Диссертация (1141455), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Однако использование трехмерной модели турбулентности резко усложняет задачу [78]. В связи с этим дальнейший анализ будет производиться в предположении, что поток является равномерным и плоским, т. е.все его характеристики сохраняются неизменными по направлению х вдоль пото102ка и по оси у в поперечном (боковом) направлении.
Такой подход можно классифицировать как решение задачи в плоской постановке с дополнительным условием, что пульсации скорости вдоль оси у имеются и изменяются по глубине потока.Дальнейшее рассмотрение вопроса будет выполняться с использованием представлений Дж. Бюргеса [74], А.Дж. Рейнольдса [125] о диффузионном переносетурбулентности как некоторой "примеси" в направлении, ортогональном к осредненному течению.
Процесс генерации, диффузии и диссипации турбулентностирассматривается на основе "каскадной" модели турбулентности, предложеннойА.Н. Колмогоровым [101]. Используемый подход опирается как на Эйлеров, так ина Лагранжев методы описания течений, что позволяет использовать соотношениямежду эйлеровыми и лагранжевыми характеристиками турбулентности.n z---------- ►X^УРис. 3.1 - Схема расположения координатных осейС учетом отмеченных выше ограничении рассмотрим изменение некоторойсубстанции (концентрации примеси, импульса силы, энергии или скорости) в турбулентном потоке.
Обозначим рассматриваемую количественную характеристикусубстанции как F, которая является в данной точке потока изменяющейся (пульсирующей) величиной вокруг некоторого осредненного по времени значения F .Отмечая в потоке некоторую частицу, рассмотрим по Лагранжу ее перемещение вдоль траектории от точки к точке с вертикальными координатами zQ, z1, z2,103z3 ... zn в соответствующие моменты времени t0, t1, t2, t3 ... tn и с соответствующими значениями рассматриваемой субстанции: F 0, F1, F 2, F 3 ...Fn. В общем случаевеличина F , осредненная по времени, остается зависящей от координат рассматриваемой частицы, в данном случае, в рамках одномерной модели, только от координаты z, т.
е. значения F (z) в различных точках по глубине потока различны.Поскольку величина z вдоль траектории изменяется во времени, то в каждый момент времени t имеет место соответствующее значение F (t) и F (t).Согласно диффузионной модели переноса субстанции F, скорость ее изменения во времени пропорциональна отклонению ее мгновенного значения F(t) отосредненного по времени значения F (t):(3.2)где n — имеет размерность частоты, т. е.
обратную времени размерность[n] = 1 " .tУуVУравнение (3.2) может быть записано также следующим образом:F ' + nF - nF = 0.(3.3)Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение имеет решение, которое записывается в виде:F (t ) = e nt j nF dt + C ,-nte(3.4)где С — константа интегрирования.При известной константе С выражение (3.4) позволяет найти мгновенноезначение F в любой момент времени t .Обычно значение константы интегрирования определяется из начальных условий. Если не использовать в анализе начальных условий, то в рассмотрениеможно ввести вместо переменной t некоторую новую переменную t -т, где т —промежуток времени между данным t и некоторым предыдущим моментом времени.С переходом к определенному интегралу в пределах от 0 до да запишем:104F(t) = e“ ntn ] ^0 e(d (t - т ) .(3.5))При фиксированном t выражение (3.5) приводится к виду:ГО_F (t ) = п J F (t - т) e птdx .(3.6)0Полученное выражение характеризует значение субстанции F в данный фиксированный момент времени t, в зависимости от осредненных значений, изменяющихся в предшествующие моменты времени t - т , причем множитель e- пт,уменьшающийся с ростом т, характеризует снижение влияния "предыстории" навеличину F в данный момент времени t .Поскольку координата частицы является функцией времени, а осредненноезначение F зависит только от координаты z, имеет место следующее соотношение:F(t -т) - F (t ) = F (z , -r) - F ( z , ).(3.7)Рассматривая малые перемещения частицы, можно записать:F (Zt_,) = F (z, ) + ^dZ(zt - Zt_т),(3.8)где zt - zt-т = Az(t -т) — перемещение частицы за время т.С учетом соотношения (3.7) выражение (3.8) можно представить в следующем виде:F (z, _т) = F(t) + ^ A z ( t - т ) .dz(3.9)Рассматривая перемещение частицы вдоль координаты z с вертикальной составляющей пульсационной скорости u'z , найдем, чтоt -тtAz(t -т) = J u'z(т)d r,u'z(т) d ri = -Ju'z(т)- Jи(3.10)t-тгде т— переменная величина сдвига по времени в предыстории процесса.Поскольку время т может принимать бесконечно большое значение, а Лагранжева хронограмма вертикальных пульсаций скорости квазипериодична (рису-105нок 3.2), интеграл (3.10) будет отличаться от нуля только за счет некоторой "нескомпенсированности" площадей в зонах положительных и отрицательных значе1нийй uz, и величину полупериода —:nt- J u'z(т) dT = -тТ.—Z(t(3.11)Пt-тРисунок 3.2 - Хронограмма вертикальных пульсаций скоростиПодставляя в (3.6) выражения (3.9) и (3.10), (3.11), запишем:F (t) = n jdz0даne ~nTd r =(3.12)T-l= n j F (t)e-nTd T - f— иZ(t -T)e~nTdr.dz00Таким образом, пульсации субстанции F в Лагранжевом движении вследствие малых возмущений во времени по вертикальной координатеzопределяютсяследующим выражением:——^F (t ) = F (t ) - — J UZ(t - r)e~nTdT .—ZА_(3.13)Следует отметить, что интеграл в выражении (3.13) имеет размерность длины, которая характеризует величину среднего пульсационного отклонения частицы от осредненного ее положения на траектории.Домножая (3.13) на величину —(t), запишем:——юF (t ) UZ(t ) = F (t)uZ(t) - - z J UZ(t ) UZ(t - т) e~nT dT •—Zn_(3.14)106При статистической стационарности (эргодичности) пульсации u'z (t ), осредняя произведение, получаем:F (t)u'z (t) = 0(3.15)dFF (t ) u'z(t) = - — { u'z(t) u'z(t - t) e nT d r .dz 0(3.16)Выражение слева представляет собой осредненный секундный перенос субстанции F вертикальной пульсационной составляющей скоростью u'z (t ).
