Диссертация (1145359), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Окончательный вариантметода, позволяющий практически любые кинематические ограничения, представлен в работах [16, 17]. Часть предложенного алгоритма, касающаяся кинематических ограничений не является универсальной, в отличие от той части,которая обеспечивает заданное распределение массы. Для довольно большогонабора кинематических ограничений были разработаны специальные алгоритмы подстройки модели под эти ограничения. Легко расширить этот набор для48других типов кинематических ограничений.Сила нового итерационного метода заключается в его простоте. Он основан на очевидной идее, которая реализуется в четкий алгоритм.

Ниже описаныосновная концепция метода, различные рецепты его применения, а также приведены примеры его использования для построения сферически-симметричных,трехосных, анизотропных и многокомпонентных систем.Подход, основанный на моментах функции распределенияЕсли звездный диск с плотностью ρd (R, z) и внешний потенциал Φext (R, z),создаваемый, например, гало и балджем, осесимметричны, то уравнения Джинса для первых и вторых моментов функции распределения частиц диска поскоростям можно привести в следующем виде [73]:R ∂(ρd σR2 )v 2ϕ = vc2 + σR2 − σϕ2 +,ρ∂Rd2σR∂vvϕϕR+,σϕ2 =2v ϕ ∂RR∂Φtot∂(ρd σz2 )= −ρd,∂z∂z(1.29)где v̄ϕ — средняя азимутальная скорость1 , σR , σϕ , σz — дисперсии скоростейсоответственно в радиальном, азимутальном и вертикальном направлениях2 ,Φtot = Φext + Φd — суммарный потенциал, создаваемый всеми компонентами∂Φtotсистемы, vc = R— круговая скорость. Зависимости параметров от коор∂Rдинат R и z в цилиндрической системе координат опущены для простоты.Уравнения (1.29) записаны в предположении отсутствия регулярных движений в радиальном и вертикальном направлениях.

Предполагается также, чтооси эллипсоида скоростей направлены вдоль осей цилиндрической системы координат. В частности, это означает, что второй момент вида vR vz равен нулю.1 Черта сверху означает усреднение.2 По принятой в астрономической литературе традиции мы называем дисперсией стандарт функциираспределения.49Это разумное предположение для плоскости галактики (из соображений симметрии). Но вне плоскости эллипсоид скоростей наклонен [73], т.е.

равенствоvR vz = 0 нарушается, хотя существенные нарушения будут только в центральных областях диска.Как видно, в системе (1.29) три уравнения и четыре неизвестных – v̄ϕ , σR ,σϕ , σz . Чтобы решить такую систему, нужно сделать дополнительное предположение.

В этом заключается главный недостаток методов построения равновесных моделей звездных дисков, базирующихся на уравнениях Джинса.Одна из широко распространенных методик нахождения равновесной (вернее близкой к равновесной) функции распределения звезд диска по скоростямна основе уравнений Джинса подробно изложена в статье Хернквиста [65]. Этаметодика с небольшими изменениями использовалась в большом количестверабот (см., например, [74–76], а также [9, 10]). Она обычно применяется длятрехмерных дисков с экспоненциальным профилем плотности RzMd2ρd (R, z) =exp−sech,4πh2 z0hz0(1.30)где Md — полная масса диска, h — радиальный масштаб, z0 — вертикальныймасштаб, а R — цилиндрический радиус.

Этот профиль плотности хорошо аппроксимирует наблюдаемый профиль для реальных спиральных галактик [77].В дополнение к условиям, при которых были получены уравнения Джинса (1.29), делаются следующие предположения [65].1. Все четыре момента (v̄ϕ , σR , σϕ , σz ) не зависят от z , а зависят только отцилиндрического радиуса R, т.е. диск изотермичен в z -направлении.2. Справедливо эпициклическое приближение (случайные скорости звезд малы по сравнению со скоростью вращения). В этом случае во втором уравнении системы (1.29) среднюю азимутальную скорость можно заменитьна круговую (т.е.

заменить v̄ϕ на vc ).503. Последнее уравнение системы (1.29) обычно переписывается в приближении бесконечных изотермических слоев [78]. При этом обычно пренебрегают вкладом внешнего потенциала в суммарный потенциал Φtot . Это даетсоотношение σz2 = πGΣd z0 , где Σd — поверхностная плотность диска.4. Полагают, что функция распределения по скоростям является Шварцшильдовской, т.е. компоненты скорости вдоль каждой из трех осей цилиндрической системы координат распределены по нормальному закону.Эти предположения являются стандартными, и считается, что они выполняются для реальных галактик [73].Для замыкания системы уравнений (1.29) при сделанных дополнительных2предположениях полагают, что σR∝ exp(−R/h).

Коэффициент пропорциональ-ности удобно задавать через параметр Тумре QT [79] на некотором радиусе Rref .Параметр Тумре характеризует степень “нагретости диска”, или запас устойчивости относительно роста возмущений в плоскости диска. Для звездного диска2с экспоненциальным профилем плотности зависимость σR∝ exp(−R/h) озна2чает, что σRпропорциональна поверхностной плотности Σd .

