Автореферат (1145355), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

. . , ), = .1 ,2 ,..., , =1 ∈ , ∈Предложенный способ построения характеристической функции в дифференци­альной игре с предписанной продолжительностью легко может быть обобщендля других классов игр.Теорема 5.3.1. Характеристическая функция (31) является суперадди­тивной функцией.Построенная -характеристическая функция имеет следующие преимуще­ства. Во-первых, характеристическая функция (31) удовлетворяет свойству су­23пераддитивности (см. Теорему 5.3.1) в отличие от - характеристической функ­ции. Во-вторых, она может быть вычислена в два этапа с использованием вы­ражений для оптимальных управлений, что существенно упрощает процесс вы­числений по сравнению с построением - характеристической функции.

От­метим, что оптимальные управления, максимизирующие суммарный выигрышигроков, существуют и могут быть вычислены для широкого класса игр при до­статочно слабых ограничениях, а вопрос существования и единственности рав­новесия по Нэшу для данного класса характеристических функций не являетсястоль существенным, как для класса -характеристических функций. Кроме то­го, заданная новым образом характеристическая функция может быть исполь­зована для игр с фиксированными коалиционными структурами, в которых навтором уровне кооперации возникают технические сложности с построениемхарактеристических функций.В § 5.3.4 приведен пример построения характеристической функции в игреΓ(0 , 0 , ) всеми тремя описанными способами. Доказано, что в данном при­мере дифференциальной игры управления объемами вредными выбросами до­статочные условия (29), гарантирующие сильную динамическую устойчивость –ядра, выполнены без дополнительных ограничений на параметры моделидля всех рассмотренных способов.

Все результаты получены в аналитическомвиде.В § 5.4 описана кооперативная дифференциальная игра с фиксированнойкоалиционной структурой. Кооперация происходит на двух уровнях: сначалакоалиции объединяются в коалицию с целью максимизации суммарного вы­игрыша, а затем выигрыши (компоненты вектора Шепли), полученные коали­циями, распределяются внутри этих коалиций. В § 5.4.1 предложен подход (про­цедура распределения дележа), согласно которому можно перераспределить вы­игрыши игроков во времени так, что кооперация будет динамически устойчивойна обоих уровнях игры. При этом на втором уровне игры используется способпостроения характеристической функции, предложенный в § 5.3.3.

В § 5.4.2 тео­ретические результаты демонстрируются на примере теоретико- игровой задачиуправления вредными выбросами в атмосферу для случая заданной коалици­онной структуры.В Главе 6 проблема динамической и сильной динамической устойчиво­сти принципов оптимальности была адаптирована и решена для кооператив­ной дифференциальной игры со случайной продолжительностью Γ (0 , 0 , ),а также ее модификаций Γ, (0 , 0 , ), Γ (0 , 0 , ), Γ (0 , 0 ) (Глава 7).

В§ 6.1, 6.2, 6.3 сформулированы теоремы, гарантирующие выполнение динами­ческой устойчивости и защиты от иррационального поведения участников напримере вектора Шепли.Рассмотрим кооперативную форму игры Γ (0 , 0 , ). Будем полагать = ∞. Для определенности далее будем полагать, что игроки договорилисьиспользовать вектор Шепли для раздела суммы (0 , 0 , ):ℎ (0 , 0 ) =∑︁ ( − )!( − 1)!⊂∈![ (0 , 0 , ) − (0 , 0 , ∖{})], = 1, .

. . , .24Определение 6.2.1. Пусть существует вектор-функция() = { () ≥ 0}=1,..., ,такая что компоненты вектора Шепли ℎ(0 , 0 ) = {ℎ (0 , 0 )}=1,..., в игреΓ (0 , 0 ) представимы в виде∞Zℎ (0 , 0 ) = (1 − ()) (), = 1, . . . , .(32)0Вектор-функцию () = { ()} будем называть процедурой распределения де­лежа (ПРД) в игре Γ (0 , 0 ).Определение 6.2.2. Будем называть вектор Шепли {ℎ (0 , 0 )} дина­мически устойчивым вектором Шепли, если существует такая ПРД { () ≥0}, ∈ [0 , ∞), что вектор ℎ(* (), ) = {ℎ }, ∀ ∈ [0 , ∞), вычисленныйпо формуле∞Z1*(1 − ()) (),ℎ ( (), ) =(1 − ()) = 1, . .

