Диссертация (1145323), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Схема определения функции Элиашберга из данных ФЭСУР.Первым этапом анализа является обработка данных РФЭС путем аппрок190симации контуров MDC при каждой энергии. Если зависимость 0 (k) нелинейная или сечение фотоионизации существенно зависит от k, то контуры MDCнедостаточно хорошо описываются лоренцевой формой. Пики могут быть асимметричными, поэтому в качестве модели формы пиков использован простейшийасимметричный контур Лоренца, определяемый выражением(︃[︂]︂2 )︃−1 () = 1 +, + (5.5)где – параметр асимметрии, не превышающий по модулю нескольких десятых. Пример аппроксимации контура MDC двумя пиками показан на рис.
5.9d.Выполняя аппроксимацию контуров MDC при каждой энергии, можно получитьэнергетические зависимости положения пиков () (кривая “MDC fit” на рис.5.11a) и их полуширины ().Рис. 5.11. (а) Фрагмент модельной карты ФЭСУР, показанной на рис. 5.9c, результаты анализа.Фрагмент соответствует сечению, показанному отрезком на рис. 5.9a. (b,c) Вещественная и мнимая части собственной энергии, полученные в результате анализа модельных данных ФЭСУР,приведенных на панели (а). Синяя кривая показывает форму полученной функции Элиашберга.На втором этапе анализа в параметрической форме задаются функция Элиашберга 2 () и невозмущенная одночастичная дисперсия 0 ().
Целесообраз191но задать функцию Элиашберга в виде суммы нескольких пиков, отражающихвзаимодействие электронов с несколькими фононными модами. В данном случае использовалась сумма лоренцианов. Подгоночными параметрами являютсяих энергия, ширина и высота. Дисперсию можно задать в виде полинома. Ещеодним дополнительным параметром является константа, добавляемая к мнимойчасти собственной энергии для учета естественного уширения, связанного с конечным временем жизни фотоэлектронной дырки. В ходе итеративной процедуры, схематично изображенной на рис.
5.10, параметры подбираются так, чтобыминимизировать функционал , представляющий среднеквадратичное отклонение параметрической модели от результатов аппроксимации контуров MDC. Количество пиков в функции Элиашберга выбирается пробным путем, начиная сминимального. В данном случае использование одного пика приводит к плохомусоответствию модели и данных, два пика дают удовлетворительное согласие, атри – хорошее. Поэтому при анализе использовались именно три пика.На рис.
5.11b,c приведены результаты определения вещественной и мнимой частей собственной энергии, вычисленных из оптимизированной функцииЭлиашберга и показанных сплошными линиями. Кружками показаны соответствующие функции, определенные из результатов аппроксимации контуров MDCследующим образом:Σ′ () =0 − ,0 /Σ′′ () =.|0 /|(5.6)Видно, что соответствие очень хорошее. Кроме того, сравнение оптимизированной функции Элиашберга, показанной под графиком вещественной части Σ нарис. 5.11b, с заданной при симуляции данных ФЭСУР функцией, изображеннойна рис. 5.9b., указывает на их почти идеальное совпадение.
При этом полученнаяневозмущенная дисперсия (красная линия на рис. 5.11a) совпадает с заданнойпри симуляции данных ФЭСУР моделью ПСС (пунктир на рис. 5.11a). Все этодемонстрирует правильность работы процедуры анализа в рассмотренном случае.192Важной характеристикой электрон-фононного взаимодействия являетсяконстанта взаимодействия , описывающая величину взаимодействия. Ее можноопределить различными способами. Один подход основан на интегрированиифункции Элиашберга [305]:∞Z=22 ().(5.7)0Другой способ позволяет определить из наклона вещественной части Σ вблизинулевой энергии [310]:⃒ ′⃒⃒ Σ () ⃒⃒, = ⃒⃒ ⃒=0(5.8)но такая оценка справедлива лишь при достаточно низких температурах образца(много меньше температуры Дебая).
С увеличением температуры наклон уменьшается [305], поэтому первый способ предпочтительнее. Также следует учитывать, что для сходимости интеграла 5.7 функция Элиашберга должна обращатьсяв ноль при нулевой энергии. Поэтому при задании 2 () в виде суммы лоренцианов необходимо модифицировать функцию вблизи нуля для корректного вычисления . Например, основываясь на двумерной модели Дебая, можно считатьзависимость вблизи нуля линейной по [311]. Стоит отметить, что оба способа определения в рассмотренном примере анализа симулированного спектраФЭСУР дали одинаковую оценку = 0.375 ± 0.005.Дальнейшее тестирование процедуры определения функции Элиашберга изданных ФЭСУР на примере нескольких сечений распределения интенсивностив различных направлениях ЗБ показало, что процедура не всегда позволяет корректно воспроизвести заложенную при симуляции функцию 2 () и значение.
В качестве примера можно рассмотреть срез распределения интенсивностиФЭСУР, показанный на рис. 5.12a, и отмеченный вертикальной пунктирной линией на рис. 5.9a слева от точки K при = 1.5 Å−1 . Анализ этого среза с помощью описанной выше процедуры приводит к неверной аппроксимации MDC,вследствие чего дисперсионная зависимость не совпадает с функцией, заданной193при симуляции, а значение оказывается равным 0.87, что превышает заданноезначение более чем вдвое.Рис.
