Диссертация (1141455), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Вполне возможно, чтопри переходе от одного участка границы к другому происходит изменение состояния вязкого подслоя. В этом случае при пространственной постановке потребуется другое более сложное аналитическое описание.Важно, чтобы было найдено описание процесса распада, так как эта фаза может занимать значительное время, что приведет к существенному изменению осредненного по времени значения скорости, флуктуаций скорости и периода Т.882.3 Уточнение расчетной модели течения в вязком подслоена гладкой границеСущественным недостатком расчетной модели течения в вязком подслое,предложенной Эйнштейном и Ли, рассмотренной в предыдущем параграфе, является гипотеза о постоянстве скорости u0 на внешней границе вязкого подслоя.
Однако очевидно, что скорость на внешней границе вязкого подслоя не является постоянной в условиях нарастания толщины вязкого подслоя, поскольку величинаскорости в подслое изменяется в зависимости от z (2.2). Линейное изменение скорости течения справедливо только для области течения толщинойv=5^11,5[140]. При торможении жидкости в области вязкого подслоя толщина, подслояувеличивается и может значительно превосходить указанную величину. Поэтомудля определения скорости на внешней границе подслоя используем логарифмический профиль скорости для течения на гладкой границе при к=0,4 [138], такимобразом, скорость на внешней границе подслоя оказывается равнойu*= 5,75 lg ^v+ 4,9(2.29)Из условия размерности следует, что толщина вязкого подслоя zв зависит отвремени его нарастания ^ и вязкости жидкости:ze = а л ! к ,(2.30)где а - коэффициент пропорциональности; tc - время, отвечающее рассматриваемому состоянию вязкого подслоя в процессе его развития и определяемое какчасть периода развития подслоя.Подставляя (2.30) в (2.29), запишем:^ = 5,75 lg 7 au w tcu*Vv(2.31)В момент разрушения подслоя происходит выброс массы жидкости из пристенной зоны в толщу потока и замещение её массой из верхних слоёв потока,движущейся турбулентно.
Это позволяет считать, что логарифмическое распреде89ление скоростей становится справедливым вплоть до твердой границы, и применение выражений (2.29) и (2.31) становится обоснованным. При этом граничные иначальные условия для нестационарного течения в вязком подслое можно записать следующим образом:t=0z >0u = u0(z)t0 > t > 0z=0u=0t0 > t > 0z = z^u = u0(z)(2.32)где t0 - продолжительность периода нарастания вязкого подслоя.Первое граничное условие определяет скорость в вязком подслое непосредственно после его разрушения. Согласно второму граничному условию скоростьна стенке равна нулю во все моменты времени. Третье граничное условие определяет скорость на верхней границе подслоя.
При этих граничных и начальных условиях решение уравнения (2 .8 ), выполненное методом интегральных преобразований Лапласа [103], может быть представлено в виде ряда:u = 1 _ : erfu0n= 12 4 Vt_ erf 2(n _ f r ; + z ,2 Vvt(2.33)2x _2где erfx = —j= I e n dn - интеграл вероятности (здесь х - аргумент функции); n Vn 0переменная интегрирования.Поскольку при n>1 члены ряда приближаются к единице и при разных знакахвзаимно компенсируются, выражение (2.33) упрощается к виду:u = 1 - erf 2^ ~ z + erfu,024vt2 Vvt(2.34)Решение содержит интеграл вероятности, значения которого табулированы[103]. Полученное решение позволяет определить мгновенное значение скоростив точке z вязкого подслоя в момент времени t.
Интегрирование уравнения (2.8) сучетом изменения скорости u0 по координате z затруднительно, поэтому процессразвития вязкого подслоя будем рассматривать как последовательную смену состояний с постоянными, но разными по величине значениями скорости u0. Такимобразом, для вычисления скорости u0 на внешней границе подслоя по уравнению90(2.31) необходимо определить две неизвестные величины - коэффициент а и период t0 .При подстановке уравнения (2.31) в (2.34) решение будет содержать такжедва неизвестных. Для их определения используем два условия. Первое условие совпадение производных скорости на границе вязкого подслоя при z=z^ найденных из решения (2.34) и логарифмического профиля скорости:du тdzdzРавенство производных означает плавное сопряжение профилей скорости ввязком подслое и в турбулентной области при z=z^Второе условие определяет осредненное за период времени t0 значение касательных напряжений на твердой границе:1*0jV0 (t )dt = ри*t 0(2.36)0Согласно первому условию продифференцируем выражение (2.34) по коорdz1-—динате z, учитывая, что — erf — 1= = ,---- e 4 v t .
