Диссертация (1137359), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Определены характерные масштабы (степени малого параметра, входящие в решение), приводящие к двухпалубной структуре, и получено формальное асимптотическое решение задачио течении жидкости в аксиально-симметричной трубе и двумерном канале с малыми периодическими неровностями настенке, имеющее двухпалубную структуру пограничного слоя.82. Доказано существование стационарного решения и его устойчивость для уравнения типа Рэлея, описывающего осцилляции течения на «верхней палубе» пограничного слоя c двухпалубной структурой (т.е. в области классического пограничногослоя Прандтля) для задачи обтекания пластины с малыми периодическими неровностями.3.

Получено формальное асимптотическое решение задачи обтекания жидкостью пластины с малой локализованной (уединенной) неровностью типа горбика, ступеньки или излома в видеугла, имеющее двухпалубную структуру пограничного слоя.4. Построен алгоритм для численного решения уравнений нафункции, описывающие течение жидкости в пограничном слоес двухпалубной структурой, основанный на разностных схемах, удовлетворяющих принципу максимума, и приведены результаты его применения.Заметим, что в построенных формальных асимптотиках значимымрезультатом также являются найденные нецелые степени малого параметра, по которому строится асимптотическое разложение, чтоявляется нетривиальным моментом, т.к.

малый параметр входит вуравнения Навье-Стокса в целой степени, и асимптотика решенияобычно строится только по целым или полуцелым его степеням.Методология и методы диссертационного исследованияНаучное исследование, результаты которого изложены в данной диссертационной работе, проводится при помощи математических методов.

В частности, используются следующие математические методы: методы функционального анализа и теории линейных дифференциальных операторов; асимптотические методы; метод осреднения; теория разностных схем.9Теоретическая и практическая значимость работыРабота имеет теоретический характер. Полученные в диссертационной работе теоретические результаты вносят вклад в математическую теорию пограничного слоя.

Показано, что исследованная вданной работе двухпалубная структура пограничного слоя являетсятакже неотъемлемым свойством модели Навье–Стокса, равно как иобщеизвестная трехпалубная структура. Полученные в диссертациитеоретические результаты можно применять для дальнейших исследований течений вдоль поверхностей с малыми шероховатостями.Степень достоверности результатов диссертацииОсновные результаты диссертации оформлены в виде математических утверждений и строго доказаны.Личный вклад автораВсе представленные результаты получены автором самостоятельно.

Постановка задачи принадлежит научному руководителюВ. Г. Данилову.Апробация результатов диссертационного исследованияРезультаты диссертационной работы были представлены автором лично на следующих российских и международных научныхконференциях и семинарах:1. Days on Diffraction 2013 (DD 2013) (Санкт-Петербург, ПОМИРАН, 2013).2.

VII Отраслевая научно-техническая конференция «Технологии информационного общества» (Москва, МТУСИ, 2013).3. Научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов НИУ ВШЭ (Москва, МИЭМ НИУ ВШЭ,2014).104. Международная научная конференция «Современные проблемы вычислительной математики и математической физики»,посвященная памяти академика А.А.Самарского в связи с 95летием со дня его рождения (Москва, МГУ, 2014).5.

The Seventh International Conference on Differential and Functional Differential Equations (DFDE 2014) (Москва, РУДН, 2014).6. 5-ая международная научная школа молодых ученых «Волныи вихри в сложных средах» (Москва, ИПМех РАН, 2014).7. Семинар «Методы суперкомпьютерного моделирования» (Таруса, «Интеркосмос» ИКИ РАН, 2015).8. Научно–исследовательский семинар «Асимптотические методы в математической физике» (Москва, ИПМех РАН, 2015).9. Общегородской семинар им. А.М. Ильина по дифференциальным уравнениям математической физики (Уфа, Институт математики с ВЦ УНЦ РАН, 2016).10. Семинар кафедры математики физического факультета МГУ(Москва, МГУ, 2016).Тезисы докладов опубликованы в [9–12; 55].ПубликацииОсновные результаты диссертации были опубликованы совместно с научным руководителем в 4 работах [13; 53–55], 3 из которых([13; 53; 54]) опубликованы в журналах, входящих в утвержденныйВАК перечень ведущих рецензируемых научных изданий, в которыхдолжны быть опубликованы результаты кандидатских диссертаций.В указанных публикациях содержатся все основные результаты диссертации.11Структура и объем диссертацииДиссертация состоит из введения, трех глав, заключения исписка литературы, содержащего 96 наименований.

