Диссертация (1137359), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Наличие коэффициента ε−2/3 перед производнойпо времени в (1.1) связано с тем, что течение в окрестности поверхности имеет двухслойную структуру (см. рис. 1.2), которая порождает специальную иерархию времен. Масштаб времени для флуктуаций скорости в тонком пограничном слое существенно меньше,чем масштаб времени для флуктуаций в пограничном слое Прандтля, см. ниже Теорему 1.1.30Мы считаем, что поверхность пластины описывается следующим уравнением:ys = ε4/3 µ x, x/ε ,(1.2)где функция µ(x, ξ) является 2π-периодической по аргументу ξ:µ(x, ξ + 2π) = µ(x, ξ),имеющей нулевое среднее (в смысле Определения 1.1 ниже):Z2πµ(x, ξ) dξ = 0,0и удовлетворяющей следующему свойству:∂kµ(x,ξ)= 0,k∂xx=0k 6 2.Система уравнений (1.1) дополняется граничным условием прилипания к поверхности (1.2), которое имеет следующий вид:Uy=ysx>0=!0,0(1.3)и условиями согласования с внешним потоком:∂u = 0,∂y y=0x<0v = 0, Uy=0x<0!→y→±∞1, U→0x→−∞!1.

(1.4)0Задача (1.1), (1.3), (1.4) в стационарном случае была подробноизучена в [49] (см. также [50]), и в § 2 Введения подробно приведенырезультаты из этой работы, см. Теорему 0.1 на стр. 22.В этой задачи мы имеем дело с двумя типами быстрых переменных: периодической переменной и переменной типа пограничного слоя. Хорошо известно, что в случае периодической быстройпеременной необходимо разделять осциллирующую часть и сред-31нее значение. Это необходимо ввиду того, что граничные условиядля средней и осциллирующей частей компонент скорости являются различными для величин одного порядка.

Например, в тонкомпограничном слое (см. (1.20) ниже) граничное условие для осциллирующей части функции v2∗ отсутствует, но присутствует граничноеусловие для средней. Эта особенность, в частности, приводит к особенностям построения алгоритма решения задачи в пристеночнойобласти. Введем следующие определения.Определение 1.1. Для любой 2π-периодической гладкой функцииg(x, ξ), определенной на R × [0, 2π], определим(i) среднее значение формулой1g(x) =2πdefZ2πg(x, ξ) dξ,0(ii) и осциллирующую часть формулойdefge(x, ξ) = g(x, ξ) − g(x).Справедливы следующие очевидные утверждения:1. ge = 0;2.

eg = 0;3.∂g= 0 ⇔ ge = 0;∂ξ4. ge∂eg= 0.∂ξ(1.5)Первое и второе соотношения из (1.5) позволяют нам разделитьсреднее значение и осциллирующую часть.Доказательство утверждений (1.5) очевидно:11. ge =2πZ2π01ge dξ =2π1= g − g 2π = 0;2πZ2π01g(x, ξ) dξ −2πZ2πg(x) dξ =0321g =g−g =g−2.

e2πZ2πg(x) dξ = g −1g 2π = 0;2π03. «⇒»:∂g1= 0 ⇒ g = g(x) ⇒ g(x) =∂ξ2π1g(x)2π = g(x) ⇒ ge = 0;=2π∂g«⇐»: ge = 0 ⇒ g = g(x) ⇒= 0;∂ξZ2πg(x) dξ =02πZ2πZ2π1∂eg1∂eg11 ge 2 =4. ge =ge dξ =ge d ge =ge 2 (x, 2π)−∂ξ2π∂ξ2π2π 2 04π001−eg 2 (x, 0) =ge(x, 2π) − ge(x, 0) ge(x, 2π) + ge(x, 0) = 04πв силу периодичности функции g: ge(x, 2π) = g(x, 2π) − g(x) == g(x, 0) − g(x) = ge(x, 0).Определение 1.2. Для любой 2π-периодической гладкой функцииg(x, ξ), определенной на R×[0, 2π], и такой, что g(x) = 0, определимZξdefфункцию G(x, ξ) =ge(x, ξ) dξ такую, что G(x, ξ) = 0.Теперь перейдем к построению решения задачи (1.1), (1.3), (1.4).Введем погранслойные переменные (характерный масштаб):θ = y ε4/3 ,τ = y ε,ξ = x ε.Рисунок 1.2 – Двухпалубная структура пограничного слоя(1.6)33Будем искать решение задачи (1.1), (1.3), (1.4) в видеIIIu(t, x, y) = uII0 (t, x, τ ) + u0 (t, x, y)+XIII+εi/3 (uIi (t, x, ξ, θ) + uIIi (t, x, ξ, τ ) + ui (t, x, ξ, y)),i≥1v(t, x, y) =Xεi/3 (viI (t, x, ξ, θ) + viII (t, x, ξ, τ ) + viIII (t, x, ξ, y)), (1.7)i≥2p(t, x, y) = pIII0 (t, x, y)+XIII+εi/3 (pIi (t, x, ξ, θ) + pIIi (t, x, ξ, τ ) + pi (t, x, ξ, y)).i≥1Мы предполагаем, что начальные условия для (1.1) имеют вид√ IIut=0 = f 0 τ / x + ε1/3 U1I (x, ξ, θ) + U 1 (x, ξ, τ ) + O ε2/3 ,(1.8)v t=0 = ε2/3 V2I (x, ξ, θ) + Ve2II (x, ξ, τ ) + O(ε),pt=0 = P0 + ε2/3 Pe2II (x, ξ, τ ) + O(ε),IIгде функции U1I , U 1 , V2I , Ve2II , Pe2II являются функциями пограничногослоя (в смысле Определения 1.3 ниже) и P0 = const.В соответствии с результатами из [49], решение имеет двухпалубную структуру (cм.

