Главная » Просмотр файлов » Диссертация

Диссертация (1145359), страница 3

Файл №1145359 Диссертация (Формирование и особенности структуры крупномасштабных подсистем в галактиках моделирование и наблюдательные данные) 3 страницаДиссертация (1145359) страница 32019-06-29СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Суть его можно свестик следующему. Вместо точного значения какой-либо газодинамической величины f (r) используют ее сглаженное значение < f (r) >, которое определяют припомощи интегрального интерполированияZ< f (r) >= f (x) W (r − x; h) dx ,(1.1)По существу это есть процедура свертки функции f (r). Предполагается, что интерполяционное ядро W (r; h) нормировано на 1 и стремится к дельта-функциипри h → 0.Если функцию W (r) выбрать сферически-симметричной, то точностьпредставления величины f (r) ее сглаженным значением будет O(h2 ) (см., например, [32]).

Следующий шаг сводится к оценке многомерного интеграла ввыражении (1.1) методом Монте-Карло. Если значения f (r) известны для каких-либо N точек, то < f > (ri ) оценивается как< f (ri ) >=NXj=1f (rj )W (ri − rj ; h) ,< n(rj ) >(1.2)где n(r) — плотность распределения выбранных точек.Газодинамическое течение можно описывать как ансамбль движущихсяэлементов газа.

При численном моделировании мы можем выбрать только конечное число элементов (N ), но чем больше число элементов в ансамбле и чемменьше их размеры, тем ближе такое описание к описанию непрерывной среды. В методе SPH элементы газа представляются частицами конечного размера. Положение частиц изменяется согласно уравнению движения; каждой из15них соответствует значение температуры газа в данной точке; их скорость естьлокальная скорость течения; распределение же плотности частиц n(r) дает распределение плотности газа ρ(r).

При таком подходе с учетом свойств заданнойфункции W (r; h) оценка сглаженных значений гидродинамических величин методом Монте-Карло (1.2) есть не что иное, как процедура сглаживания по ансамблю элементов газа в объеме размером порядка h3 ; h называется длинойсглаживания и характеризует размер частиц в ансамбле. Если каждой частицеприписать массу mj так, чтоPmj — полная масса газа, то сглаженное значе-ние плотности ρi в данной точке ri определяется суммой масс частиц mj с весомW (ri − rj ; h) из окрестности размером порядка hXρi =mj W (ri − rj ; h) .(1.3)jЗначение производной от f (r) оценивают при помощи процедуры сглаживания (1.1) самой этой величины с ядром ∇W (r − x; h)Z< ∇f (r) >= f (x) ∇W (r − x; h) dx .(1.4)Описанный формализм, будучи примененным к системе гидродинамических уравнений, сводит их к обыкновенным дифференциальным, решать которые значительно легче, чем уравнения в частных производных.

Если ядро взятьдостаточно компактным, например, в виде сплайна, как это предложено в [36]1 − 1.5 q 2 + 0.75 q 3 , 0 6 q 6 1 ,1W =0.25 (2 − q)3 ,1 6 q 6 2,A 0,q > 2,(1.5)где q = r/h, то суммирование в (1.2) нужно производить лишь по небольшомучислу соседей вокруг данной частицы в окрестности размером 2 h. Для трехмерного случая A = π h3 .Строгое обоснование описанного метода и его улучшенных модификаций,а также обсуждение многих идейных и философских сторон SPH можно найти,например, в [32, 36–38].16В последние годы в развитии метода SPH достигнут большой прогресс, иэто дает ему возможность уверенно конкурировать с конечно-разностными алгоритмами.

В первую очередь, такой прогресс связан с использованием переменной длины сглаживания для каждой частицы — h(ri ; t) [32], что значительнорасширяет динамический диапазон пространственного разрешения и позволяеткорректно моделировать эволюцию объектов с быстро меняющейся структуройи плотностью. Во-вторых, благодаря введению дифференцированого шага повремени при интегрировании уравнений, преодолевается глобальное ограничение на временной шаг, которое накладывается условием Куранта [32].

