Автореферат (1145355), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Кидланд, Е. Пре­скотт обнаружили динамическую неустойчивость решений в некоторых эконо­мических задачах, А. Ори заметил динамическую неустойчивость вектора Ше­пли в задаче о переговорах, также проблема динамической неустойчивости вповторяющихся играх была обозначена в работе И.

Куриель, однако только вконцепции, предложенной Л.А. Петросяном, предлагался способ решения дан­ной проблемы.Отдельным актуальным направлением в теории игр является использо­вание элементов случайности (или неопределенности) при моделировании кон­фликтных процессов. Развитие данной области непосредственно связано с раз­витием теории стохастических игр, введенных Шепли в 1953 году, а также диф­ференциальных игр при наличии неопределенности (см. Жуковский В.И., Коно­ненко А.Ф., Петросян Л.А.

и Янг Д.В. К.), поскольку использование при модели­ровании фактора той или иной неопределенности позволяет наиболее адекватноописывать самые разнообразные процессы, происходящие в экономике, эколо­гии, менеджменте, торговле, при принятии решений в области международныхотношений, систем безопасности и пр. Важные результаты в области теорииоптимального управления при наличии неопределенностей получены А.Б. Кур­жанским.В данной работе рассматривается новый класс дифференциальных игр —кооперативные дифференциальные игры лиц со случайной продолжительно­6стью.

Случайность времени существования любого организма, системы, процес­са заложена в окружающую человека реальность, поэтому спектр приложенийкооперативных дифференциальных игр со случайной продолжительностью мо­жет быть велик. Отметим, что в работе Л.А. Петросяна и Н.В. Мурзова "Теоре­тико-игровые задачи механики"в 1966 г. впервые были исследованы дифферен­циальные игры преследования двух лиц со случайной продолжительностью.

Врассматриваемой авторами задаче игроки получали терминальный выигрыш вслучайный момент времени . В этой же работе впервые было выведено урав­нение типа Айзекса-Беллмана для заданной таким образом антагонистическойдифференциальной игры.Стоит отметить, что управляемые процессы со случайным моментом окон­чания для задач с одним агентом (игроком) также были независимо рассмотре­ны в области оптимального управления, начиная с работы М. Яари, в которойформулировалась задача оптимального страхования жизни потребителя приусловии, что момент окончания жизни являлся случайной величиной.

Е.К. Бу­касом задача оптимального управления со случайным моментом остановки бы­ла сформулирована в общем виде.Продолжительность игры является важным параметром, влияющим наоптимальное поведение игроков. Отдельной областью теории игр, в которыхобъектом исследования также является момент окончания игры, являются такназываемые игры с оптимальной остановкой. В этой области следует выделитьработы В.В. Мазалова, Сакагучи, К.

Шайовски, В. К. Доманского, Э. Пресманаи др., см. также многочисленные работы А.Н. Ширяева и библиографию к ним.В диссертационной работе Громовой Е.В. изучаются кооперативные диф­ференциальные и многошаговые игры, в которых динамика является детерми­нированной, а выигрыш рассматривается в смысле его математического ожи­дания на случайном интервале [0 , ]. Некоторые вспомогательные сведения ирезультаты из области теории оптимального управления, теории дифференци­альных игр, теории вероятностей и математического моделирования, которыебыли использованы в исследовании, также сформулированы в § 1.1 — § 1.5.Целью диссертационной работы является построение конструктивнойтеории кооперативных дифференциальных игр со случайной продолжительно­стью и разработка подходов к определению динамически устойчивых принци­пов оптимальности для указанного класса кооперативных игр.

В связи с постав­ленной целью, можно выделить следующие основные задачи диссертационнойработы:— формально описать и исследовать широкий класс теоретико-игровых ди­намических задач со случайной продолжительностью в форме дифферен­циальных игр со случайной продолжительностью;— разработать математический аппарат для построения принципов опти­мальности в кооперативной постановке дифференциальных игр со слу­чайной продолжительностью;— сформулировать алгоритм построения динамически и сильно динамиче­7ски устойчивых принципов оптимальности для указанного класса игр;— адаптировать полученные результаты для дискретной постановки игры.Методика исследования.

Результаты диссертации получены с использо­ванием строгого математического аппарата теории оптимального управления,динамических игр, кооперативных игр, теории вероятностей и теории надежно­сти.Научная новизна диссертационной работы. В работе впервые рас­смотрена общая постановка дифференциальных игр со случайной продолжи­тельностью; предложен математический аппарат для построения кооператив­ной теории для указанного класса игр; описаны и решены новые проблемы,возникающие при непосредственном переносе результатов классической теориикооперативных игр для данного широкого класса динамических игр.Теоретическая и практическая значимость.

Диссертационная рабо­та носит в основном теоретический характер. Построена кооперативная теориядифференциальных игр со случайной продолжительностью, получены доста­точные, а в ряде случаев и необходимые условия существования динамическии сильно динамически устойчивых принципов оптимальности для указанногокласса игр.

