Диссертация (1145359), страница 10
Текст из файла (страница 10)
В этом случае,перенося информацию о скорости, мы сохраняем значение модуля скорости, нонаправление вектору скорости придаем произвольное, обеспечивая тем самымизотропность. Для сферически-симметричных изотропных моделей функциюраспределения (DF) всегда можно найти (аналитически или численно). Построение таких моделей итерационным методом является главным тестом метода.ПРОФИЛЬ АНИЗОТРОПИИ СКОРОСТЕЙЭтот алгоритм подходитдля создания сферических анизотропных моделей с заданным профилем анизотропии скорости. В разделе 2.2 будут приведены подробные примеры построения моделей темного гало с различными профилями анизотропии скоростей.Еще один пример приведен в п.
МНОГОКОМПОНЕНТНАЯ МОДЕЛЬ.. настр. 65, где строилась многокомпонентная модель дисковой галактики с темным гало, соответствующим космологическим расчетам.Пусть σθ , σϕ и σr — дисперсии скоростей частиц в θ, ϕ и r направлениях всферической системе координат. Зафиксируем профиль анизотропии скоростейβ(r) ≡ 1 − σθ2 /σr2 .После каждого шага итераций, перенося θ компоненту скорости от частиц0старой модели к i-ой частице новой модели (vθi), мы должны немного ее изме-нить, чтобы сохранить профиль β(r).Разбиваем новую модель на сферические слои с одинаковым числом частиц. Для каждого слоя j вычисляем целевое значение отношения σθ /σrβj = β(rj ) ,(1.31)где rj среднее значение r координат всех частиц в слое j .
Чтобы получитьцелевое значение анизотропии в новой модели, мы должны немного исправитьпереносимую θ компоненту скорости (или радиальную компоненту). Новая θкомпонента скорости vθi для i-ой частицы из слоя j подправляется следующим60образомvθi =0vθipσrj01 − βj j0 ,σθ(1.32)где σr0 и σθ0 дисперсии скоростей в r и θ направлениях в слое j до исправленияскоростей.ПРОФИЛЬ ДИСПЕРСИИ СКОРОСТЕЙσR (R) Алгоритм фиксирова-ния радиального профиля дисперсии скоростей используется для построениязвездных дисков с заданным σR (R).
Примеры приводятся в п. МНОГОКОМПОНЕНТНАЯ МОДЕЛЬ.. на стр. 65.Чтобы сохранить радиальный профиль дисперсии скоростей σR (R), поступаем следующим образом. Разбиваем новую модель на ndiv концентрическихколец с одинаковым числом частиц. Для каждого кольца j вычисляем два значения дисперсии скоростей. Одно из них — целевоеσRj = σR (Rj ) ,(1.33)где Rj — среднее значение R координаты всех частиц в кольце j . Другое —текущее значение дисперсии скоростей после их переноса из старой модели вj00новую σR .
Далее перенесенную радиальную скорость vRiнужно немного испра-вить. Новая радиальная скорость vRi для i-ой частицы из кольца j назначаетсяследующим образом:0vRi = vRiσRj /σRj0 .(1.34)В этой схеме предполагается, что средняя радиальная скорость равна нулю.ПРОФИЛЬ ЛУЧЕВЫХ СКОРОСТЕЙ ДЛЯ ЗВЕЗДНОГО ДИСКА,ВИДИМОГО “С РЕБРА”В этом параграфе описываются две схемы фик-сирования кинематических параметров.
Одна — для фиксирования профилялучевой скорости вдоль большой оси звездного диска галактики v̄los (x), другая— для фиксирования профиля дисперсии лучевых скоростей вдоль большой оси61галактики σlos (x). Обе схемы предназначены для моделирования наблюдательных данных и построения фазовых моделей реальных галактик.Предположим, что звездный диск вращается вокруг оси z . Сам диск расположен в плоскости (x, y), а луч зрения идет вдоль оси y , т.е. мы наблюдаемгалактику в положении “с ребра”. Скорости vy для звезд диска со стороны x < 0противоположны по знаку скоростям vy со стороны x > 0 и равны им по абсолютной величине в случае осевой симметрии.