При этомзатраты машинного времени существенно уменьшаются. Таким образом, длямоделирования объектов с произвольной и далекой от симметрии структурой,какими, например, являются формирующиеся в результате взаимодействия галактик приливные и кольцеобразные детали, SPH метод оказывается наиболееподходящим, если только решаемая задача не требует высокоточного расчетапрофилей возникающих ударных волн. В противном случае предпочтительными являются конечно-разностные методы.1.1.2.

Численная реализацияОсновные уравненияС точки зрения программирования SPH алгоритм довольно прост. При использовании машин типа рабочих станций эффективность программ, основанных на данном методе, достаточно велика (см., например, [38]). Для адаптацииметода к вычислительным возможностям персональных компьютеров я былавынуждена выбрать один из наиболее простых вариантов SPH с постояннойдлиной сглаживания, который и описан в начале раздела.При моделировании газовых течений во взаимодействующих галактикахвполне оправданным считается изотермическое приближение [39, 40]. Фактически, метод SPH из-за ограничения на разрешение по массе не может одинако-17во корректно описывать различные фазы межзвездной среды.

Поэтому, чтобыподавить образование плотных облаков, функцию охлаждения приходится обрезать для температур ниже ≈ 104 K. С другой стороны, время высвечиванияобычно меньше динамического, и температура газа остается постоянной и близкой к этому пределу [40, 41].В систему уравнений газодинамики, описывающих изотермическое течениегаза во внешнем гравитационном поле, входят:уравнение неразрывностиdρ= ρ ∇v ,dt(1.6)dv1= − ∇P − ∇Φ ,dtρ(1.7)уравнение движениягде ρ — плотность газа, P — давление, а Φ — гравитационный потенциал, изамыкает систему уравнение состояния идеального газа. Для изотермическогослучаяP = c2 ρ ,(1.8)где c = const — скорость звука.

При движении во внешнем поле Φ являетсязаданной функцией.Существуют различные варианты перехода от гидродинамических уравнений (1.6) – (1.8) к SPH уравнениям (подробнее об этом см. в [37]. Я остановиласьна следующей системе:ρi = mXW (ri − rj ; h) ,(1.9)jdri= vi ,dtdvi1= − ∇Pi − ∇Φi ,dtρi2Pi = c ρ i .Уравнение (1.9) записано для частиц одинаковой массы m.(1.10)(1.11)(1.12)18Выражение для гидродинамического ускорения можно представить в виде√√−2 Pi (∇ Pi )/ρi . Тогда процедура сглаживания (1.1) и (1.4) с учетом (1.2)и (1.12) приводит к−X 2 c2∇Pi= −m∇i W (ri − rj ; h) .√ρiρρijj(1.13)При больших числах Маха давление не способно воспрепятствовать пересечению орбит частиц. В такой ситуации в действие вступает молекулярнаявязкость.

При численном моделировании вводится ее аналог — искусственнаявязкость. Ускорение за счет сил искусственной вязкости можно записать какaivisc= −mXQij ∇i W (ri − rj ; h) ,(1.14)jгде Qij — вклад вязкости в градиент давления. Существуют различные формыпредставления Qij .

Использовалось два следующих выражения (о достоинствахи недостатках такого выбора см. [32]). Одно из них может быть таким [37] (−α c µ + β µ2 )/ρ , (v − v )(r − r ) 6 0 ,ijijijijijQij = 0,(vi − vj )(ri − rj ) > 0 ,(1.15)2+η 2 ), ρij = (ρi +ρj )/2, rij = |ri −rj |, η ' 0.1 h. Пагде µij = h (vi −vj )(ri −rj )/(rijраметры α и β — аналоги коэффициентов вязкости в уравнении Навье-Стокса.Обычно выбирают α ' 1, β ' 2.Можно также ввести искусственную вязкость, зависящую от дивергенцииполя скоростей [32], q /ρ + q /ρ , (v − v )(r − r ) 6 0 ,i ijjijijQij = 0,(vi − vj )(ri − rj ) > 0 ,(1.16)где α c h|∇ · v | + β h2 |∇ · v |2 , ∇ · v 6 0 ,iiiqi = 0,∇ · vi > 0 .PСглаженная оценка ∇ · vi = −(m/ρi ) j (vi − vj ) ∇i W (ri − rj ; h).(1.17)В свою численную схему я включила оба выражения для вязкости и предусмотрели возможность переключения с одного на другое.19Вычислительная схемаДля решения уравнений (1.9) – (1.12) использовалась явная схема с перешагиванием (leap frog), обеспечивающая второй порядок точности,(n+1/2)= ri(n−1/2)(n+1)= viri(n)vi(n),(1.18)(n+1/2).(1.19)+ δt vi+ δt aiТак как ускорения в (1.19) зависят от скорости через искусственную вязкость,то для сохранения второго порядка точности вычисление скорости осуществлялось в два этапа.