рис. 1.2). Верхний индекс у функций означает номер палубы, в которой она определена (в смысле определения 1.3 ниже): I — тонкий пограничный слой («нижняя палуба»),II — классический пограничный слой («верхняя палуба»), и III —внешняя область.Определение 1.3. Пусть N ∈ Z+ достаточно большое. Тогда(i) пограничной функцией в тонком пограничном слое I называется 2π-периодическая гладкая функция, убывающая как |θ−N |при θ → ∞;(ii) пограничной функцией в классическом пограничном слое I называется 2π-периодическая гладкая функция, убывающая как|τ −N | при τ → ∞.34Справедлива следующая теорема (нестационарный аналог Теоремы 0.1 (см. § 2 Введения, стр.

22) из работы [49]).Теорема 1.1. Пусть x > δ > 0. Тогда формальное асимптотическое решение задачи (1.1), (1.3), (1.4) имеет видu(t, x, y) = 1 + uII0 (t, x, τ )+2/3+ ε1/3 uI1 (t, x, ξ, θ) + uII),1 (t, x, τ ) + O(εv(t, x, y) = ε2/3 ve2I (t, x, ξ, θ) + ve2II (t, x, ξ, τ ) + O(ε),(1.9)2/3 IIp(t, x, y) = pIIIpe2 (t, x, ξ, τ ) + O(ε),0 (t) + εгде θ = y/ε4/3 , τ = y/ε, ξ = x/ε. Функции uI1 и ve2I определяютсяследующими соотношениями:II ∂u0 ,uI1 = u∗1 − uII1 τ =0 − θ∂τ τ =0ve2I = v2∗ − ve2II τ =0 ,(1.10)где функции u∗1 и v2∗ являются решением следующей системы (системы уравнений Прандтля с индуцированным давлением):∗∗∗II ∂u∂u∂u∂pe∂ 2 u∗11112 ∗∗+ u1+ v2=−,+∂t∂ξ∂θ∂ξ τ =0∂θ2∂v2∗ ∂u∗1+= 0,∂θ∂ξ(1.11)∂uII0 ∗∗∗=µ,v=0,u=u2 θ=µ1 ξ1 ξ+2π ,θ=µ∂τ τ =0(1.12)II ∗∗∂u∂u∂u011 ,→→ 0.v2∗ ξ = v2∗ ξ+2π ,∂θ θ→∞∂τ τ =0∂ξ θ→∞22∂∂Функция ve2II является решением задачи ∆ξ,τ = 2 + 2∂τ∂ξu∗1 1/3ε∂∆ξ,τ∂tZξve2II τ =0 = lim ve2∗ ,θ→∞ve2II dξ+u†0 ∆ξ,τ ve2IIlim ve2II = 0,τ →∞−2 †u0∂τ 2∂ve2II= 0,ve2II ξ = ve2II ξ+2π .(1.13)(1.14)35††Функция uII0 = u0 − 1, где функция u0 является решением системыуравнений пограничного слоя Прандтля†††∂ 2 u†0† ∂u0† ∂u0−2/3 ∂u0+ u0+ v3−= 0,ε∂t∂x∂τ∂τ 2(1.15)††∂v∂u 0 + 3 = 0,∂x∂τс граничными условиями u†0 τ =0 = 0, v †3 τ =0 = 0, u†0 τ →∞ → 1 и√ начальным условием u†0 t=0 = f 0 τ / x .

