Диссертация (1138564), страница 16
Текст из файла (страница 16)
С учетом данноймодификации задача игрока, из решения которой находится выбор прилагаемых имусилий, выглядит следующим образом:max{ + ( |, ) − ( )}. ≥0(1)В дальнейшем предполагается, что результат («выпуск») команды формируется талантами и усилиями членов команды согласно формуле = ∑=1( + + ) + ,(2)где λ, μ > 0. Такое предположение означает, что талант имеет большее влияние нарезультат при более высоком уровне усилий игроков, и наоборот; оно выглядитобоснованным ввиду того, что талант создает предпосылки достижения высокихрезультатов, но для реализации этих предпосылок необходимы усилия.Используемая функциональная форма допускает как независимый друг отдруга вклад в результат таланта и усилий игроков, так и взаимную обусловленностьотдачи на эти факторы Данное предположение используется в (Dewatripont et al.,1999, и формула (1) является обобщением предложенной в данной статье модели наслучай нескольких участников.
Отметим, что в более ранней работе (Holmstrom,1982) была рассмотрена только линейная форма, в которой отсутствовалопроизведение таланта и усилий; такое предположение было признано в (Dewatripontet al., 1999) чрезмерно ограничительным (поскольку в таком случае отношениесигнала относительно таланта к шуму не зависит от усилий) и в контексте даннойработы не позволяет учесть наблюдаемую в футболе зависимость отдачи на талантот усилий игрока.
Наоборот, если ограничиться только мультипликативным членом,то во всех случаях возникает устойчивое равновесие с нулевым уровнем усилий,когда достигаемые результаты объясняются одной лишь удачей. Принимаемое далеепредположение (4) о том, что коэффициент достаточно велик, исключает такоеравновесие.Предполагается, что участники (точнее, их таланты) случайным образом инезависимо друг от друга извлекаются из генеральной совокупности с нормальным- 70 -распределением ~N(̅ , σ2 ), параметр ε~N(0, σ2ε ) – случайный шум, не зависящийот уровней таланта игроков θ1 , … , θn .В сделанных предположениях результат также распределен по нормальномузаконусоследующимипараметрами:~N (̅ ∑=1 + ̅ + ∑=1 , σ2ε +2σ2 ∑=1( + ) ).
Данный факт позволяет записать условия первого порядка длярешенийзадач(1) ( |, ) = ( ,вявном̂ (|)̂ (|)виде.Начнемстого,что,) – производная по усилиям ожидаемого значенияталанта равна ковариации таланта с отношением правдоподобия (при проверке этогофакта используется тот факт, что многомерное отношение правдоподобия имеет̂нулевое мат. ожидание ( ( ̂ ) = 0). В нашем случае нетрудно проверить, что ( ,̂ (|)̅ )(+ )2(+) = 2 ∑̂ (|)22=1( +) +(доказательствоэтогофактаПриложение). Кроме того, = ̅ ∑=1 + ̅ + ∑=1 , так чтовынесенов = +̅.
Таким образом, подстановка распределения в условия первого порядка посленеобходимых вычислений приводит к следующему результату:2̅(+)(+ )′( + ̅ ) + 2 ∑ ( +) 2 +2 = ( ), = 1, … , =1(3)(напомним, что в равновесии ожидаемые значения усилий участников должнысовпадать с оптимальными, определяемыми из задач (1);14 далее ради упрощенияобозначений эти уровни усилий обозначаются просто , = 1, … , .Уравнения (3) могут иметь несколько решений, поскольку левая часть зависит от ,немонотонным образом (см. Рис.
4; правая часть с учетом сделанных предположенийявляется монотонно возрастающей функцией ). Чтобы обеспечить единственностьи устойчивость равновесия, примем предположение>, √(4)при выполнении которого левая часть (3) монотонно убывает по ≥ 0. Данноеусловие выполняется при наличии достаточно большого числа участников команды,14Обратим внимание на то, что второе слагаемое в левой части формулы (3),представляющее ( ,̂ (|)̂(|)), уменьшается с ростом . Данное обстоятельство связано стем, что с ростом числа участников уменьшается чувствительность оценки таланта отдельновзятого участника к изменениям общего результата.- 71 -и/или когда талант участников варьируется в достаточно широких пределах посравнению с дисперсией шума – это предположение разумно, поскольку данноеусловие необходимо для наличия возможности выявить талант игрока рынком.Рисунок 4.