Объем диссертации 154 страницы.В первой главе проводится исследование уравнения типа Рэлея,описывающего течение во второй палубе двухпалубной структурыпограничного слоя в задаче обтекания пластины с малыми периодическими неровностями при больших значениях числа Рейнольдса,а также построение алгоритма его численного решения. Основныерезультаты, представленные в первой главе, изложены в работе [54],см.

также [55].Во второй главе производится построение формального асимптотического решения (имеющего двухпалубную структуру пограничного слоя) задачи обтекания полубесконечной пластины с локализованными на ней малыми неровностями типа горбика, ступеньки и излома в виде вогнутого угла при больших значениях числаРейнольдса, а также построение алгоритма численного решения полученных уравнений и результаты его использования.

Основные результаты, изложенные во второй главе, опубликованы в работе [53].Во третьей главе производится построение формального асимптотического решения (имеющего двухпалубную структуру пограничного слоя) задач о течение вязкой несжимаемой жидкости внутри аксиально–симметричной трубы и двумерного канала с малымипериодическими неровностями на стенках при больших значенияхчисла Рейнольдса, а также построение алгоритма численного решения полученных уравнений и результаты его использования. Результаты, представленные в третьей главе, опубликованы в работе [13].12§ 2.Основные типы решений уравненийНавье–Стокса в задачах обтеканияполубесконечных поверхностейИсследование задач обтекания жидкостью различных поверхностей является одной из наиболее интересных математических задач гидродинамики. При движении вдоль поверхности вязкая жидкость не скользит по ней, а прилипает. Переход от нулевой скоростина поверхности к скорости внешнего течения происходит в оченьтонком слое, который называется пограничным слоем.

Вне этогослоя вязкость не играет существенной роли.Теория пограничного слоя была сформулирована Л. Прандтлемболее 110 лет назад. Впервые понятие пограничного слоя появилосьв его работе [72]. Он исследовал задачу обтекания вязкой несжимаемой жидкостью полубесконечной пластинки при больших значениях числа Рейнольдса и получил, что вязкость оказывает влияние только в тонком слое вблизи поверхности пластины, который онназвал пограничным слоем, см. рис.

1. Исходные уравнения Навье–Стокса (1) (U = (u, v)) в области пограничного слоя упрощаются:∂uB∂uB∂p ∂ 2 uBuB+ vB=−+,2∂x∂τ∂x∂τ∂p= 0,∂τ∂u∂v B + B = 0,∂x∂τ(3)где τ = y/ε, см. также [18; 21; 22; 44]. Эта система уравнений носит название системы уравнений пограничного слоя Прандтля. Заметим, что уравнения (3) не содержат вязкость, т.е.

не зависят отчисла Рейнольдса Re = LV /ν (L — характерная длина, V — характерная скорость, ν = η/ρ — кинематическая вязкость жидкости,η — динамическая вязкость жидкости, ρ — плотность жидкости),13которое входит в уравнения только как параметр масштаба по вертикальной, т.е. нормальной к поверхности, переменной τ ).Рисунок 1 – Обтекание полубесконечной пластины: I — погранинчый слойПрандтля, II — внешний потокРешение системы уравнений (3) с граничным условием (2) дляслучая обтекания полубесконечной плоской пластины было найдено Г. Блазиусом, см. [45]. Он свел систему уравнений (3) к краевойзадачи для обыкновенного дифференциального уравнения на функцию тока f (γ):2f 000 + f · f 00 = 0,f (0) = f 0 (0) = 0,f γ→∞ → 1.(4)Решение исходной системы (3), если принять что внешний потокu0 = 1, см.

рис. 1 (а это всегда можно сделать с помощью обезрамеривания), выражается через функцию f (γ), которая называетсяфункцией Блазиуса, следующим образом:uB = f 0 (γ),1vB = √ γf 0 (γ) − f (γ) ,2 x(5)yгде γ = √ , более подробно см. в [19; 21; 44].ε xТеория пограничного слоя Прандтля была большим шагом висследовании задач обтекания различных тел и внесла огромныйвклад в развитие аэродинамики, а также оказалась чрезвычайно полезным и практическим инструментом в инженерных приложениях.Математически эта теория была строго формализована значительно позже с помощью метода сращивания (или согласования) асимптотических разложений, см. [6; 17], который был развит и строгообоснован позднее М.А. Ильиным, см. [16].14Вопросы существования, единственности и устойчивости решений системы уравнений пограничного слоя Прандтля были рассмотрены в работах Г.

Характеристики

Список файлов диссертации