Диссертация (1137359), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Очевидно, чтотакая задача имеет лишь тривиальное решение v III2 ≡ 0, и следоIIIвательно из (1.30) получаем, что uIII2 = u2 (t, y), откуда получаем,III что uIII2 ≡ 0 (т.к. должно выполняться условие u2 x→−∞ → 0). ТоIIIгда из системы (1.29) получаем, что pIII2 = p2 (t), и без ограниченияобщности можно положить pIII2 = 0.2. Функции, описывающие течение в классическом погранслое.Пусть θ → ∞. Тогда в силу определения 1.3 функции с верхним индексом I в разложении (1.7) устремятся к нулю, и подставляя его всистему уравнений (1.1), используя Лемму 1.2, мы получим уравнения на функции, описывающие течение в классическом пограничномслое (в области II, см. рис.

1.2).41При ε−2/3 мы получаем следующую систему:uII0 ∂uII∂ pe11+1+= 0,∂ξ∂ξ∂pII1= 0,∂τ∂uII1= 0.∂ξ(1.34)Из третьего уравнения системы (1.34) мы получаем ueII1 = 0, а из*второго — pII1 ≡ 0 .При ε−1/3 имеемIIII ∂uII∂pII21/3 ∂u2IIII ∂u0ε+ u0 + 1+ v2+ 2 = 0,∂t∂ξ∂τ∂ξII ∂v2II ∂pII1/3 ∂v2II(1.35)ε+ u0 + 1+ 2 = 0,∂t∂ξ∂τ∂uII∂v2II2+= 0.∂ξ∂τОсредняя третье уравнение системы (1.35) (учитывая (1.5)), полу∂v II2чаем, что= 0, следовательно в силу Определения 1.3, v II2 ≡ 0.∂τ∂pIIТогда осредняя второе уравнение системы (1.35), получаем 2 = 0,∂τIIследовательно в силу Определения 1.3, p2 ≡ 0, а осреднение первого∂uIIуравнения системы (1.35) дает ε1/3 2 = 0.∂tТогда система (1.35) примет вид†uIIv2II∂ peII† ∂e21/3 ∂eII ∂u0ε− u0+ ve2+ 2 = 0,∂t∂τ∂τ∂ξ∂ev II∂ev II ∂ peIIε1/3 2 + u†0 2 + 2 = 0,∂t∂ξ∂τ∂euII∂ev2II2+= 0.∂ξ∂τ(1.36)гдеu†0 = uII0 + 1.*(1.37)В силу того, что по Определению1.3 любая функция g с верхним индексом II при τ → ∞должна стремиться к нулю: g II τ →∞ → 0.42Продифференцируем первое уравнение системы (1.36) по τ , авторое — по ξ:2 II2 II2 †e2e2∂ 2 peII†∂ v21/3 ∂ uII ∂ u0− u0 2 + ve2+= 0,ε2∂t∂τ∂τ∂τ∂ξτ(1.38)2 II2 II2 II∂ve∂pe∂ve22ε1/3+ u†0 22 += 0.∂t∂ξ∂ξ∂τ ∂ξТогда вычитая из второго уравнения (1.38) первое, получимε1/3∂ 2 ve2II ∂ 2 ueII2−∂t∂ξ ∂t∂τ+u†0∂ 2 ve2II ∂ 2 ve2II+∂ξ 2∂τ 2−2 †u0∂τ 2∂ve2II= 0.(1.39)Из третьего уравнения системы (1.36) получаемueII2 =−Zξ∂ev2IIdξ,∂τи, следовательно,∂ 2ueII2=−∂t∂τZξ∂ 3 ve2IIdξ.∂τ 2 ∂t(1.40)Тогда, учитывая, что∂ 2 ve2II=∂t∂ξZξ∂ 3 ve2IIdξ,∂t∂ξ 2уравнение (1.39) можно переписать в следующем виде∂ε1/3∂tZξ∆ξ,τ ve2II dξ+u†0 ∆ξ,τ ve2II−2 †u0∂τ 2∂ve2II= 0,(1.41)где∆ξ,τ =∂2∂2+.∂ξ 2 ∂τ 2Уравнение (1.41) называется нестационарным уравнением типа Рэлея (см.