Сначала в процедуре, определяющей новые положения частиц,делалась предварительная оценка скорости(n+1/2)(n)vi(n+1/2)Затем новые координаты ri(n+1/2)этого через ri(n+1/2), ρi= vi+δt (n−1/2)a.2 i(n+1/2)использовались для вычисления ρi(n+1/2)и vi(n+1/2)находилось ускорение ai(n+1)в соответствии с (1.19) определялось значение vi(0)Если заданы начальные значения ri(0)= ri(0)+ δt/2 vi.(0)(1/2)(1/2). И наконец,и vi , то для первого шага уравне-ние (1.18) неприменимо. В этом случае оценка riследует из ri, послевторого порядка точности(0)+ 1/2 (δt/2)2 ai .Выбор шага интегрированияТак как для решения уравнений (1.9) – (1.12) использовалась явная схема,то выбор временного шага ограничен условием Куранта (см., например, [32])∆t =0.3 h,bi + c + 1.2 (α c + β di )(1.20)bi = h|∇ · vi |.

Для искусственной вязкости (1.15) di = maxj |µij |, а для (1.16)di = h|∇ · vi |, если ∇ · vi < 0 и di = 0, если ∇ · vi ≥ 0. Шаг интегрирования δt выбирался не больше, чем ∆t, но так, чтобы δt = ∆t0 /2n , где ∆t0 —максимально возможный шаг (задаваемый параметр), а n > 0 — целое. Если20шаг интегрирования менялся в процессе счета, то для сохранения устойчивостисхемы новые координаты определялись из(n+1/2)ri(n−1/2)= ri+δtold + δtnew (n) δt2old − δt2new (n−1/2)vi −ai.28Алгоритм суммированияДля ядра в виде сплайна (1.5) суммирование в (1.9) и (1.13) нужно производить лишь по небольшому числу соседей, расположенных в окрестностиразмером ∼ 2 h от данной частицы.

Если длина сглаживания постоянна, тоодин из быстрых путей поиска соседей — использование сетки с длиной ячейки2 h и алгоритма связанных списков [42]. При реализации этот путь не всегдабывает эффективным из-за больших требований к объему оперативной памяти.Тем не менее в описываемой схеме я остановилась на данном алгоритме, так какон наиболее прост в реализации.Критерием выбора h было условие достаточно большого среднего числачастиц (порядка 20–30), по которым нужно производить сглаживание гидродинамических величин.Начальные и граничные условияВ начальный момент времени частицы распределяются в пространстве всоответствии с задаваемым профилем плотности. Начальные значения плотности определяются согласно процедуре сглаживания (1.9).

Что касается скоростей, то для уменьшения влияния флуктуаций, вводимых в систему процедуройслучайного задания данных, применялся стандартный способ [32] сглаживанияполя скоростей < vi > (0) = (m/ρi )P(0)j(0)vj W (ri(0)− rj ; h).В описываемой схеме предполагаются свободные граничные условия, т.е.давление на границе распределения газа считается пренебрежимо малым. Такоеприближение оправдано, если моделируется течение холодного газа.211.1.3. ТестыБыло проведено два тестовых эксперимента. В первом — моделировалосьодномерное течение адиабатического газа. Для этого в вычислительную схемубыло добавлено уравнение энергии du/dt = −P/ρ∇v, где u — удельная тепловая энергия, а уравнение состояния записано в виде P = (γ − 1)ρu, γ —показатель адиабаты. Решалась так называемая задача Сода о распространении ударной волны в трубе.

Характеристики

Список файлов диссертации

Формирование и особенности структуры крупномасштабных подсистем в галактиках моделирование и наблюдательные данные
Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6390
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее