Диссертация (1141455), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

Таким образом, из приведенного выше следу­ет, что— = const .(3.31)T 0Это принципиально важное для понимания структуры турбулентного потокасоотношение показывает, что временной макромасштаб турбулентности для каж­дого конкретного течения не изменяется с расстоянием от дна. Это обстоятельст­во впервые было замечено Е.М.

Минским [111] и убедительно подтверждено экс­периментами Ж. Конт-Белло [102] в гладком прямоугольном канале. При этомпродольный пространственный макромасштаб турбулентности L изменяется поглубине потока пропорционально значению осредненной местной скоростиLэ - и .(3.32)Поскольку коэффициент турбулентного обмена (3.21) зависит от Лагранжевого пространственного макромасштаба турбулентности Ln, необходимо проана­лизировать изменение автокорреляционной функции и временного макромасшта­ба Тл по глубине потока, рассматривая движение крупномасштабного энергонесущего вихря с осредненной местной скоростью и х .

Если в данный момент вих­ревая структура находится в точке x(t ), то, учитывая малость продольных пуль­саций и X по сравнению с и х , можно считать, что в предшествующий моментвремени т она находилась на расстоянии их т от x(t ). В процессе перемещения110вихревой структуры от x(t - т) до x(t ) вертикальная пульсация скорости будетизменять свое направление и величину в зависимости от положения на траекто­рии.

Очевидно, что временным масштабом, определяющим эти изменения, будетвеличина n (частота крупномасштабных вертикальных пульсаций), при которыхuxдлина каждого цикла пульсаций вдоль х будет равна — . Положение вихревойnструктуры в момент времени t - т будет зависеть от числа циклов пульсаций,размещающихся в пределах отрезка оси х, длина которого равна и т . В общемслучае число циклов является дробным, поэтому при симметричности пульсацийразного знака степень корреляции u'z (t)u'z (t - т) зависит от положения вихревойструктуры на траектории в моменты времени t и t - т , которое будет зависеть оти.отношения величин uxт и, то естьxnf \Я(т) = jит= j (пт).и(3.33)Vn JЭто соотношение означает, что Лагранжева автокорреляция вертикальныхпульсаций определяется величиной сдвига по времени т и зависит от характернойчастоты пульсаций n.

Изменение R ^ ) по вертикали будет определяться при этомтолько изменением по z характерной частоты пульсаций n, если оно в действи­тельности имеет место.Учитывая выражения (3.33) и (3.29), из (3.21) находим. даф^ n = u' z j R(nr) в~птd r0или иначеt2 даф1}п = — j R (n t) e птd t .n 0(3.34)Корреляционная функция при т = 0 равна 1 и при т = да стремится к нулю,поэтому интеграл имеет положительное значение и не зависит от z .111При этом из (3.34) можно выразить стандарт вертикальных пульсаций в виде:■sU2 = (р0Ln = (p0uTn ,(3.35)где ф0 — коэффициент, включающий ф и значение интеграла.Таким образом, для того чтобы найти изменение стандарта вертикальныхпульсаций по глубине потока необходимо знать изменение локальной скорости и поглубине и определить изменение по глубине характерной частоты n.

С этой цельюпроизведем дифференцирование по z уравнения (3.2):д ( dF Л-d [- n( F - F )],dz dtdz(3.36)в результате чего получаем:dn—d—d= - — (F - F ) - n — (F - F ) .dzdzdz v dt j(3.37)Полагая скорость изменения субстанции F вдоль направления z неизменнойвследствие небольшого размаха вертикальных перемещений, из (3.37) запишем:dn—d—— (F - F ) + n - ( F - F ) = 0.dzdz(3.38)Полученное уравнение (3.38) содержит два неизвестных: n и (F - F ). Далеебудем считать, что отклонение значений субстанции F от среднего значения F яв­ляются малыми и далее, основываясь на этом, используем известное в математикеd (F - F )положение о том, что при малых значениях производная —------- - пропорциоdzнальна значению самой функции (F - F ):d(F - F ) = —(F - F ),dzm(3.39)где —-----коэффициент пропорциональности с размерностью длины.mС учетом (3.39) выражение (3.38) запишется в следующей форме:dn— n—— (F - F ) ---- (F - F ) = 0.dzmУчитывая, что (F - F )ф0, получаем:(3.40)112dnndzm(3.41)Разделяя переменные (при m = const) запишем:dnf* = n mfd z .1(3.42)Интегрируя, получаем следующую зависимость:zln n = ------+C ,m(3.43)которая может быть записана в виде:n = C expz(3.44)v mугде С — постоянная интегрирования.Принимая при z = 0 n = n 0 и вводя глубину потока Н, решение (3.44) представим в виде:(3.45)n = n0 expVугде k 2 — безразмерный коэффициент, равный H .mПодставляя полученное решение (3.45) в (3.35), запишем:и'2 = (р—Tn0 expv(3.46)k2 - '2 H уДалее, используя степенной профиль скоростии=—(3.47)Hузапишем:П9Uz = p0Tn0UnvHyexpk2—2H у(3.48)Вводя в рассмотрение динамическую скорость и * и учитывая, что и max и и *для рассматриваемого потока связаны однозначно [141], хотя и по-разному длятечений в трубах и широких каналах, запишем (3.48) в виде:113лu'z= Au(3.49)иA = p0Tn0-jm^xи(3.50)гдеявляется величиной безразмерной.Полученные зависимости (3.49) и (3.50) характеризуют изменение интенсив­ности вертикальных турбулентных пульсаций скорости по глубине плоского по­тока с учетом ограничений, указанных выше и использованных в настоящем ана­лизе.

Зависимости (3.49) и (3.50) содержат неопределенные величины, которыедля практического применения полученных зависимостей должны быть опреде­лены. Для их определения могут быть использованы представления об изотропиитурбулентных пульсаций на границах речного потока:(3.51)(3.52)Следует отметить, что условие (3.52) есть скорее следствие обращения в нульпульсационных составляющих скорости и может трактоваться как условия ихизотропности лишь формально. Вблизи поверхности потока вследствие дробления ичастичного вырождения крупных вихрей по мере их подъема к поверхности из при­донной области, где они зарождаются, турбулентность по своим свойствам при­ближается к изотропной, что подтверждается данными измерений в напорных ибезнапорных потоках [115, 189].Принимая во внимание то очевидное обстоятельство, что все составляющиетурбулентных пульсаций скорости имеют единую физическую природу, можнопредполагать, что и зависимости, характеризующие их распределение в толщеречного потока, должны быть качественно сходными, отличаясь лишь значениямичисловых коэффициентов.

Это позволяет дополнительно к (3.49) записать сле­дующие соотношения:114(3.53)f Z„ ЛП3ff7Z\(3.54)где А, В, С, П 1, П2, П3, k1, k2, k3 — некоторые коэффициенты, требующие специ­ального определения.Следует отметить, что показатели степени П 1, П2, П 3 должны быть одинако­выми, поскольку характеризуют одно и то же распределение локальных продоль­ных скоростей по глубине прямолинейного равномерного потока. Как было пока­зано выше, значение показателя степени определяется для широких потоков ко­эффициентом гидравлического сопротивления X [54]:П1 = П2 = П 3 = П = 1,35л/1.Вертикальные пульсации скорости — = 0 при(3.55)z= 0, что определяется отсут­ствием возможности для перемещения жидких частиц ортогонально к дну.