Мы совмещаем обе части диска,меняя знак скорости со стороны x < 0. Далее мы разбиваем диск на тонкие полоски вдоль оси x, параллельные плоскости (y, z), так, чтобы каждая полоскасодержала одинаковое количество частиц.Введенная лучевая скорость v̄los (x) — это среднее значение скорости vy ,проинтегрированной вдоль луча зрения, проходящего через точку x. Для каждой полоски j вычисляем две величины. Одна — это целевое значение среднейjлучевой скорости v̄los = v̄los (xj ) (где xj — среднее значение величины |x| длявсех частиц в полоске j ).
Вторая величина — текущее значение средней лучевойj0скорости v̄los после переноса скоростей из старой модели в новую (вычисляетсякак среднее значение y компоненты скорости для всех частиц в полоске j ). Новые (скорректированные) значения скорости vyi вычисляются по следующемурецептуjj00vyi = vyi+ (v̄los− v̄los),(1.35)0где vyiперенесенное из старой модели в новую значение y компоненты скоростиi-ой частицы. Частицы, которые были перенесены из области x < 0 в областьx > 0 возвращаются обратно, а знак их y компоненты скорости изменяетсяна противоположный. Затем все частицы перемешиваются в азимутальном направлении для того, чтобы поддержать осевую симметрию в распределении поскоростям.
Конечно, действуя таким образом, мы “подделываем” vlos , но этонеизбежно. Тем не менее после нескольких итераций мы получаем и целевоезначение vlos , и осевую симметрию в распределении по скоростям.62Алгоритм для фиксирования σlos (x) очень похож на предыдущий, за исключением того, в каждой полоске j мы должны сосчитать текущее значениеj00всех частиц в этойлучевой дисперсии скоростей σlos как дисперсии скоростей vyiполоске. Пусть σlos (x) — целевое значение лучевой дисперсии скоростей. Чтобыполучить его в новой модели, новые скорости vyi должны быть пересчитаныследующим образом:vyi =0(vyi−jj0 σlosv̄los ) j0σlosj0,+ v̄los(1.36)jгде σlos = σlos (xj ) — целевое значение лучевой дисперсии скоростей. В этойj0схеме учтено, что среднее значение перенесенной y компоненты скорости v̄losможет быть не равно нулю.
Как и в предыдущем случае, частицы, которыебыли перенесены из области x < 0 в область x > 0 возвращаются обратно,знак их y компоненты скорости изменяется на противоположный. Все частицыазимутально перемешиваются.Технические замечанияОдним из параметров метода является длительность ti каждой итерации,т.е. интервал времени, в течение которого система эволюционирует самостоятельно. Как выбрать ti ? Очевидно, что промежуток ti не должен быть слишкомкоротким, поскольку системе нужно время, чтобы частицы провзаимодействовали. С другой стороны, он не должен быть слишком длинным, в противномслучае, в системе возможно развитие неустойчивостей (формирование бара, спиральных волн плотности и т.д.), изменяющих систему кардинальным образом.Таким образом, шаг ti должен быть короче, чем характерное время развитиянеустойчивости.
Строгого критерия выбора ti нет, и он должен быть определенэмпирически. Наши эксперименты показали, что, как правило, лучше выбиратьотносительно большие значения ti , обеспечивая тем самым более быструю сходимость итераций. Более того, в некоторых ситуациях итерации для относительнонебольшого значения ti не сходятся вообще, в то время как для бо́льших значе-63ний начинают быстро сходиться. Такая ситуация встретилась нам при построении относительно холодной модели звездного диска. Каждый раз в примерах,которые мы приводим в разделе Примеры моделей на стр.
