Диссертация (1144222), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Начальная кинетическая энергия для t  масштабирована в 2 2 раз по сравнению с начальной кинетическойэнергией для r t  (где    p 1 2 ). Эти начальные условия однозначноопределяют траекторию заряженной частицы. Оная траектория будетполностью совпадать с масштабированной в  раз исходной траекторией (всилутеоремыосуществованиииединственностирешенийдифференциальных систем).Этот, несомненно, важный факт является следствием из «принципаподобия траекторий», который, судя по всему, был изначально предложендля электростатических полей Ю. К.

Голиковым в следующей форме: вэлектростатических однородных по Эйлеру полях полное интегральноемногообразиединамическойсистемыразбиваетсянасовокупностьподмногообразий, каждое из которых состоит из взаимно подобныхтраекторий.В частности,синтезируютсявесьманаосноверазнообразныеэтогоипринципавесьмав[115-120]эффективныеэлектростатические электронно-оптические системы.Данное следствие позволяет использовать электростатические поля,однородные по Эйлеру, как эффективные электростатические электронныеспектрографы [115-117].37Таким образом, электрические поля (1) при k  0 могут бытьиспользованы для создания эффективных параллельных энергетическихспектрометров.

То есть, если имеется пучок моноэнергетических частиц с энергией E ,который стартует из точки 0,0,0  ; если этот луч фокусируется в зависимости от угла в некоторой точке,отличной от точки 0,0,0  с некоторым порядком фокусировки; если мы запускаем похожий пучок (т.е. с теми же углами и из той жеточки) с некоторой другой энергией E '  E ; тогдапучокявляетсяначальнымпучком,масштабированнымгеометрически на множитель  1 n .В частности, это означает, что оный пучок фокусируется вмасштабированной точке с тем же качеством. Дополнительно и внезависимости от заряда мы получаем здесь ровно прямую линиюфокусировки.Из следствия принципа подобия также следует, что при k  0параллельные входные монохроматические траектории будут переходить впараллельныевыходныемонохроматическиетраектории.Этотфактпозволяет использовать такие однородные по Эйлеру поля для угловыхмонохроматоров и для электростатических призм.В значительной части случаев использующиеся в оптике заряженныхчастиц электрические поля обладают плоскостью симметрии.

При этом безограничения общности можно считать, что она совпадает с координатнойплоскостью z  0 . Если заряженная частица начинает движение в плоскостисимметрии, то при дальнейшем движении заряженная частица продолжает вней оставаться. Электрический потенциал U x, y, z   U x, y, z  должен бытьсимметричной функцией от координаты z , тогда нормальная компонентанапряжённости электрического поля в плоскости симметрии обращается в38ноль: E z x, y ,0   U x, y, z  z z 0  0 . Критерии устойчивости траекторийзаряженныхчастицприотклоненияхотплоскостисимметриирассматриваются, например, в [124].§2.

Принцип подобия траекторий для магнитостатических полей,однородных по ЭйлеруКак уже упоминалось выше, с точки зрения оптики заряженныхчастиц, системы, обладающие хорошими спектрографическими свойствами,сильноотличаютсяотсистемсхорошимиспектрометрическимисвойствами, а их разработка приводит к совершенно новым оптическимзадачам и, соответственно, к новым способам их решения.

Полезныминструментом решения таких задач являются поля, однородные по Эйлеру.Использованиежемагнитныхполей,удовлетворяющиетождествуB  λx, λy, λz  = λ n B  x, y, z  (где n — фиксированный порядок однородности, λ —произвольный множитель), и комбинированных электрических и магнитныхполей,однородныхпоЭйлеру,значительнорасширяетсвободуконструирования спектрографических систем.Пустьзаданомагнитостатическоеполе B r  ,гдеr =  x, y, z  —декартовы координаты в трёхмерном пространстве. Уравнения движениязаряженных частиц с массой m и зарядом e в магнитном поле имеют видrt   e r t   Br t  ,mc(3)где r t  = xt , y t , z t  — меняющиеся во времени координаты заряженной частицы, t — время, Br  — индукция магнитного поля, c — множитель,зависящий от выбранной системы единиц, m — масса, e — заряд.

(Далеебудем считать заряд частиц постоянным, и использовать термин «масса» взначении «массовое число».)39 Пусть Br  является однородной по Эйлеру функцией порядка q , так  что выполняется тождество Bλr   λ q Br  , а r t  — решение уравнения (3).Может ли масштабированная функция ρt  = λr εt  быть решением уравнения(3) для частиц с массами m = μm ? Ответ будет положительным, есликонстанты λ , ε , μ выбраны так, что выполнены условия λε 2 = λ q+1ε / μ .Действительно, так как dρ / dt = λεdr / dt и d 2 ρ / dt 2 = λε 2 d 2 r / dt 2 , то выполняетсятождество  e   e   B    2 r r  Br mcmc(4)q 1 e   e    2 2    r r  Br     r r  Br  . mcmcЭто означает, что функции ρt  и r t  одновременно являютсярешениями соответствующих уравнений движения.Таким образом, условия на константыλ,ε,μсводятся ксоотношению λε 2 = λ q+1ε / μ , то есть к выбору ε = λ q μ 1 .