Этообстоятельство отражается полученной зависимостью (3.49). Следовательно, удна пульсации иХХ = 0 и и'у = 0, что следует из (3.52).Для обеспечения этого условия необходимо, чтобы показатель степени П былвеличиной положительной:П >0.(3.56)При выполнении условий (3.56) зависимости (3.49), (3.53) и (3.54) математи­чески аналогичны кривой Пирсона III типа, которая, как известно, по своейформе имеет максимум, сдвинутый в сторону начала координат, плавно возрас­тает от нуля до максимума, являясь выпуклой на участке роста и плавноуменьшается от максимума, приближаясь к нулю приz^ да.Исследуем на максимум функцию (3.49) для вертикальных пульсаций скоро­сти:115d\ uПП^ , z^ d f zлdAu * exp ko+exp ^ k2 —vHy dyV 2 H J d y VHv 2H jr2dzz П-1= Au* exp - k2— П П +VH J VV 2 HJ Hhj(3.57)exp ' - k2- 'v 2 HjИли окончательно:\Az ЛAu *П - k2 — exp2H JVH J Vvдл\u 2dz(3.58)Обозначая вертикальную координату точки максимума пульсаций u'z как z m2,запишем условие равенства нулю производной в точке максимума в виде сле­дующего уравнения:z м2Au*П-1,vHП - k2 ^2Hexp - kk")V 2H(3.59)=0zУчитывая, что zu2 ф 0 и П < 1 , находим, что при expVП -к 2 ^ = 02Hk 2H Jф0(3.60)илиk2 =HПzм2(3.61)Аналогично могут быть получены значения k1 и k3, входящие в выражения(3.53) и (3.54):Hk1 = Пzм1(3.62)Hzм3(3.63)k3 = ПОбразование максимума вертикальных пульсаций в некоторой точке потока свертикальной координатой zm2, которую необходимо определить, обычно связы­вают с демпфирующим влиянием дна, которое препятствует развитию вертикаль­ных перемещений масс жидкости, за счет сил реакции дна, действие которых116ощущается потоком на расстоянии z m2 от дна.

Уменьшение интенсивности про­дольных пульсаций скоростиu 'x сприближением к дну обычно связывают с воз­растающим действием молекулярной вязкости. Таким образом, для нахождениявеличин k1, k2 и k3 необходимо определить вертикальную координату точки мак­симума соответствующих составляющих пульсаций скорости.Представляется правильным предположить, что максимум продольных и по­перечных пульсаций скорости будет находиться вблизи верхней границы вязкогоподслоя, поскольку только вязкие пристеночные эффекты могут противодейство­вать развитию турбулентных пульсаций скорости, ориентированных параллельнотвердой границе. Толщина вязкого подслоя 8 в обычно характеризуется безразмерU*0 ^b , величина которого, по данным разных авторов, изменяным комплексом ——Vется в широких пределах (от 10 до 70) [140].

Выполненный анализ [55] показал,что доля вязких напряжений остается заметной на значительно большем удаленииот твердой границы в пределах буферной зоны, безразмерная толщина которойможет достигать2 0 0.Полученные выше выражения (3.49), (3.53), (3.54) вместе с соотношениями(3.61), (3.62), (3.63), характеризуют лишь качественный характер изменения стан­дартов турбулентных пульсаций скорости в поперечном сечении потока.Для того чтобы использовать эти зависимости для стандартов пульсаций ско­рости, необходимо установить неизвестные коэффициенты А, В, С и k1, k2, k3, вхо­дящие в найденные зависимости.Следует отметить, что все зависимости для стандартов пульсаций скоростиуказывают на прямую пропорциональную зависимость стандартов от динамиче­ской скорости, на что впервые обратил внимание Б.А.Фидман [137].zПоскольку, как отмечалось, положение точек максимумов H точно не из­вестно и граничные значения стандартов также заметно варьируют, нахождениенеизвестных коэффициентов производилось путем их подбора из условия наи­лучшего соответствия надежным базам данных по распределению стандартовпродольных и вертикальных пульсаций в открытых потоках, трубопроводах и в117пограничных слоях.

Характеристики

Список файлов диссертации