкоэффициентов в трех характерных интервалах по поперечному импульсу Z-бозона pZT .Измерения были выполнены в каналах eeCC, µµCC и, для объединения результатов измерений, в двух каналах eeCC + µµCC, интегрально по быстроте Z-бозона y Z , а также винтервале быстроты 2, 0 < |y Z | < 3, 5 в канале eeCF . В этом же разделе приведены графики зависимости статистических и систематических ошибок от поперечного импульсаZ-бозона pZT .5.1Статистическая ошибка данныхНесмотря на то что гармонические полиномы в формуле (10) для дифференциального сечения полностью ортогональны в полном фазовом пространстве, эффекты,связанные с разрешением и аксептансом детектора, приводят к ненулевым корреляцияммежду ними.
Кроме того, угловые распределения, измеренные в интервалах по реконструированному поперечному импульсу лептонной пары p``T , будут иметь вклад от событий из разных интервалов по поперечному импульсу лептонных пар pZT , вычисленномупо не искаженным детектором кинематическим переменным лептонов, и до излучениялептонами фотонов в конечном состоянии. Это приводит к корреляции между измеренными коэффициентами, которая увеличивает их статистическую ошибку. Доступнаястатистика в данных является наиболее важным источником статистической ошибки,105хотя разрешение детектора и выбор количества интервалов по угловым переменнымтакже играют определенную роль.Статистическую ошибку измерения угловых коэффициентов из-за ограниченнойстатистики данных можно разделить на несколько категорий так, как это показано нарисунке 33. При нахождении максимума функции правдоподобия параметрами подгонки являются параметры Ai,j , которые определяют значения угловых коэффициентов, инабор параметров σj , определяющих неполяризованные сечения, проинтегрированныепо угловым переменным cos θCS и φCS , в каждом интервале по pZT .
В соответствии собозначениями для параметров подгонки, принятыми в разделе 4.2, значение коэффициента A0 в первом интервале по pZT обозначено на рисунке 33 как A0,0 . Первый индекс,который пробегает значения от 0 до 8, относится к номеру углового коэффициента, авторой, который пробегает значения от 0 до 22, к номеру интервала по pZT . На рисунке 33некоррелированная статистическая ошибка интересующего нас параметра A0,0 обозначена как «Uncorr.-stat».
Вклад в полную статистическую ошибку дают также следующиепараметры подгонки:• параметры с номером, отличающимся от номера искомого параметра, но определенные в одном и том же интервале по pZT , что и искомый параметр A0,0 , тоесть параметры A1,0 , ....., A7,0 . Эти параметры не связаны с миграцией событийпо переменной pZT . Вклад этой категории в статистическую ошибку обозначен как«Shape»;• параметры A0,1 , ....., A0,22 , которые определены в интервалах по pZT , не совпадающих с интервалом для искомого параметра, и с номером, совпадающим с номеромискомого параметра A0,0 , то есть параметры A0,1 , ....., A0,22 .
Эти параметры связаны с миграцией событий по pZT и обозначены поэтому как «Self-migration».• параметры, у которых номер коэффициента не совпадает с номером искомого коэффициента A0,0 и которые определены в интервалах по pZT , не совпадающих синтервалом для искомого параметра, то есть параметры Ai,1 , ...Ai,22 и i = 1, ..., 7.Эти параметры обозначены как «Shape-migration».• аналогичное разделение сделано для нормировочных параметров σj , которые определяют неполяризованное сечение в интервалах по pZT . Для них выделено две группы, которые обозначены как «norm» для параметра σ0 и «norm-migration» дляпараметров σ1 , ...., σ22 .Для иллюстрации вклада разных категорий в статистическую ошибку на рисунке 34, в качестве примера, показана зависимость всех компонент статистической ошибки параметра A0,0 от pZT для нерегуляризованных (слева) и регуляризованных (справа)106A0,0← ParameterUncorr.-statpTZ bin →A0,1 … Self-migration … A0,22A1,0...A1,1.........ShapeA7,0σ0NormA7,1σ1 ……Shape-migration…Norm-migrationA1,22......A7,22… σ22Рисунок 33 — Разделение параметров, по которым ищется максимум функции правдоподобия, на несколько категорий, которые приводят к статистической ошибке измеренияугловых коэффициентов.
В качестве примера рассмотрен угловой коэффициент A0 впервом интервале по pZT .результатов, полученных при объединении измерений в каналах eeCC и µµCC. На графиках на рисунке 34 приведена также полная статистическая ошибка в зависимости отpZT .5.2Статистическая ошибка моделированных событийСтатистические ошибки, связанные с ограниченной статистикой моделированныхсобытий, считались некоррелированными для каждого интервала в трехмерном пространстве переменных (p``T , cos θCS , φCS ). Несмотря на то что для построения шаблонныхраспределений использовались одни и те же моделированные события, им приписывалсяразный вес, который определялся разными полиномами. Следовательно, можно считать,что эти события частично коррелированы.
Было показано, что предположение о полнойкоррелированности событий, используемых для построения шаблонных распределений,приводит к несколько более консервативной оценке ошибок, но тем не менее с тем жецентральным значением, которое получается при полностью правильном рассмотрениикорреляций. С целью упрощения рассмотрения, предполагалось, что ошибки полностьюкоррелированы.Ошибка в одном интервале (m, n) по угловым переменным cos θCS , φCS шаблонного распределения tij может быть получена суммированием квадратов весов модели-ATLAS0.0258 TeV, 20.3 fb-1eeCC+µ µ0.020.0300.03: yZ-integratedCCUnregularisedUncertainty on AUncertainty on A0107Total Stat.Uncorr.Norm Mig.Shape Mig.Self Mig.NormShapeATLAS0.025eeCC+µ µ0.020.0150.0150.010.010.0050.0050108 TeV, 20.3 fb-1: yZ-integratedCCRegularised0100pZT10Total Stat.Uncorr.Norm Mig.Shape Mig.Self Mig.NormShape100pZ [GeV][GeV]TРисунок 34 — Зависимость полной статистической ошибки углового коэффициента A0от pZT для нерегуляризованных (слева) и регуляризованных (справа) результатов, полученных при объединении измерений в каналах eeCC и µµCC.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