При таком выбореконстант λ , ε , μ у траектории ρt  начальный импульс масштабируется вχ = μλε = λ q+1 раз (независимо от масштаба массы), начальные координатымасштабируются в λ раз, начальные углы остаются прежними. Из теоремыо единственности решения системы дифференциальных уравнений следует,что если масштабировать начальные координаты заряженной частицы в λраз, начальный импульс (точнее, модуль импульса) масштабировать в λ q+1раз и сохранить углы вылета заряженной частицы неизменными, то прилюбыхзначенияхпараметровλ,новаятраекториябудетмасштабированной в λ раз версией исходной траектории.Как и в случае электрических полей, выбор масштаба χ = μλε дляначального импульса вполне эквивалентен выбору временного масштаба ε .Форма траектории, по которой двигается заряженная частица, зависит отзначения начального импульса (а не от массы и начальной скорости по40отдельности), но двигаться вдоль этой траектории частица будет всобственном временном масштабе ε = λ q μ 1 .

Этот результат обобщаетпринцип подобия траекторий на магнитостатические поля, однородные поЭйлеру, и позволяет использовать такие магнитные поля как длямагнитостатическихэлектронныхспектрографовмагнитостатическихмасс-анализаторов[105],такспектрографическогоидлятипа.Вчастности, это свойство хорошо известно для однородного магнитногополя — частного случая полей, однородных по Эйлеру.§3.

Принцип подобия траекторий для комбинированныхэлектростатических и магнитостатических полей, однородных по ЭйлеруТеперьперейдёмкслучаюкомбинированныхэлектрических,удовлетворяющихтождествуE λx, λy, λz  = λ n E  x, y, z  ,имагнитных,удовлетворяющих тождеству Bλx, λy, λz  = λ n Bx, y, z  (где n — фиксированныйпорядок однородности, λ — произвольный множитель) полей, однородныхпо Эйлеру.Пусть заданы электростатическое поле E r  и магнитостатическое B r  ,полегдеr =  x, y, z  —декартовыкоординатывтрёхмерномпространстве. Уравнения движения заряженных частиц с массой m изарядом e в совмещённом электрическом и магнитном поле имеют видrt   e E r t   e r t   Br t  ,mmc(5)где r t  = xt , y t , z t  — меняющиеся во времени координаты заряженной частицы, t — время, E r  — напряжённость электрического поля, Br  —индукция магнитного поля, c — множитель, зависящий от выбраннойсистемы единиц, m — масса, e — заряд.

(Далее снова будем считать заряд41частиц постоянным, и использовать термин «масса» в значении «массовоечисло».) Пусть E r  и Br  являются однородными по Эйлеру функциями    порядка p и q , так что выполняются тождества E λr   λ p E r  , Bλr   λ q Br  ,а r t  — решение уравнения (5). Может ли масштабированная функцияρt  = λr εt  быть решением уравнения (6) для частиц с массами m = μm ?Ответ будет положительным, если константы λ , ε , μ выбраны так, чтовыполненыусловияλε 2 = λ p / μ = λ q+1ε / μ .Действительно,таккакdρ / dt = λεdr / dt и а d 2 ρ / dt 2 = λε 2 d 2 r / dt 2 , то выполняется тождество e   e    e   e E     B    2 r E r  r  Br mmcmmcp e   q 1 e   2   r E r  r  Br (6) m mce     e    2  r  E r  r  Br  .mmcЭто означает, что функции ρt  и r t  одновременно являютсярешениями соответствующих уравнений движения.Таким образом, в общем случае комбинированного электрического имагнитногополяусловиеλε 2 = λ p / μ = λ q+1ε / μозначает,чтодлямасштабированной в λ раз траектории следует выбирать ε = λ p q 1 , μ = λ 2q  p+1 .Тогда начальная кинетическая энергия заряженной частицы, равно как иполнаяначальнаяэнергиязаряженнойчастицы,масштабируетсявγ = μλ 2 ε 2 = λ p+1 раз, а начальный импульс масштабируется в χ = μλε = λ q+1 раз.Выбор временного масштаба ε движения заряженной частицы вдольтраектории, как легко видеть, вполне можно заменить масштабом начальнойкинетической энергии (полной энергии) либо масштабом начальногоимпульса.

Тем самым при масштабировании начальных координат в λ раз,начальной кинетической энергии в λ p+1 раз (либо начального импульса в λ q+1раз), массы в λ 2q  p+1 раз и сохранении прежних начальных углов траектория42заряженной частицы окажется масштабированной в λ раз по сравнению сисходной траекторией. Этот результат можно рассматривать как обобщениепринципа подобия траекторий на случай комбинирования электрического имагнитного полей, однородных по Эйлеру.Рассмотрим частные случаи этого принципа. Если рассматриваютсятраектории частиц с одной и той же массой (случай μ = 1, p = 2q +1 ), то этоозначает, что траектории частиц с энергией, масштабированной в γ раз,будут геометрически масштабированы в γ1/  p+1 раз — правда, для этогопорядки однородности электрического и магнитного поля должны бытьсогласованы как p = 2q +1 .

Характеристики

Список файлов диссертации