. , ,(33)такжеявляетсявекторомШепливсоответствующейподыгре ∈ [0 , ∞).Теорема 6.2.1. Пусть для каждой подыгры Γ (* (), ), ∈ [0 , ∞),*¯вектор Шепли ℎ((), ) является абсолютно непрерывной функцией време­ни . ПустьΓ (* (), ), ()ℎ (* (), ) − (ℎ (* (), ))′ ≥ 0, ∈ [0 , ∞), = 1, . . . , .(1 − ())(34)¯Тогда в игре Γ (0 , 0 ) вектор Шепли ℎ(0 , 0 ) является динамически устойчи­вым дележом с ПРД (34).Очевидно, что в игре Γ (0 , 0 ) мы всегда можем распределить во време­ни вектор Шепли {ℎ }, используя формулу для выплат (34). Однако в общемслучае нельзя гарантировать неотрицательности компонент (), ∀ ∈ [0 , ∞).Вектор Шепли не является динамически устойчивым в общем случае. Алго­ритм проверки динамической устойчивости вектора Шепли является следую­щим: вычислить компоненты ПРД по формуле (34) и проверить выполнениеусловия { () ≥ 0}, ∀ ∈ [0 , ∞).

Если неотрицательность выполнена, то век­тор Шепли {ℎ }, распределенный во времени в игре Γ (0 , 0 ) согласно (34),является динамически устойчивым.В противном случае вектор Шепли не является динамически устойчивымпринципом оптимальности. Тогда, при выполнении свойства неотрицательностифункции мгновенного выигрыша ℎ (( ), ( )) ≥ 0, = 1, . . . , , для получения () =25нового динамически устойчивого (регуляризованного) принципа оптимально­сти на основе первоначально выбранного игроками динамически неустойчивогопринципа оптимальности, может быть использована новая процедура распреде­ления дележа, а именно:ℎ (* (), )¯ () =∑︀ℎ (* (), * ())=1(* (), , ), ∈ [0 , ∞).(35)В § 6.3.

были изучены дополнительные ограничения на ПРД, обеспечи­вающие защиту игроков от иррационального поведения других участников вкооперативной дифференциальной игре с предписанной продолжительностью.Для кооперативной дифференциальной игры со случайной продолжитель­ностью Γ (0 , 0 , ) условие защиты от иррационального поведения можетбыть сформулировано следующим образом:Z (0 , 0 , {}) ≤ (1 − ( )) ( ) + (1 − ()) (* (), , {}),(36)0 = 1, . . . , ,∀ ∈ [0 ; ∞).Теорема 6.3.1. Пусть (* (), , {}) — непрерывно дифференцируемая функ­ция по , ∈ [0 , ∞). Тогда условие (36) выполнено тогда и только тогда, когда () ≥ () (* (), , {}) − (* (), , {}), = 1, . .

. , .(37)Аналогичным образом условия защиты коалиций от иррационального по­ведения других игроков могут быть переформулированы для задачи со случай­ным моментом окончания: (0 , 0 , ) ≤∑︀ R(1 − ()) () + (1 − ()) (* (), , ),∈ 0∀ ∈ [0 , ∞),(38) ⊆ .Теорема 6.3.2. Пусть (* (), ; ) — непрерывно дифференцируемаяфункция при ∈ [0 , ∞) в игре Γ (0 , 0 , ). Тогда условие (38) выполненотогда и только тогда, когда ПРД (), ∈ [0 ; ∞) удовлетворяет неравенству∑︁∈ () ≥ () (* (), , ) − (* (), , ).(39)В § 6.4 приведен пример построения динамически устойчивого вектораШепли на примере дифференциальной игры из § 2.3.4. В § 6.5 предложен алго­ритм регуляризации вектора Шепли, который в § 6.5.1 продемонстрирован наиллюстративном примере линейной дифференциальной игры.26В § 6.6 изучается проблема построения сильно динамически устойчивогоС–ядра; результаты, полученные в § 5.2 для игр с предписанной продолжитель­ностью, адаптированы для игры со случайным моментом окончания.