Вместе с прибли-жением изотермических слоев это приводит также к зависимости σR ∝ σz .Наблюдательные данные для нашей Галактики (например, [80]), согласуются с2зависимостью σR∝ exp(−R/h). Исходя из общих соображений, считается, чтоона верна и для других спиральных галактик [81].В результате для заданных ρd и Φext можно построить однопараметрическое семейство моделей, причем параметром является величина, характеризующая степень “нагретости диска” или долю кинетической энергии диска, заключенную в случайных скоростях.Недостатком описанной методики является то, что звездные диски, построенные с ее помощью, оказываются “не совсем” равновесными.

Хотя модели быстро подстраиваются под равновесие, эта “подстройка” может затруднитьанализ результатов численных N -body экспериментов, например таких, в кото-51рых изучаются неустойчивости звездного диска. В процессе этой подстройки вдиске формируется характерная кольцеобразная волна плотности, распространяющаяся от центра, что иллюстрируется результатами наших численных экспериментов3 на рис. 1.12 (более подробно о методике проведения численныхэкспериментах см. [9, 10] и разделы 4.1.1 и 4.1.2). В качестве диска взят экспоненциальный диск (1.30) с параметрами h = 3.5, z0 = 1, Md = 1, Rmax = 14. Вкачестве внешнего потенциала взят потенциал сферы Пламмера(1.26) (стр. 37)с параметрами apl = 15, Mpl = 4. При таких параметрах суммарная относительная масса сферического компонента в пределах четырех экспоненциальных масштабов диска равнялась примерно 1.3 (т.е.

Msph (4h)/Md (4h) ≈ 1.3). ПараметрТумре QT (Rref ) = 1.5, где Rref = 8.5. Величина в 150 единиц времени примерносоответствует времени оборота диска на R = 8.5. Число частиц N = 25 000,параметр сглаживания потенциала = 0.02, шаг интегрирования dt = 0.01Подобный эффект был отмечен также в работе [62]. Наиболее неравновесными получаются “горячие” модели (с большим значением параметраQT (Rref ) ≈ 2) и модели без гало или с небольшим по массе гало. Практическиравновесными получаются только модели с достаточно массивным гало (как,например, модели, описанные в статье [65], для которых масса гало в пределахчетырех экспоненциальных масштабов диска была больше пяти масс диска).Причины “неравновесности” моделей, построенных с использованием методики Хернквиста, связаны с лежащими в основе этой методики предположениями.

Предпринятая нами попытка рафинировать эту методику путем отказа отэпициклического приближения и приближения изотермических слоев не привела к существенному улучшению моделей.Так например, решение уравнения вертикального равновесия (третье урав3 Во всех численных экспериментах, в которых моделировался звездный диск (1.30), полагалось, чтоG = 1, h = 3.5, Md = 1.При необходимости можно интерпретировать результаты этих экспериментов вследующей (одной из возможных) размерной системы единиц: единица длины10Mu = 8 × 10 M ,vu ≈ 587км/с.тогда единица измерения времениtu ≈ 1.67Ru = 1кпк, единица массымлн.

лет, а единица измерения скорости52Рис. 1.12. Пример подстройки под равновесие модели, построенной по методике Хернквиста.Диаграммы вверху — вид плашмя для нескольких моментов времени. Графики внизу —распределение количества частиц вдоль радиуса.нение системы (1.29)) и уравнения, получаемого из него в приближении изотермических слоев, дают во многих случаях близкие значения σz (R, z) и мало влияют на “неравновестность” моделей.

Это иллюстрируется результатамиследующих расчетов. Уравнение вертикального равновесия (третье уравнениесистемы (1.29)) содержит только одну неизвестную σz , поэтому, когда ρd (R, z)задано, его можно решить отдельно от остальных уравнений4 . На рис. 1.13 представлено четыре модели диска. В качестве диска использовался относительно“тонкий” экспоненциальный диск (1.30) с параметрами: h = 3.5, z0 = 0.3,Md = 1, Rmax = ∞. Модели отличаются внешним потенциалом: для модели“disk” внешний потенциал отсутствует, для модели “disk + light halo” внешнийпотенциал — сфера Пламмера (1.26) с параметрами apl = 3.5, Mpl = 1, для4 Решение этого уравнения в контексте задачи о равновесии в вертикальном направлении и задачио построении равновесных моделей звездных дисков использовалось, например, в [74, 75, 82].

Заметим, чтоэто уравнение можно решать двояким образом. Можно, как делали мы, фиксировать профиль плотностии находитьσz (R, z).А можно задаватьσz (R, z),например, полагать, чтоσzне зависит отвертикальный профиль плотности. В работе [75] как раз реализован последний подход.z[82], и искать53модели “disk + heаvy halo” внешний потенциал — сфера Пламмера с параметрами apl = 3.5, Mpl = 5, для модели “disk + bulge” внешний потенциал — сфераХернквиста (1.27) с параметрами ahr = 0.5 Mhr = 0.1. Кривая “old” на рисунке — дисперсия, вычисленная в приближении бесконечных изотермическихслоев. Все остальные кривые построены без этого предположения из модели.Как видно на рис.

Характеристики

Список файлов диссертации