Диссертация (1137359), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

1.16 изображено решение невозмущенной задачи, т.е.решение задачи обтекания плоской пластины без неровностей. Какизвестно [44] (см. также (5) на стр. 13), ее решение имеет видyU (x, y) = f 0 √ ,ε xεy 0yy√ f√V (x, y) = √−f √.2 x ε xε xε x(1.131)Из сравнения рис. 1.18 и 1.16 видно, что малые неровности наповерхности пластины вносят возмущения в течение в пограничномслое. Также отметим, что из сравнения этих рисунков (см.

такжерис. 1.17) может показаться что в исследуемой нами задаче стоитусловие проницаемости на нижней границе, что не верно, т.к. какуже было сказано ранее, пограничный слой в нашей задаче имеетдвухпалубную структуру (см. рис. 1.2 на стр. 32), и под классическим пограничным слоем, изображенным на рис. 1.18 находитсятонкий пограничный слой, см. рис. 1.15 в предыдущем параграфе.86a)b)Рисунок 1.16 – Поле скоростей течения вдоль ровной пластины, описываемоеформулами (1.131): a) при ε = 1; b) при ε = 0.187Рисунок 1.17 – Поле скоростей течения вдоль пластины c неровностями приx = 1, ε = 0.1, t = 0.8 (увеличенный погранслой)Рисунок 1.18 – Поле скоростей течения вдоль пластины c неровностями приx = 1 и x = 5, параметре ε = 0.1, t = 0.888Глава 2Задача обтекания малой локализованнойнеровности на пластине§ 1.Постановка задачиМы рассматриваем течение вязкой несжимаемой жидкостивдоль неподвижной полубесконечной пластины при больших значениях числа Рейнольдса Re.

Набегающий поток предполагаетсяплоскопараллельным и имеющим скорость U0 = (1, 0), см. рис. 2.1.Пластина расположена вдоль положительной части оси Ox, а наее поверхности S в точке x0 имеется локализованная (уединенная)малая неровность типа горбика, скачка или излома в виде угла.Поверхность S задается следующим равенством:ys = ε4/3 µ(ξ),(2.1)1x − x0,аε=√— малый параметр.εReКак было написано выше, мы рассматриваем случаи, когда поверхность пластины (т.е. функция µ(ξ)) имеет одну из следующихформ:где ξ =1. в точке x0 поверхность пластины имеет излом типа малогосглаженного угла, см.

рис. 2.1 а), например,−eξµ(ξ) = tan (α) ξ;1 − eξ(2.2)2. в точке x0 функция µ имеет вид сглаженной ступеньки, см.рис. 2.1 б), например,µ(ξ) = Aeξ,1 + eξ(2.3)89где A — величина скачка;3. в точке x0 на поверхности пластины присутствует горб, см.рис. 2.1 в), например,µ(ξ) = A exp − ξ 2 ,(2.4)где A — высота горба.а) угол: µξ→−∞ → 0,б) ступенька: µξ→−∞ → 0,в) горб: µξ→−∞ → 0,∂µ → const;∂ξ ξ→+∞∂µ →0,µ→ const;ξ→+∞∂ξ ξ→+∞∂µ →0,µ→ 0;ξ→+∞∂ξ ξ→+∞Рисунок 2.1 – Типы рассматриваемых неровностей, U0 = (1, 0), x0 > 090Поставленная задача описывается системой уравнений Навье–Стокса и неразрывности: 22∂u∂p∂u∂u∂uu+v=−++ 2 ,2∂x∂y∂x∂x∂y 2∂v∂p∂v∂ v ∂ 2v+v=− ++ 2 ,u2∂x∂y∂y∂x∂y∂u ∂v+= 0,∂x ∂y(2.5)где U = (u, v) — вектор скорости, а p — давление.Система уравнений (2.5) дополняется граничными условия прилипания к поверхности S:Uy=ysx>0=!0,0(2.6)и граничными условиями согласования с внешним потоком∂u = 0,∂y y=0x<0= 0, Uv y=0x<0→y→±∞!1, U→0x→−∞!1.

