Диссертация (1144222), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Некоторые трёхмерные электростатическиеэнергоспектрографы с полями, однородными по ЭйлеруВ приложении 5 указан новый алгоритм для синтеза трехмерныхпотенциальных структур с целью создания эффективных электрических имагнитных спектрографов на их основе. Эту методику можно применять длясинтеза потенциальных структур с однородными по Эйлеру функциями спроизвольным порядком однородности k .§1.

Общие вопросыСуществует класс полей с трехмерными однородными потенциалами,на базе которых можно построить спектрографические электрические имагнитные системы. При этом новые потенциальные структуры могут бытьсгенерированы по следующей схеме.Для начала необходимо построить трехмерные потенциалы в видеполинома конечной степени 2n или 2n  1 одной из декартовых координат(например,y)с коэффициентами, которые являются однороднымифункциями соответствующего порядка от двух других координат: x и z .Основная задача состоит в том, чтобы найти вид этих функцийкоэффициентов, полагая, что их аналитическая форма должна быть либосимметричной, как выражение (8), либо антисимметричной, как (9).Указанные потенциалы распадаются на два непересекающихся семейства:полиномы по четным степеням и полиномы по нечетным степеням:U  x, y, z   U 0,k  x, z  1 21y U 2,k  2  x, z   ...

y 2nU 2 n,k  2 n  x, z 2n!2!U  x, y, z   yU 1,m 1  x, z  1 31y U 3, m3  x, z   ... y 2 n1U 2n 1, m 2 n1  x, z 2n  1!3!(8)(9)63В качестве небольшого отступления от основной канвы изложенияследуетотметитьследующее.Прямойподстановкойвтрехмерноеуравнение Лапласа легко проверить, что каждый из двух полиномов поотдельности тоже будет гармонической функцией, если гармоническуюфункцию(онапредставляет собойполиномконечнойстепениоткоординаты y ) разбить на сумму двух полиномов по четным и по нечетнымстепенямy . Этот результат следует из того, что те рекуррентныесоотношения для множителей при различных степенях y , которые должныбыть выполнены, чтобы полином в целом был гармонической функцией, непересекаются для четных и для нечетных степеней y .Далее, если в качестве функций U j ,k  j x, z  или U j ,m  j x, z  выбратьсимметричные функции аргумента z с порядком однородности k  j илиm  j соответственно, то в результате построения будет получен вариантэлектрического потенциала.

Если же функции антисимметричные, то будетполучена конфигурация магнитного потенциала.Фактическиможновестирешениеподвумнезависимымнаправлениям.Сначала рассмотрим разложение (8) по четным степеням длясимметричного потенциала, используя четную функцию в качестве базовой.Подставим разложение (8) в трехмерное уравнение ЛапласаU xx  U yy  U zz  0 ,нужно сгруппировать вместе члены при одинаковых степенях y .В силу равенства нулю всего выражения, коэффициенты при разныхстепенях y должны обнуляться; тогда получается цепочка следующихравенств:64 2U 0,k 2U 0,k U 2 ,k  2 ,z 2 2U 2,k 2 U 4 ,k  4 ,x 2z 2.............................................x 2 2U 2,k 2 2U 2 n2,k 2 n2x 2 2U 2 n,k 2 nx 2 2U 2n2,k 2n 2z 2 2U 2n ,k 2 nz 2(10) U 2 n ,k  2 n , 0.Далее в качестве генерирующей функции будет взята однородная поЭйлеру гармоническая функция со степенью однородности p  k  2n , аименно коэффициент при старшей степени y 2n :U 2 n, p  x, z   U 0 r p cos pПосле этого множитель U 2 n2, p 2 x, z  при степени y 2 n 2 можно найти,решив уравнение Пуассона с правой частью U 2 n, p x, z  и условием бытьсимметричной по координате z .

Как легко проверить, такая функция будетиметь видU 2 n2, p 2  x, z   c1U 0 r p 2 cos p  U 1r p 2 cos p  2  ,где U 1 — свободная константа, а c1 подбирается так, чтобы результатудовлетворял уравнению Пуассона с функцией вида U 0 r p cos p в правойчасти. МножительU 2 n2, p 4  x, z при степени y 2 n 2 (10) получится уже в видеU 2 n2, p 4  x, z   d1r p 4 cos p  d 2 r p 4 cos p  2   U 2 r p 4 cos p  4 где U 2 будет свободной константой.Константа d 2 подбирается так, чтобы обеспечить совпадение с членомU 1r p 2 cos p  2 в правой части уравнения Пуассона, а константа d1 — с членомc1U 0 r p 2 cos p65в правой части уравнения Пуассона.Описанная процедура продолжается, пока цепочка рекуррентныжвышислений не замкнется на первом члене разложения (10). Формулы длянечетныхстепенейyидляантисимметричныхпотенциаловконструируются аналогичным образом.Свободные константы U 1 , U 2 ,..., как легко видеть, соответствуютоднородным по Эйлеру потенциалам меньшей степени.