График предельных выгод игрокаПредельныевыгодыУсилияЗаметим, что уравнения (3) для уровней усилий одинаковы для всех игроков,вследствие чего можно рассматривать симметричные равновесия, в описаниикоторых индекс участника можно опустить.Приведем несколько результатов сравнительной статики, на основе которыхбудут сформулированы гипотезы для эмпирической части диссертации. Наибольшийинтерес для нас представляет влияние на достигаемые результаты двух ресурсовколлектива – таланта и про-социальной мотивации его участников.
В первом случаеталант влияет на результаты по двум каналам – непосредственно и через уровеньусилий (в равновесии), который в свою очередь может зависеть от таланта. В случаепро-социальной мотивации ее воздействие на результат опосредовано равновеснымуровнем усилий.Следующая лемма характеризует косвенный канал влияния таланта и просоциальной мотивации через уровень усилий.Лемма 1.
Равновесный уровень усилий увеличивается с ростом среднегоуровня таланта ̅, социального капитала и уменьшается с ростом n.Доказательство. Левая часть условия первого порядка возрастает по среднемууровню таланта ̅ и является убывающей функцией равновесного уровня усилий всилу сделанного нами предположения о единственном равновесии, тогда как правая- 72 -часть условия первого порядка ′ () не зависит от ̅ и является возрастающейфункцией равновесного уровня усилий .
Следовательно, равновесный уровеньусилий возрастает по ̅. Иными словами, чем более талантливы в среднем игрокикоманды, тем больше вклад усилий в результат, и тем выше равновесный уровеньусилий.Аналогично, левая часть условия первого порядка возрастает по параметрусоциального капитала и является убывающей функцией равновесного уровняусилий . Следовательно, равновесный уровень усилий возрастает по . То есть,чемсильнеепро-социальнаямотивацияигрокаиегонематериальнаязаинтересованность в успехе команды, тем, при прочих равных, выше усилия,которые он прилагает для достижения командного результата.Левая часть условия первого порядка также убывает по количеству участниковкоманды n и является убывающей функцией равновесного уровня усилий .Следовательно, равновесный уровень усилий убывает по .
То есть, чем большеигроков в команде, тем меньше вклад отдельного игрока в результат команды, и темменее чувствительна оценка таланта игрока рынком к его усилиям. ∎Интуитивно это вывод объясняется тем, что с ростом числа участниковпроисходит «диссипация» сигнала о таланте отдельно взятого игрока, которыйможноизвлечьизкомандногорезультата.Следовательно,материальнаясоставляющая стимулов при этом ослабевает (а моральная остается без изменения),и уровень усилий снижается. Из доказанной леммы следует, что более высокийталант не ведет к снижению усилий, как это можно было бы предположить (болееодаренный участник достигает необходимых результатов меньшими усилиями), аусиливает стимулы к приложению усилий, поскольку эффект мультиплицируетсяталантом и, следовательно, повышает материальную отдачу на усилия в терминахкапитализации участника.
В то же время этот эффект, как нетрудно видеть,ослабевает с ростом числа участников вследствие упомянутой выше диссипациисигнала.Часть влияния таланта на усилия опосредована также про-социальноймотивацией – более одаренный индивид сознает, что его усилия внесут большийвклад в результат команды, и при одних и тех же издержках будет прилагатьбольшие усилия для этой цели.