(2.7)0Похожая задача была рассмотрена в работах [57; 79; 86; 95]для других масштабов и других типов внешних течений, подробнеесм. во Введении стр. 24–26.§ 2.Формальное асимптотическое решениеВведем погранслойные переменные (характерный масштаб):θ=y,ε4/3yτ= ,εξ=x − x0.ε(2.8)91Будем искать решение задачи (2.5), (2.6), (2.7) в следующем виде:√ u(x, y) = f 0 τ / x +X iIIIIII+ε 3 ui (x, ξ, θ) + ui (x, ξ, τ ) + ui (x, ξ, y) ,i>1v(x, y) =Xi3ε viI (x, ξ, θ)+viII (x, ξ, τ )+viIII (x, ξ, y)(2.9),i>2p(x, y) = p0 +Xiε 3 pIi (x, ξ, θ)+pIIi (x, ξ, τ )+pIIIi (x, ξ, y),i>1√ где f τ / x — функция Блазиуса, см.

(4) на стр. 13.Рисунок 2.2 – Двухпалубная структура пограничного слоя на примере задачиобтекания поверхности в форме углаКак будет показано ниже, формальное асимптотическое решение рассматриваемой задачи (2.5), (2.6), (2.7) имеет двухпалубнуюструктуру, подобную структуре, полученной в задаче обтекания пластины с периодическими неровностями, см. Главу 1. Как обычно,верхние индексы у функций в разложении (2.9) означают номер пограничного слоя, в котором они определены: I — тонкий пограничный слой («нижняя палуба»), II — классический пограничный слой(«верхняя палуба») и III — область внешнего течения, см.

рис. 2.2.Теперь нам надо ввести следующее определение (аналогичное Определению 1.3 из Главы 1, см. стр. 33).92Определение 2.1. Пусть N ∈ Z+ достаточно большое. Тогда(i) пограничной функцией в тонком пограничном слое I называется гладкая функция, убывающая как |θ−N | при θ → ∞;(ii) пограничной функцией в классическом пограничном слое I называется гладкая функция, убывающая как |τ −N | при τ → ∞.Для построения формального асимптотического решения нампотребуются Леммы 1.1–1.3 из Главы 1, см. стр. 37.Основным результатом данной главы является следующая теорема.Теорема 2.1* .

Пусть x > δ > 0. Тогда формальное асимптотическое решение задачи (2.5), (2.6), (2.7) имеет вид√2/3u(x, y) = f 0 (τ / x) + ε1/3 uI1 (x, ξ, θ) + uII),1 (x, τ ) + O(εv(x, y) = ε2/3 v2I (x, ξ, θ) + v2II (x, ξ, τ ) + O(ε),(2.10)p(x, y) = p0 + ε2/3 pII2 (x, ξ, τ ) + O(ε),√где θ = y/ε4/3 , τ = y/ε, ξ = (x − x0 )/ε, а f (τ / x) — функцияБлазиуса (см. (4) на стр. 13).Функцииf 00 (0)∗I∗III u1 = u1 + θ √ ,v2 = v2 + v2 ,(2.11)τ =0xописывающие течение в тонком погранслое, являются решениемсистемы уравнений пограничного слоя Прандтля с индуцированным давлением:∗II ∗∂u∂p∂ 2 u∗1∂u121∗∗u1+ v2=−+,∂ξ∂θ∂ξ τ =0∂θ2(2.12)∂u∗1 ∂v2∗+= 0,∂ξ∂θ*См. Замечание 1.1 на стр.

35.93f 00 (0)u∗1 θ=µ = µ √ , v2∗ θ=µ = 0,x∗f 00 (0)∂u1 ∂u∗1 → √ ,→ 0,∂θ θ→∞∂ξ θ→∞x00∗f(0)∂u1u∗1 ξ→−∞ → θ √ ,→ 0.∂ξ ξ→∞x(2.13)Функция v2II , описывающая течение в классическом погранслое, является решением уравнения типа Рэлея 2 II√2 II000√∂vf(τ/∂vx)22f 0 (τ / x)+− v2II= 0,22∂ξ∂τxII v2τ =0(2.14)II ∂v2 = lim v2∗ , v2II τ →∞ → 0, v2II ξ→−∞ → 0,→ 0. (2.15)θ→∞∂ξ ξ→∞Давление pII2 определяется из следующего выражения:√ 00II√τ/fx∂pII∂v22√.= f0 τ/ x− v2II∂ξ∂τx(2.16)Замечание 2.1. Если сделать замену вертикальной переменной, выравнивающую границу ŷ = y − ys = y − ε4/3 µ(ξ), то асимптотическоерешение (2.10) примет следующий вид:√ u = f 0 τ̂ / x + ε1/3 uI1 (x, ξ, θ̂) + uII(x,ξ,τ̂)+ O(ε2/3 ),1v = ε2/3 v2I (x, ξ, θ̂) + v2II (x, ξ, τ̂ ) + O(ε),p = p0 + ε2/3 pII2 (x, ξ, τ̂ ) + O(ε),где τ̂ = ŷ/ε = τ − ε1/3 µ, θ̂ = ŷ/ε4/3 = θ − µ.