Решение такой системывыражается в виде функции Блазиуса f (γ) (см. (5) на стр. 13), аименно:√√√τ1††u0 = f 0 τ / x , v 3 = √ √ f 0 τ / x − f τ / x . (1.16)2 xxФункция uII1 является решением следующей задачи (системы линеаризованных уравнений Прандтля)∂uII∂u†0∂uII∂uII∂u†0 ∂ 2 u1†††111−2/3II+ u0+ u1+ v3+ v4−= 0,ε∂t∂x∂x∂τ∂τ∂τ 2†II∂u∂v1+ 4 =0∂x∂τ(1.17)с некоторыми естественными граничными условиями* . Давлениеопределяется равенством†∂ peIIv2II∂† ∂e2II ∂u0= u0− ve2+ ε1/3∂ξ∂τ∂τ∂tZξ∂ev2IIdξ.∂τ(1.18)Замечание 1.1.

Теорема 1.1, как и приведенные далее в Главе 2 Теоремы 2.1 и 2.2, а также приведенные в Главе 3 Теоремы 3.1–3.3 носятчисто методический характер. В них приводится общий вид формальных асимптотических решений (определение нецелых степенеймалого параметра ε, по которым строятся разложения — нетриви†Решение этой системы уравнений (т.е. функции uII1 и v 4 ) не играет значимой роли приизучении свойств течения около пластины.*36альная задача, т.к. они не входят в исходное уравнение), которыйпозволяет получить (по аналогии с приводимыми доказательствами) уравнения на следующие члены асимптотик, до любого порядкамалости.Замечание 1.2.

Если сделать замену вертикальной переменной, выравнивающую границу: z = y −ys , то асимптотическое решение (1.9)примет следующий вид:0u(t, x, z) = 1 + uII0 (t, x, τ )+00+ ε1/3 uI1 (t, x, ξ, θ0 ) + uII(t,x,τ)+ue(t,x,ξ,τ)+ O(ε2/3 ),11v(t, x, z) = ε2/3 v2I (t, x, ξ, θ0 ) + ve2II (t, x, ξ, τ 0 ) + O(ε),2/3 IIp(t, x, z) = pIIIpe2 (t, x, ξ, τ 0 ) + O(ε),0 (t) + ε√ 0 0=fτ/где θ0 = z/ε4/3 , τ 0 = z/ε, uIIx , краевая задача (1.11),0(1.12) примет следующий вид ∗∗II ∗∂u∗1∂u∂pe∂ 2 u∗1∂µ∂u∂u1211∗∗+ v2 0 = −+,+ u1−∂t∂ξ∂ξ ∂θ0∂θ∂ξ τ 0 =0 ∂θ02∂v2∗ ∂u∗1 ∂µ ∂u∗1−= 0, 0 +∂θ∂ξ∂ξ ∂θ0(1.19)u∗1 θ0 =0 = v2∗ θ0 =0 = 0, u∗1 ξ = u∗1 ξ+2π , v2∗ ξ = v2∗ ξ+2π ,∂u∗1 ∂uII∂u∗1 ∂µ ∂uII0 0 ∗v 2 θ0 →∞ → 0,→,→.∂θ0 θ0 →∞∂τ 0 τ 0 =0 ∂ξ θ0 →∞∂ξ ∂τ 0 τ 0 =0(1.20)где функции u∗1 и v2∗ определяются следующими равенствамиuI1=u∗1−uII1 τ =0 0−ueII1 τ 0 =0II 0 ∂u0 θ∂τ 0 −,τ 0 =0v2I = v2∗ − ve2II τ 0 =0 ,функция∂uII= µ 00 ,(1.21)∂τа уравнения на остальные функции, приведенные в Теореме 1.1 останутся неизменными (нужно лишь заменить τ на τ 0 и θ на θ0 ).ueII137Для построения доказательства Теоремы 1.1 нам потребуютсяследующие леммы (их доказательство очевидно).Лемма 1.1.

Пусть f I (θ) и g II (τ ) — погранслойные функции в смысле Определения 1.3. Тогда:II ∂g1/3 θf I (θ)+f (θ)g (τ ) = f (θ)g (τ )τ =0 + ε∂τ τ =02 II θ2 I2/3 ∂ g +εf (θ) + O(ε).∂τ 2 τ =0 2IIIIIIЛемма 1.2. Пусть g II (τ ) — погранслойная функция в смысле Определения 1.3. Тогда:III ∂h+ O(ε2 ).g II (τ )hIII (y) = g II (τ )hIII (y)y=0 + τ ε∂y y=0Лемма 1.3. Пусть f I (θ) — погранслойная функция в смысле Определения 1.3.