Важно, что данный эффект не зависит от числаучастников команды.- 73 -Следующий результат свидетельствует о том, что талант и про-социальнаямотивация игроков, рассматриваемые по отдельности, способствуют достижениюболее высоких результатов команды.Теорема 1. Ожидаемый выпуск команды возрастает по среднему уровнюталанта ̅ и уровню социального капитала .Доказательство. Из равенств = (∑=1( + + ) + ) = (̅ + ∗ + ̅) следует, что при неизменных усилиях ожидаемый выпуск возрастает по ̅(прямой эффект). В свою очередь, равновесный уровень усилий согласно лемме 1также возрастает по ̅, а ожидаемый выпуск увеличивается с ростом усилий, так чтопрямой и косвенный эффекты роста таланта оказываются однонаправленными иповышают ожидаемый результат.Что касается про-социальной мотивации, то она не оказывает прямого влияния(при неизменных усилиях) на результат, но повышает, согласно Лемме 1, уровеньусилий, а тем самым, косвенным образом, и ожидаемый результат.
∎Обратимся теперь к анализу совместного воздействия таланта и просоциальной мотивации на ожидаемый результат команды. Согласно следующейтеореме, при определенных условиях на функцию индивидуальных издержек и длядостаточно большого числа участников, два указанных ресурса команды дополняютдруг друга. Чтобы сформулировать необходимый результат, представим себе, чтоусилия участника в гипотетической ситуации получают вознаграждение заединицу усилий.
В таком случае функция прилагаемых усилий в зависимости отвознаграждения = ̂ () определяется из уравнения ′ (̂ ()) = , так что ̂ () =( ′ )−1.Теоремавознаграждению2.Если̂ ′ ()̂ ()эластичностьприлагаемогоуровняусилийпонеубывающая,15 то для достаточно большого числа2участников n выполнено неравенство ̅ > 0.Доказательство. Вновь используя равенство = (∑=1( + + ) +) = ̅ + ( + ̅) ∗ , имеем2̅ 152 = + ( + ̅) ̅.(5)Данное условие выполняется для квадратичной функции издержек с постояннойэластичностью, и может быть ослаблено до ′ () ′′′ ()( ′′ ())2- 74 -< 2.Согласно Лемме 1, первое слагаемое в равенстве (5) имеет положительныйзнак. Для того, чтобы определить знак выражения в целом, необходимо выяснитьзнак смешанной производной равновесного уровня усилий по среднему уровнюталанта и социальному капиталу.Предполагаядостаточнобольшим,аппроксимируемуравнение(3)следующим: ′ ( ) ≈ ( + ̅) = , так что = ̂ (( + ̅ )).
В таком случае̂ (( + ̅))(( + ̅)) ̂ (( + ̅)) ∗ 2 ̂ (( + ̅))==+ ( + ̅)̅̅̅= ̂ ′ () + ̂ ′′ ().Из предположения о неубывающей эластичности прилагаемого уровня усилий повознаграждению имеем:′(̂ ′ () + ̂ ′′ ())̂ () − [̂ ′ ()]2̂ ′ ()() => 0,̂ ()()2(̂ ′ () + ̂ ′′ ())̂ () − [̂ ′ ()]2 > 0,(̂ ′ () + ̂ ′′ ())̂ () > [̂ ′ ()]2 > 0.Отсюда следует, что смешанная производная равновесного уровня усилий посреднему уровню таланта и социальному капиталу имеет положительный знак, и обаслагаемых интересующего нас выражения являются положительными. ∎2.3.2. Канал 2: способность игроков к координации усилийКак указывалось выше, помимо прямой заинтересованности в командномрезультате, социальный капитал в футбольной команде также может проявляться вготовности и способности к координации усилий во время игры, причем данныйфактор имеет особое значение в случае национальных сборных, где у игроков нетвремени добиться «заученной» сыгранности в ходе длительных совместныхтренировок.Мыдополнительногоучитываемпараметратакую ≥ 1,способностькоторыйвключениемявляетсявмодельмультипликатороминдивидуальных усилий участников за счет более эффективной координациисовместных действий: = ∑( + ( + )) + =1- 75 -(6)Тогдаусловиепервогопорядкаприсохранениипредположенияоединственности и симметричности равновесия будет выглядеть следующим образом:( + ̅ ) +( + ̅)( + )2= ′ ( ).2 ∑=1( + )2 + 2(7)Анализ сравнительной статики по применительно к уравнениям (7) позволяетвыяснить, каким образом еще одна разновидность социального капитала,отраженная этим параметром, влияет на достигаемый результат, а также на отдачуна талант участников.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