Краевая задача (2.12),(2.13) примет следующий вид: ∂u∗1∂pII∂ 2 u∗1∂u∗1 ∂µ ∂u∗12∗∗,−+ v2=−+u1∂ξ∂ξ ∂ θ̂∂ξ τ̂ =0∂ θ̂∂ θ̂2∂u∗1 ∂µ ∂u∗1 ∂v2∗−+= 0,∂ξ∂ξ ∂ θ̂∂ θ̂(2.17)94u∗1 θ̂=0 = v2∗ θ̂=0 = 0,∂µ f 00 (0)f 00 (0)∂u∗1 ∂u∗1 √ ,→→ √ ,(2.18)∂ξ θ→∞∂ξxx∂ θ̂ θ̂→∞f 00 (0)∂u∗1 f 00 (0) ∂µ √u∗1 ξ→−∞ → θ̂ √ ,→.∂ξ ξ→∞xx ∂ξ ξ→∞√ 0fτ̂/x√Функция uII, а краевая задача (2.14), (2.15) и выра1 = µxжение для давления (2.16) не изменят свой вид.Доказательство Теоремы 2.1. Подставим разложение (2.9) в систему уравнений (2.5), соберем коэффициенты при одинаковых степенях параметра ε и приравняем их к нулю.1.

Функции, описывающие течение вне погранслоев.Пусть τ → ∞ и θ → ∞. Тогда в силу Определения 2.1 все функции сверхними индексами I и II устремятся к нулю, а f 0 τ →∞ → 1, см. (4)на стр. 13. Тогда мы получим уравнения на функции в области внепограничных слоев (в области III, см. рис. 2.2).При ε−2/3 имеем:∂pIII∂uIII11 ∂ξ + ∂ξ = 0,(2.19)III∂u 1 = 0.∂ξIIIIIIIIIСледовательно, pIII1 = p1 (x, y) и u1 = u1 (x, y).При ε−1/3 имеем:∂uIII∂pIII2+ 2 = 0,∂ξ∂ξ III∂v2= 0,∂ξ∂uIII2= 0.∂ξ(2.20)IIIIIIIIIIIIIIIСледовательно, pIII2 = p2 (x, y), v2 = v2 (x, y) и u2 = u2 (x, y).95При ε0 имеем:∂pIII∂pIII∂uIII03++ 3 = 0,∂x∂ξ∂ξ III∂v3III∂p0+= 0,∂y∂ξ∂uIII3= 0.∂ξ(2.21)IIIИз последнего уравнения системы (2.21) следует, что uIII3 = u3 (x, y).IIIВ силу того, что pIII0 = p0 (x, y), получаемpIII3∂pIII= − 0 ξ + C1 (x, y),∂xv3III∂pIII= − 0 ξ + C2 (x, y).∂yIIIОчевидно, что функции pIII3 и v3 должны быть ограниченыпри ξ → ±∞.

Следовательно, получаем следующие равенства∂pIII0= 0,∂x∂pIII0= 0.∂yIIIIIIОтсюда следует, что pIII0 = const, и, следовательно, v3 = v3 (x, y),IIIpIII3 = p3 (x, y).При ε1/3 имеем аналогичную систему уравнений:∂pIII∂pIII∂uIII∂uIII1414+++= 0,∂x∂ξ∂x∂ξ III∂v III∂p1(2.22)+ 4 = 0,∂y∂ξ∂uIII∂uIII1+ 4 = 0.∂x∂ξДействуя по аналогии и учитывая полученные выше результаты, поIIIлучаем, что uIII= uIII= const, uIII= uIII11 (y), p144 (x, y),IIIIIIIIIpIII4 = p4 (x, y), v4 = v4 (x, y).96При ε2/3 имеем аналогичную систему:∂pIII∂uIII∂uIII∂pIII225+++ 5 = 0,∂x∂x∂ξ∂ξ III∂v2III ∂v5III∂p2++= 0,∂y∂x∂ξ∂v2III ∂uIII∂uIII25++= 0.∂y∂x∂ξ(2.23)IIIАналогично получаем, что uIII= uIII= pIII55 (x, y), p55 (x, y),IIIv5III = v5III (x, y), а функции v2III , uIII2 , p2 (не зависящие от ξ) являютсярешением следующей системы уравнений:∂pIII∂uIII2+ 2 = 0,∂x∂x III∂p2∂v2III(2.24)+= 0,∂y∂x∂v2III ∂uIII+ 2 = 0.∂y∂xПродифференцируем первое уравнение системы (2.24) по y, а второе — по x, а затем вычтем из второго первое, и используя третьеуравнение системы (2.24), получим уравнение на функцию v2III в области x > 0, y > 0:∂ 2 v2III ∂ 2 v2III+= 0.(2.25)∂x2∂y 2Как показано далее (см.