В § 6.6.1для примера, изученного в § 6.5.1, проверяется достаточное условие для непу­стоты множества опорных решений.Определение 6.6.1. Будем говорить, что C–ядро (0 , 0 ) является силь­но динамически устойчивым кооперативным решением в игре Γ (0 , 0 , ), ес­ли1. (* (), ) ̸= ∅, ∀ ∈ [0 , ∞);¯ )(0 , 0 ) и такая ПРД (∞Z(¯1 ( ), . . . , ¯ ( )), ∈ [0 , ∞), что ¯ = (1 − ( ))¯ ( ) и2. существует такой дележ ¯∈=0⎧⎫Z⎨⎬¯ˆ = (1 − ()) () + (1 − ())ˆ⎩ ⎭0∀{ˆ }∈∈ (0 , 0 ),∈∈ (* (), ), ∀ ∈ [0 , ∞). (40)Определение 6.6.2.

Дележ ¯ ∈ (0 , 0 ), гарантирующий сильно дина­мическую устойчивость C–ядра, будем называть опорным решением.Сформулируем необходимые условия, гарантирующие (сильно) динамиче­скую устойчивость С–ядра.Теорема 6.6.1. Пусть (* (), ) ̸= ∅ , ∀ ∈ [0 , ]. Пусть C–ядро (0 , 0 )сильно динамически устойчиво в игре Γ (0 , 0 , ). Тогда существует множе­ство дележей (0 , 0 ) ⊆ (0 , 0 ), т.ч. для любого ∈ (0 , ) ПРД (), вы­численная по формуле (32), удовлетворяет следующим условиям: (0 , 0 ; ) − (0 , 0 ; ∖ ) − (1 − ()) (* (), ; ) ≥∑︁ Z ( )(1 − ( )) ≥∈ 0 (0 , 0 ; ) − (1 − ())[ (* (), ; ) − (* (), ; ∖ )],∀ ⊂ ,∑︁ Z ( )(1 − ( )) = (0 , 0 ; ) − (1 − ()) (* (), ; ).(41)(42)∈ 0Теорема 6.6.2.

Пусть (* (), ; ), ⊆ — непрерывно дифферен­цируемая функция по ∈ [0 ; ∞). Пусть (* (), ) ̸= ∅, ∀ ∈ [0 , ∞). Если27существует дележ ∈ (0 , 0 ) и соответствующая ему ПРД (), ∈ [0 , ∞),такая что ∀ ⊂ справедливо∑︁ () ≥ () (* (), ; ) −∈∑︁ (* (), ; ), () = () (* (), , ) −∈ (* (), , ; ), (43)то дележ ∈ (0 , 0 ) является опорным решением ¯ , а С–ядро (0 , 0 )является сильно динамически устойчивым кооперативным решением в игреΓ (0 , 0 , ).В Главе 7 в § 7.1 — 7.4 проблема динамической и сильно динамическойустойчивости изучается для игр Γ, (0 , 0 , ), Γ (0 , 0 , ), Γ (0 , 0 ). В§ 7.2.1 приведен пример построения динамически устойчивого вектора Шеплидля модели § 3.1.2, в § 7.3.1 динамически устойчивый вектор Шепли строитсядля игры § 3.2.1 для -, -, - характеристических функций.В части III «Кооперативные многошаговые игры со случайным числомшагов» проблема динамической и сильно динамической устойчивости коопе­ративных решений изучается для дискретной постановки задачи.

Характеристики

Список файлов диссертации