Эти константы, заисключением старшего коэффициента U 0 , можно без ограничения общностиположить равными нулю. В итоге конструируем набор линейно независимых базисных функций с последовательно возрастающими степенямиполиномов.ДалееприведенывыражениядляоднородныхпоЭйлерусимметричных и антисимметричных потенциалов, которые могут служитьспектрографическими средами; важно отметить, что порядок однородностиk не обязан быть целым числом.Потенциалы, симметричные по z и с четными степенями y :U 0  x, y, z   cos k  r k ;rk ;U 2  x, y, z   cosk  2    y 2 r k 2 2k  1 3 y 2 r k 23r k;U 4  x, y, z   cosk  4    y 4 r k 4 k  3 4k  3k  2 U 6  x, y, z   cosk  6  6 k 6 15 y 4 r k 445 y 2 r k 215r k y r ;2k  5 4k  5k  4 8k  5k  4 k  3 U 8  x, y, z   cosk  8  8 k 8 14 y 6 r k 6105 y 4 r k 4105 y 2 r k 2y r k  7  2k  7 k  6  2k  7 k  6k  5 105r k 16k  7 k  6k  5k  4 Потенциалы, симметричные по z и с нечетными степенями y :(11)66U 1  x, y, z   cosk  1  yr k ;3 yr k 1 ;U 3  x, y, z   cosk  3   y 3 r k 3 2k  2  5 k 5 5 y 3 r k 315 yr k 1;U  x, y, z   cosk  5   y r k44k4k3U 7  x, y, z   cosk  7  5 7 k 7 21 y 5 r k 5105 y 3 r k 3105 yr k 1 y r ;2k  6 4k  6 k  5 8k  6k  5k  4  U 9  x, y, z   cosk  9   9 k 9 18 y 7 r k 7189 y 5 r k 5315 y 3 r k 3y r k  8 2k  8k  7  2k  8k  7 k  6 945 yr k 16k  8k  7 k  6 k  5(12)Потенциалы, антисимметричные no z и с четными степенями y :U 0  x, y , z   sin k  r k ; 2 k 2rk ;U  x, y , z   sin k  2    y r 2k123 y 2 r k 23r k;U 4  x, y , z   sin k  4    y 4 r k 4 k  3 4k  3k  2  U 6  x, y , z   sin k  6  6 k 6 15 y 4 r k  445 y 2 r k 215r k y r ;2k  5 4k  5k  4  8k  5k  4k  3 U 8  x, y , z   sin k  8  8 k 8 14 y 6 r k 6105 y 4 r k  4105 y 2 r k 2y r k  7  2k  7 k  6 2k  7 k  6k  5 105r k 16k  7 k  6k  5k  4 (13)Потенциалы, антисимметричные по z и с нечетными степенями y :67U 1  x, y , z   sin k  1  yr k ;3 yr k 1 ;U 3  x, y , z   sin k  3   y 3 r k 3 2k  2   5 k 5 5 y 3 r k 315 yr k 1;U  x, y , z   sin k  5   y r k44k4k3U 7  x, y , z   sin k  7  5 7 k 7 21 y 5 r k 5105 y 3 r k 3105 yr k 1 y r ;2k  6 4k  6 k  5 8k  6k  5k  4  U 9  x, y , z   sin k  9  9 k 9 18 y 7 r k 7189 y 5 r k 5315 y 3 r k 3y r k  8 2k  8k  7  2k  8k  7 k  6 945 yr k 16k  8k  7 k  6 k  5Симметричностьсоответствующейиликоординатеантисимметричностьполностью(14)функцииэквивалентныпоразложениюпотенциала в ряд только по четным или только по нечетным степенямкоординаты.

Поэтому при синтезе корпускулярно-оптических системнужного типа можно использовать выражения (11) — (14) в «развернутом»варианте, когда координаты y и z меняются местами. Однако главнойплоскостью, в которой происходит основное движение частиц, по-прежнемуостается плоскость OXY . Такие развернутые конфигурации двумерныхэлектростатических и магнитостатических зеркал применительно к задачесинтеза электронных спектрографов с идеальными характеристикамирассматривались, например, в работах [116, 2 – 4, 6].§2.

Трёхмерные электростатические поляДалее в качестве примера будет рассмотрен простейший случайантисимметричного по z поля:n z U  x, y, z   y x 2  z 2 sin  n  arctg    , x (15)68где n – это порядок однородности. Вид поля (15) представлен на рис. 9.Припроведениичисленногоэкспериментанеобходимочёткопозиционировать пучок заряженных частиц, который вводится в поле. Вданном эксперименте рассматривалось два крайних случая.

В первомварианте пучок влетает под углом  к плоскости OXZ , и угол растворапучкаперпендикуляренэтойплоскости.Послечегочесьпучокповорачивается на угол  в плоскости OXZ . Во втором варианте пучоквлетает в плоскость OXZ под углом  , и угол раствора пучка лежит в этойже плоскости. После чего весь пучок приподнимается над плоскостью OXZна угол  .После проведения численного эксперимента стало ясно, что в первомслучае для выбранного поля фокусировка первого порядка отсутствует, номожно ожидать её повления в более сложных полях того же класса.Результаты численного эксперимента для второго случая приведенына рис. 10. При этом важно отметить, что исследование данного классаполей только началось, и предстоит провести ещё очень большой объёмработы.69Рисунок 9.

Характеристики

Список файлов диссертации