(2.34)), граничные условия для функции v2IIIимеют вид v2III y=0 = 0, v2III y→∞ → 0, v2III x=0 = 0. Очевидно, что стакими граничными условиями уравнение (2.25) имеет лишь тривиальное решениеv2III = 0.(2.26)IIIIIIСледовательно, из (2.24) получаем, что uIII2 = u2 (y), p2 = const.972. Функции, описывающие течение в классическом погранслое.Пусть θ → ∞. Тогда в силу определения 2.1 функции с верхним индексом I устремятся к нулю. Тогда мы получим уравнения на функции, описывающие течение в классическом пограничном слое (в области II, см.

рис. 2.2). Для удобства введем обозначение:√ defu0 = f 0 τ / x .При ε−2/3 имеем∂pII1= 0,∂τ∂uII1= 0.∂ξ(2.27)Из первого уравнения системы (2.27) в силу Определения 2.1 полуIIIIчаем, что pII1 = 0, а из второго — u1 = u1 (x, τ ).При ε−1/3 имеем ∂u0∂pII∂uII22IIIII + u0+ v2 + v2 y=0= 0,∂ξ∂ξ∂τ II∂v2II∂p2(2.28)+ u0= 0,∂τ∂ξ∂uII∂v2II2+= 0.∂ξ∂τПродифференцировав первое уравнение системы (2.28) по τ , а второе — по ξ, и затем вычтя из второго первое, получимu0∂ 2 v2II ∂ 2 v2II+∂ξ 2∂τ 2−v2II+v2III y=0 ∂ 2u02∂τ= 0.Подставляя выражение для u0 , и учитывая, что v2III = 0 (см.

(2.26)),получаем уравнение типа Рэлея:√ 000fτ/x∂ 2 v2II ∂ 2 v2II1II = 0.+−v√2∂ξ 2∂τ 2x f0 τ/ x(2.29)98Давление можно найти из первого уравнения системы (2.28):√ 00II√fτ/x∂pII∂v22√= f0 τ/ x− v2II.∂ξ∂ξx(2.30)3. Функции, описывающие течение в тонком погранслое.Теперь мы получим уравнения на функции, описывающие течениев тонком пограничном слое (в области I, см. рис. 2.2).При ε−1 имеем∂pI1= 0.∂θСледовательно, в силу Определения 2.1, pI1 = 0.При ε−2/3 имеем∂pI2= 0,∂θ∂v2I ∂uI1+= 0.∂θ∂ξАналогично, pI2 = 0.При ε−1/3 имеем ∂uI1∂u0 ∂uI1III I ∂u0 III θ+ v2 + v2 τ =0 + v2 y=0+ v2−∂τ τ =0 ∂ξ∂τ τ =0∂θ ∂uI1∂ 2 uI1III III + u1 + u1 τ =0 + u1 y=0−= 0.∂θ2∂ξВведем новые функции:u∗1∂uIIIII III u1 + u1 τ =0 + u1 y=0 + θ 0 =∂τ,τ =0v2∗ = v2I + v2II τ =0 + v2III y=0 .II ∂u∂p0Учитывая (см. (2.28)), что (v2II τ =0 + v2III y=0 )= − 2 ,∂τ τ =0∂ξ τ =0получим следующую систему уравнений∗II ∗∂p∂ 2 u∗1∂u∂u112 ∗∗+ v2+−= 0,u1∂ξ∂θ∂ξ τ =0∂θ2(2.31)∗∗∂v∂u2+ 1 = 0.∂θ∂ξ994.

Характеристики

Список файлов диссертации