Однако круг практических приложений разработанных алгоритмовможет быть достаточно велик, в том числе в изученных в диссертации матема­тических моделях управления объемами вредных выбросов, разработки место­рождения несколькими фирмами, управления капиталовложениями во времярекламной кампании и пр., в которых присутствует конфликт интересов, осно­ва для кооперации и наличие неопределенности.Основные результаты, выносимые на защиту:∙ Формализован класс кооперативных дифференциальных игр лицΓ (0 , 0 , ) со случайным моментом окончания , где является аб­солютно непрерывной случайной величиной с функцией распределения (), ∈ [0 , ].∙ Предложены и исследованы следующие модификации игры лицΓ (0 , 0 , ): дифференциальная игра лиц Γ, (0 , 0 , ) со случайныммоментом окончания и дисконтированием подынтегральных функцийполезности игроков; дифференциальная игра лиц Γ (0 , 0 , ), сослучайным моментом окончания = min{1 , 2 , .

. . , }, где { }=1 —независимые случайные величины, описывающие момент окончания игро­вого процесса для игроков {} ∈ .∙ Введена и изучена дифференциальная игра лиц Γ (0 , 0 ), в которойфункция распределения случайной величины может меняться при раз­витии игры во времени ∈ [0 , ∞), предложен способ задания составнойфункции распределения (), ∈ [0 , ∞), доказана теорема о том, что () принадлежит к классу допустимых функций.∙ Определена дифференциальная игра лиц Γ0 (0 , 0 , ) со случайныммоментом начала игры 0 , где 0 — случайная величина.8∙ Доказаны теоремы об упрощении математического ожидания интеграль­ного выигрыша игрока для игр Γ (0 , 0 , ), Γ, (0 , 0 , ),Γ (0 , 0 , ), Γ0 (0 , 0 , ).∙ Для кооперативной формулировки игры Γ (0 , 0 , ) выведено уравне­ние типа Гамильтона–Якоби–Беллмана и доказана теорема о достаточныхусловиях существования оптимальных управлений в классе позиционныхстратегий.∙ Доказана теорема о достаточных условиях существования оптимальныхуправлений в классе позиционных стратегий для частного случая игрыΓ, (0 , 0 , ), в которой дисконтирование осуществляется с интегральнойRставкой дисконтирования 0 ( ) .∙ Для класса кооперативных дифференциальных игр с предписанной про­должительностью Γ(0 , 0 , ) предложен новый способ построения харак­теристической функции (0 , 0 , ; ), ⊆ , доказана теорема о су­пераддитивности (0 , 0 , ; ).∙ Для игр с предписанной продолжительностью Γ(0 , 0 , ) введено поня­тие опорного решения в –ядре, а также доказана конструктивная тео­рема о достаточных условиях, гарантирующих сильную динамическуюустойчивость –ядра.

Алгоритм построения сильно динамически устой­чивого С–ядра описан в общем случае для игры лиц. Конструктивныйалгоритм построения опорного решения описан для игры 2 лиц.∙ Проблема динамической устойчивости кооперативных решений изученаи решена для дифференциальных игр с предписанной продолжительно­стью Γ(0 , 0 , ) с фиксированным коалиционным разбиением игроков.Предложен алгоритм вычисления процедуры распределения дележа дляописанной модели с двухуровневой кооперацией игроков.∙ Проблема динамической и сильной динамической устойчивости принци­пов оптимальности изучена и решена для кооперативной дифференци­альной игры со случайной продолжительностью Γ (0 , 0 , ), а такжеее модификаций Γ, (0 , 0 , ), Γ (0 , 0 , ), Γ (0 , 0 ). Сформулиро­ваны теоремы, гарантирующие выполнение динамической устойчивостии защиты от иррационального поведения участников во всех указанныхклассах игр.∙ Предложен алгоритм регуляризации вектора Шепли в игре Γ (0 , 0 , ).∙ Для игры Γ (0 , 0 , ) доказаны теорема о необходимых и теорема о до­статочных условиях непустоты множества опорных решений в –ядре.∙ Введен класс кооперативных многошаговых игр со случайным числом ша­гов.

Сформулированы и доказаны теоремы о регуляризации вектора Ше­пли и –ядра для данного класса игр.9Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы бы­ли доложены на семинарах кафедры математической теории игр и статисти­ческих решений Санкт-Петербургского государственного университета, на се­минарах Центра теории игр (СПбГУ), на семинаре Механико-математическогофакультета Саратовского государственного университета (2004), на семинарахБолонского университета, Италия (2011), Унив. г. Падуя, Италия (2011), Унив.Ла Сапиенца, Рим, Италия (2011); семинарах научного центра GERAD унив.Монреаля, Канада (2011, 2015, 2016); на семинаре унив.

Анауак, Мехико, Мек­сика (2014); на семинаре кафедры оптимального управления факультета вы­числительной математики и математической кибернетики Московского государ­ственного университета (2016), на XXX и XXXI научных конференциях «Про­цессы управления и устойчивость», Санкт-Петербург(1999, 2000), на V Россий­ской мультиконференции по проблемам управления, Санкт-Петербург (2012),на I Российском экономическом конгрессе, Москва (2009), а также на следую­щих международных конференциях: «Устойчивость и процессы управления»,посвящ. В.И.

Характеристики

Список файлов диссертации