Тогда:III ∂h+ O(ε8/3 ).f I (θ)hIII (y) = f I (θ)hIII (y)y=0 + θε4/3∂y y=0Доказательство Теоремы 1.1. Подставим разложения (1.7) в систему уравнений (1.1), соберем коэффициенты при одинаковых степенях параметра ε и приравняем их к нулю.1. Функции, описывающие течение вне погранслоев.Пусть τ → ∞ и θ → ∞. Тогда в силу Определения 1.3 все функциис верхними индексами I и II устремятся к нулю, и мы получим уравнения на функции в области вне пограничных слоев (в области III,см. рис. 1.2).При ε−2/3 получаем следующую систему:∂euIII∂pIII11IIIu0 ∂ξ + ∂ξ = 0,(1.22)III∂u 1 = 0.∂ξ38Из второго уравнения системы (1.22) получаем, что ueIII1 = 0, см. п. 3из (1.5), следовательно, из первого уравнения имеем peIII1 = 0.При ε−1/3 имеем следующую систему уравнений:IIIIII ∂u2u0∂pIII+ 2 = 0,∂ξ∂ξIIIIII ∂v2u0∂ξ= 0,∂uIII2= 0.∂ξ(1.23)Аналогично, из третьего уравнения системы (1.23) мы получаемIIIueIIIe2III = 0, и из пер2 = 0, из второго (учитывая что u0 6= 0) — vвого уравнения — peIII2 = 0.При ε0 мы получили систему IIIIIIIII∂u∂pIII∂u∂pIII∂u0030−2/3III++ u0++ 3 = 0,ε∂t∂x∂ξ∂x∂ξIII∂pIIIIII ∂v3(1.24)+ 0 = 0,u0∂ξ∂y∂uIII∂uIII0+ 3 = 0.∂x∂ξОсредняя третье уравнение системы (1.24) получаем, что ueIII3 = 0 иIIIuIII0 = u0 (t, y), и учитывая граничное условие (1.4) при x → −∞(uIII0 x→−∞ → 1, т.к., как будет показано ниже в пункте 2 доказательства, функция uII0 определена в области x > 0, ее можно продолжитьна область x 6 0 нулем), получаемuIII0 ≡ 1.(1.25)Осреднение второго и первого уравнений дает ve3III = 0 и peIII3 = 0.Следовательно, система (1.24) примет следующий вид:∂pIII0= 0,∂xIIIоткуда получаем, что pIII0 = p0 (t).∂pIII0= 0,∂y(1.26)39При ε1/3 имеемIII∂pIII∂uIII∂pIII∂uIII441−2/3 ∂u1ε++++ 1 = 0,∂t∂ξ∂ξ∂x∂x III∂v4III∂p1+= 0,∂y∂ξ∂uIII∂uIII14+= 0.∂ξ∂x(1.27)Аналогично, осреднение третьего уравнения системы (1.27) даетIIIIIIIIIueIII4 = 0 и u1 = u1 (y), но очевидно, что функция u1 не должнаоказывать влияние на набегающий поток, т.е.

uIII1 x→−∞ → 0, следовательно uIII1 ≡ 0. А осреднение второго и первого уравнений даетve4III = 0 и peIII4 = 0. В итоге, система (1.27) примет следующий вид:∂pIII1= 0,∂x∂pIII1= 0,∂y(1.28)IIIоткуда получаем, что pIII1 = p1 (t), и без ограничения общности мож2/3но положить pIIIимеем1 = 0. При εIII∂pIII∂uIII∂pIII∂uIII255−2/3 ∂u2ε++++ 2 = 0,∂t∂ξ∂ξ∂x∂xIII∂pIII∂v5III ∂v III2−2/3 ∂v 2ε+++ 2 = 0,∂t∂y∂ξ∂x∂uIII∂uIII∂v III522++= 0.∂ξ∂x∂y(1.29)Осредняя (1.29) получаем ueIIIeIIIe5III = 0. Следовательно,5 = 0, p5 = 0, vимеемIII∂uIII∂pIII22−2/3 ∂u2++= 0,ε∂t∂x∂x∂v III ∂pIII ∂v III(1.30)ε−2/3 2 + 2 + 2 = 0,∂t∂y∂x∂uIII∂v III2+ 2 = 0.∂x∂y40Продифференцируем первое уравнение системы (1.30) по переменной z, а второе — по x, и используя третье уравнение, получаем:2 III∂ 2 v III∂ 2 pIII22−2/3 ∂ u2−+= 0,ε2∂t∂y∂y∂x∂y(1.31)2 III2 III2 III∂v∂p∂v222++= 0.ε−2/3∂t∂x∂y∂x∂x2Вычтя из второго уравнения системы (1.31) первое, получаем следующее уравнение:−2/3ε∂ ∂v III∂uIII22−+ ∆x,y v II2 = 0,∂t ∂x∂y(1.32)где∆x,y∂2∂2= 2 + 2.∂x∂yНаличие малого коэффициента перед ∂/∂t фактически означает,что решение уравнения (1.32) является стационарным, т.е.∆x,y v II2 = 0.(1.33)Как будет показано ниже, граничные условия на функцию v III2 имеIII III ют вид v III2 x→−∞ → 0, v 2 y=0 → 0, v 2 y→∞ → 0.

Характеристики

Список файлов диссертации