Используя закон Фурье-Фика, этот перенос субстанции F можно записать в следующейформе:F (t )uz (t) = sF ^ .dz(3.17)где s f — коэффициент вертикального турбулентного переноса субстанции F.Рассматривая выражение u'z(t ) u'z(t - t) как Лагранжеву ковариацию вертикальных пульсаций скорости и нормируя ее дисперсией u'z , получаем известноевыражение для нормированной корреляции вертикальных пульсаций скорости ввидеR( t) = uz(t) u 2 tuzt) .(3.18)Учитывая (3.17) и (3.18), из выражения (3.16) получаем:_____ XSF = u zjR (t) e~nTd r .(3.19)0Если в качестве субстанции рассматривать стандарт вертикальной пульсационной скорости <j z, получаем следующую зависимость для коэффициента турбулентного обмена:Xs =jR (t) e-nTd r .(3.20)0Полученное соотношение показывает, что для нахождения стандарта вертикальных турбулентных пульсаций скорости в разных точках по глубине потоканеобходимо знать распределение по глубине коэффициента турбулентного обме107на, частоты пульсаций n и корреляционной функции вертикальных пульсацийR(t).Коэффициент турбулентного обмена зависит от размера турбулентных образований и частоты турбулентных возмущений n.
Принимая во внимание размерность коэффициента турбулентного обмена s, которая согласно исходному соотношению (3.17), равнаИ -м2си, используя метод размерностей, можно записать, чтоs = 9 L^ n ,(3.21)где L л — Лагранжев макромасштаб турбулентности;ф — некоторый безразмерный коэффициент.Макромасштаб турбулентных вихрей, ответственных за процессы переносасубстанций в турбулентном потоке, часто определяют с использованием Эйлеровой пространственной корреляции Rx либо временной автокорреляции R(t):даL3 = jR(x) d x .(3.22)0Временной макромасштаб определяется аналогично:даТэ = j R(t ) d t ,(3.23)0где t — задержка по времени.Связь между масштабами LЭ и ТЭ легко находится с использованием гипотезы «замороженной турбулентности» Дж.
Тейлора [210], согласно которой вихревые структуры, перемещаемые осредненным течением на расстояние, равное своему продольному размеру, не претерпевают заметных изменений. При этом продольный пространственный масштаб любой вихревой структуры х связан с временным масштабом t простым соотношениемx = u t,где и — осредненная местная скорость.(3.24)108В этом случаеL3 = u J R(t ) dt = иТэ .(3.25)0Гипотеза "замороженной турбулентности", лежащая в основе установленногосоотношения между продольным пространственным и временными Эйлеровымимакромасштабами турбулентности, проверялась и подтверждена многократноразными исследователями для основной толщи потока за исключением тонкойпристенной зоны, составляющей не более 3%-5% от глубины потока [191].Исследования турбулентности речных потоков [6 8 , 89] показали, что масштабом турбулентности, определенным по корреляционным функциям на основании соотношений (3.22) и (3.23), соответствуют вихревые структуры, определяющие максимум частотно-энергетического спектра.
Энергонесущие вихри, согласно каскадной схеме турбулентности А.Н. Колмогорова, формируются осредненным течением, и скорость их перемещения в потоке определяется осредненнойместной скоростью и . По этой причине период прохождения энергонесущих вихрей относительно фиксированной точки у может зависеть от некоторого характерного периода Т0 и производных осредненной скорости, что отвечает принципулокального подобия турбулентных течений, сформулированному академиком Седовым [128]:Тэ = f (T0 , z ,и',и ", u "\..м(m)).(3.26)Эту функциональную связь можно представить в безразмерном виде следующим образом:Тэ = / zu''zu" zu'''zu"T0u ’ u"zu'zu (m) Лu (m-1)y(3.27)Используя для рассматриваемого речного потока известный степенной профиль скоростиuzumaxV11 JПвыражение для производной k-го порядка получим в виде:(3.28)109П-kU(k) = umaxП (П - 1)(П - 2)...(П - k )H.(3.29)При этом отношение производных двух соседних порядков определится следующим образом:Tj(k)U(k- 1 )Umax П (П - 1 )(П - 2 )...(П - k )z п -k7П-k+ 1 •Umax П (П - 1)(П - 2 )...(П - k + 1) — - П HС учетом (3.30) легко заметить, что безразмерные комплексы, входящие вправую часть критериального соотношения (3.27), не будут зависеть от z и кинематических характеристик течения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