64, мы оговариваемвыбор ti . Его можно варьировать в в разумных пределах. Результатом итерацийбудет одна и та же (в пределах шума) равновесная модель, если она возможна при заданных ограничениях. Если заданные ограничения не гарантируютединственность конечной модели, то результат итераций будет зависеть и отначальных условий, и от выбора ti .Еще одним параметром метода является nnb — число соседей, участвующих в передаче скорости (см. раздел Перенос функции..
на стр. 56). Его оптимальное значение было установлено эмпирически — nnb = 10. Тестовые моделипоказали, что результаты метода для nnb = 10 и nnb = 100 практически одинаковы для моделей, в которых число частиц порядка нескольких сотен тысячили нескольких миллионов.Наиболее затратная по времени часть метода — это самостоятельная динамическая эволюции системы в пределах каждого шага итерации. Остальныечасти метода занимают совсем мало времени. По этой причине рекомендуетсяиспользовать быстрый код для вычисления силы взаимодействия между N телами. Мы использовали gyrfalcON [85, 86], один из самых быстрых алгоритмовдля задачи N тел, имеющий сложность O(N ). Наши тесты также показали,что расчет эволюции модели может быть осуществлен с относительно низкойточностью.
Это связано с тем, что мы рассчитываем эволюцию на короткихпромежутках времени, и вычислительные ошибки не успевают накопиться. Мыиспользуем код gyrfalcON с относительно большими значениями параметра θ,отвечающего за точность вычисления силы [87], и шага интегрирования (см.раздел Примеры моделей на стр. 64). Общие затрыты времени зависят от того, близко ли к равновесию находится начальная система, или же мы совсемне знаем, каким должно быть состояние равновесия, и в этом случае стартуемот нулевых начальных скоростей частиц.
Чтобы уменьшить время счета, мы64делаем несколько первых итераций для модели с небольшим числом частиц N ,а затем постепенно увеличиваем N до требуемого числа. В процедуре передачи скорости, описанной в разделе Перенос функции.. на стр. 56, число частиц встарой и новой моделях может быть различным. Таким образом, на следующемшаге итераций можно получить систему с бо́льшим числом частиц.Примеры моделейВ звездной динамике есть ряд аналитических моделей, которые используют для проверки “работоспособности” численных методов. Если предлагаемаячисленная техника полностью воспроизводит динамику известных моделей, тоее можно применять и в более сложных задачах.
В статье [13] мы построилиизотропную модель Пламмера, используя наш итерационный метод. Согласиес аналитическими профилями плотности и дисперсии скоростей было блестящим. В этом разделе мы рассмотрим три примера более сложных моделей,построенных нашим методом: модель трехосного сфероида, модель многокомпонентной дисковой галактики и модель, построеная по известной кинематикевдоль большой оси звездного диска.ТРЕХОСНАЯ МОДЕЛЬРассматривается распределение плотности длясферы Пламмера, сплющенной в двух измерениях:3Mpl 2ρ(x, y, z) =a4 π a b c plx2 y 2 z 2+ 2 + 2 + a2pl2abc−5/2,(1.37)где Mpl и apl — полная масса и масштаб распределения плотности, соответственно, a, b, c — масштабные параметры, характеризующие форму модели. В качестве примера были заданы следующие параметры: Mpl = 1, apl = 3π/16, a = 1,b = 0.8 и c = 0.7.
Если взять в качестве размерных единиц параметры, соответствующие типичной эллиптической галактике, a = 3 кпк и Mpl = 1011 M , тоединица времени составит tu ≈ 17 млн. лет.65Никаких кинематических ограничений на модель мы не накладывали. Первоначальная модель была холодной со скоростями частиц, равными нулю. Целевая модель была получена за 50 итераций. Для первых 10 итераций мы поддерживали изотропное распределение по скоростям в системе, а затем никак нефиксировали кинематические параметры, перенося скорости из старой моделив новую без каких-либо поправок.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