5.12. (а) Фрагмент модельной карты ФЭСУР при = 1.5 Å−1 , и результаты анализа: (a)без учета сечения фотоэмиссии, (b) с учетом сечения фотоэмиссии при аппроксимации контуровMDC.Подобное расхождение возникает в том случае, когда имеет место сильное изменение сечения фотоэмиссии 0 (k) вдоль контура MDC. Функция 0 (k)при симуляции была задана выражением 5.1.
Аналитическое вычисление этоговыражения в рамках ПСС дает следующий результат:0 (k) ∝ |( (k) + (k)|2 = 1 ± cos k ,(5.9)где k – это аргумент (комплексного числа) недиагонального элемента 12 (k)матрицы гамильтониана, а знак ± зависит от рассматриваемой зоны (“−” длявалентной, а “+” для зоны проводимости). При учете одной координационнойсферы в малой окрестности точки Дирака аргумент k совпадает с углом вектора(k − K) [272].
Следовательно, при обходе вокруг точки K сечение фотоэмиссиив зоне проводимости меняется от максимума до 0 как cos2 (/2), т.е. оно сильноанизотропно. Если срез проходит вертикально через точку K, то сечение постоянно, поэтому аппроксимация MDC работает верно (как в случае, показанномна рис. 5.11). Верно работает и анализ вдоль высокосимметричных направлений194ΓK и KM. Если же сечение 0 (k) сильно изменяется в выбранном направлении,как на рис. 5.12a, то анализ становится ненадежным.Ситуацию можно улучшить, если учесть изменение сечения фотоэмиссиипутем умножения асимметричного лоренциана на функцию 0 () при аппроксимации MDC.
Результат такого анализа показан на рис. 5.12b. Видно, что в этомслучае невозмущенная дисперсия и величина определяются верно.Рис. 5.13. (а) Поверхность Ферми системы Li/графен/Co Si. Штриховыми линиями, пронумерованными от 1 до 4, показаны направления измерения спектров ФЭСУР, использованных дляопределения функции Элиашберга. (b) Результаты оценки константы ЭФВ как функции углаобхода вокруг точки K.Рассмотрим теперь результаты анализа экспериментально полученных данных ФЭСУР системы Li/графен/Co Si при температуре образца ниже 50 K. Измеренная поверхность Ферми показана на рис.
5.13a. Вертикальные линии сномерами 1–4 показывают направления измерений с высоким разрешением дляопределения характеристик ЭФВ. Соответствующие им данные и результатыанализа изображены на рис. 5.14a-d. Для каждого из четырех направлений была определена функция Элиашберга и величина константы взаимодействия .При этом аппроксимация контуров MDC в направлениях 2 и 4 производилась с195Рис. 5.14. Данные ФЭСУР системы Li/графен/Co Si, измеренные вдоль направлений 1–4, показанных на рис.
5.13a, и результаты их анализа.196учетом сильно меняющегося сечения фотоионизации. Для определения функцииЭлиашберга использовалась модель с тремя пиками 1 , 2 и 3 , изображеннымина рис. 5.14a. Использование большего числа пиков не требуется, т.к.
даже двухпиков уже достаточно для удовлетворительной подгонки модели к эксперименту.Пики 2 и 3 оказываются достаточно близко друг от друга, поэтому их можнобыло бы аппроксимировать и одним пиком. Необходимость использования пика1 с энергией около 0.07 эВ стала очевидной в процессе анализа первой из четырех карт ФЭСУР. Наличие этого пика проявляется в соответствующем плечевещественной части и в небольшом подъеме мнимой части собственной энергии при 0.07 эВ.
Оценка величины электрон-фононной связи в этом случае далазначение = 0.40.В случае третьей карты ФЭСУР (рис. 5.14c) низкоэнергетичный фонон 1почти исчезает из функции Элиашберга, а значение снижается до 0.26. Этоуказывает на сильную анизотропию ЭФВ. Это видно рис. 5.13b, где приведенграфик изменения при движении по поверхности Ферми. В направлении KMнаблюдается максимум , а вблизи KΓ – минимум.
Кроме того, на графике показан вклад фононов 2 и 3 , соответствующих оптическим фононам, в величинуэлектрон-фононной связи 23 . Видно, что взаимодействие оптических фононовс электронами слабо зависит от направления, и константа связи 23 изменяетсяв малом диапазоне 0.21 − 0.25. Это означает, что основной вклад в анизотропиюЭФВ вносят низкоэнергетичные фононы (пик 1 ) с энергиями ниже 0.1 эВ. Этомогут быть акустические фононы графена или фононы допирующего металла.Изучение допирования системы графен/Au/Ni(111) различными металламипоказало, что аналогичная анизотропия ЭФВ взаимодействия наблюдается придопировании любым щелочным металлом, а также кальцием [8]. При этом внаправлении KΓ также присутствует взаимодействие с низкоэнергетическимифононами, которое значительно уменьшается при повороте в сторону KM.
Наэтом основании можно предположить, что этот феномен является общим длявсех систем с сильно допированным графеном.197Интересно оценить температуру возможного перехода к сверхпроводимости в рассматриваемой системе. Для этого определим среднее значение дляэлектронов проводимости. Усреднение по состояниям на уровне Ферми даетсявыражениемH (k)= H (k) (k).(5.10)Для вычисления необходимо определить скорость Ферми (k) на всей поверхности Ферми. Ее можно узнать, проведя аппроксимацию экспериментально измеренной электронной дисперсии с помощью ПСС. На рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