Тогда скорость u0 в данный фикdz2ы vt 4nvtсированный момент времени tc есть величина постоянная. Тогда2-Гdu2 u 0z^ ие(2.37)Vdz j z=zЗаписывая производную скорости по z с использованием профиля (2.29)и*dz J z=zeвV dz(2.38)КвПриравнивая (2.37) и (2.38), согласно первому условию получаем:2 u 04 n v tc2zDe 4уси*К вПосле подстановки в это равенство (2.30) и (2.31), получаем:2,31g7aup ^ = ^2- ea 2 '4а(2.39)91Данное выражение справедливо для любого фиксированного момента времени, в том числе для tc=t0.Для использования второго условия запишем мгновенное значение касательного напряжения на дне канала т0 = ^f du^vd zпри z=0.
Дифференцируя решение (2.34),J z =0находим2\u(f du^V d z J z =0(2.40)л/n V tДальнейший анализ показал, что второе слагаемое в скобках уравнения (2.40)мало по сравнению с единицей, поэтому выражение (2.40) упрощается к виду:fdu^urV d z J z =04nvtПри этом мгновенное значение касательного напряжения на дне канала оказывается равнымт0u0v Vр4nt(2.41)Подставляя полученное выражение во второе условие (2.36), после интегрирования и преобразований, получаем:u*tn5ln7au*^Jt01(2.42)Совместное решение уравнений (2.39) и (2.41) при tc=t0 позволяет определитькоэффициент а и безразмерный параметр u^Vt0 " , характеризующий продолжительность периода нарастания вязкого подслоя:а=3,5и*л/ t 0(2.43)=13,7или(2.44)Подставляя полученные значения в (2.34), получим распределение скоростейв вязком подслое для каждого фиксированного момента времени tc:92t— = 5,75 lg 335 cи*t01+ erf—ztjL - erf 3,5 27,5 v]j L27,5vt0—z(2.45)Профили скорости в вязком подслое, рассчитанные для фиксированных значений tc/t0 представлены на рисунке 2.4.и/и*15< NV» r\101'У/ y( j_л\О0,54152lgu*zРисунок 2.4 - Профили скорости в вязком подслое1 - tjL = 0; 2 - ^ = 0,1; 3 - ^ = 0,25 ; 4 - ^ = 0,5; 5 - ^ = 110101010tОХарактерный период нарастания толщины вязкого подслоя t0 может бытьнайден из (2.44), при этом частота разрушения подслоя n = 1/10 оказывается равной:nv3= 5,3.
10- 3(2.46)и*Полученный результат сравнивался с экспериментальными данными. Однииз наиболее тщательных измерений периодичности в вязком подслое были выполнены С. Клайном совместно с Е. Карино и Р. Бродки, однако в этих опытахпериодичность вязких структур рассматривалась не во времени, а в пространстве,причем в направлении, перпендикулярном осредненному течению. Е.
Карино и Р.Бродки исследовали возникновение и распад вязких структур в подслое с помо93щью кинокамеры, движущейся со скоростью потока. Таким образом им удалосьзарегистрировать весь цикл возникновения, увеличения и распада отдельных вязких структур. В результате исследований была получена экспериментальная зависимость [157]t0 = A Re-1’75,(2.47)„Vd 4Vhr 4 .где Re = — = ----- (d - диаметр трубы); А - размерная постоянная.vvСравним (2.46) с (2.47), для этого преобразуем выражение (2.46) следующимобразом:n v = V2u *2nd2 =V2u2 V 2 d 2v81XRe 2nd2v ’где X - коэффициент гидравлического сопротивления.Поскольку для гладких труб (что соответствует условиям опытов Карино иБродки) коэффициент гидравлического сопротивления можно определить поА0,3164формуле тгБлазиуса XX= —т -т г, находим:Re 0 ’2 5nVu *28Re - 1 7 5 i - = 25 — Re-175.0,3164vvОтсюдаRe-■,« = _L ^ J _25 u* nd(2.48)Подставляя (2.48) в (2.47) и учитывая, что t 0 = 1/n , получим1,1 nV V- = An25 u2 n d2Таким образом, экспериментальная зависимость (2.47) приводится к следующему безразмерному видуn25 d 2u*A v(2.49)94Анализ экспериментальных данных Е.
Карино и Р. Бродки, полученных приd=5,08-10-2 и v=0,4-10-6 м2 /с, позволили установить, что ^«3,5-107 с. Подставляяэти значения в (2.49), находимnVVu*« 4,5 -10- 3(2.50)Полученное экспериментальное значение безразмерного комплекса, характеризующего частоту возмущений в вязком подслое, удовлетворительно согласуется с расчетным значением (2.46).Определим предельную безразмерную толщину вязкого подслоя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