[1]).43Из первого уравнения системы (1.36) получаем выражение длядавления:∂ peII∂2= ε1/3∂ξ∂tZξ†∂ev2IIv2II† ∂eII ∂u0dξ + u0− ve2.∂τ∂τ∂τПри ε0 осредненная система имеет следующий вид†††∂ 2 u†0† ∂u0−2/3 ∂u0II ∂u0+ v3−+ u0= 0,ε∂t∂τ∂τ 2∂x II∂p3= 0,∂τ∂u†0 ∂v II+ 3 = 0.∂x∂τ(1.42)(1.43)Из граничных условий (1.3), (1.4) и Определения 1.3 очевидным образом получаются следующие граничные условия для системы (1.43):u†0 τ →∞ → 1, u†0 τ =0 = 0, v †3 τ =0 = 0, см. подробнее п.4 данногодоказательства. Система (1.43) дополняется начальным условием√u†0 t=0 = f 0 (τ / x), см. (1.8).

Наличие малого коэффициента передпроизводной по времени фактически означает, что нужно рассматривать стационарное решение. Решение такой системы выражаетсяв виде функции Блазиуса (см. (5) на стр. 13):u†0√ = f τ/ x ,0v II3√ √ 1τ 0= √ √ f τ/ x − f τ/ x .2 xx(1.44)При ε1/3 осредненная система имеет видII∂ 2 uII∂u†0∂uII∂u†0∂uII† ∂u1††111II−2/3++−+u+u= 0,εvv1430∂t∂τ∂τ∂τ 2∂x∂x††∂u∂v1+ 4 = 0,∂x∂τ†III IIIII где v †3 = v II+v,v=v+v33 y=044 y=0 .4443.

Функции, описывающие течение в тонком погранслое.Теперь мы получим уравнения на функции, описывающие течение втонком пограничном слое (в области I, см. рис. 1.2). Здесь мы будемприменять Леммы 1.1 и 1.3.∂pI1−1= 0, следовательно в силу ОпределеПри ε получаем∂θния 1.3 получаем, что pI1 ≡ 0* .При ε−2/3 получаем следующую систему:∂pI2 ∂θ = 0,(1.45)II∂v∂u 1 + 2 = 0.∂ξ∂θИз первого уравнения в силу Определения 1.3 следует, что pI2 ≡ 0, а∂v I2осреднение второго дает= 0, следовательно аналогично в силу∂θОпределения 1.3, v I2 = 0.При ε−1/3 имеем: IIII II ∂u∂u∂u∂u11+ θ 0 + ve2I 0 +∂t∂τ τ =0 ∂ξ∂τ τ =0 ∂uI1 ∂ 2 uI1 ∂uI1IIIIII+ u1 + u1 τ =0+ ve2 + ve2 τ =0−= 0,∂ξ∂θ∂θ2∂pI3= 0,∂θ∂uI∂v I 2 + 3 = 0.∂ξ∂θ(1.46)Из второго уравнения системы (1.46) в силу Определения 1.3 следует, что pI3 ≡ 0, а из третьего — v I3 ≡ 0.Введем новые функции:II ∂u0 u∗1 = uI1 + uII,1 τ =0 + θ∂τ τ =0v2∗=ve2I+ve2II τ =0 .(1.47)*В силу того, что по Определению1.3 любая функция g с верхним индексом I при θ → ∞должна стремиться к нулю: g I θ→∞ → 0.45Тогда первое уравнение системы (1.46) примет вид:2 ∗II ∗∗∂u∗1∂u∂u∂u∂u1= 0.+ u∗1 1 + v2∗ 1 −− ve2II τ =0 0 2∂t∂ξ∂θ∂θ∂τ τ =0(1.48)Учитывая равенство (1.42), уравнение (1.48) примет вид2 ∗II ∗∗∂u∗1∂u∂pe∂u∂u1= 0.+ u∗1 1 + v2∗ 1 −+ 2 2∂t∂ξ∂θ∂θ∂ξ τ =0(1.49)В итоге, добавив к (1.49) последнее уравнение из (1.45), получим следующую систему уравнений:∗∗∗II ∂u∂ 2 u∗1∂u∂u∂pe1112 ∗∗−+u+v+= 0,12∂t∂ξ∂θ∂ξ τ =0∂θ2(1.50)∗∗∂u∂v1+ 2 = 0.∂ξ∂θ4.

Граничные условия.Из граничных условий (1.3), (1.4) имеем:u†0 τ =0 = uII0 τ =0 + 1 = 0,ve3I θ=µ + v3II τ =0 + v3II y=0 = 0.Осредняя последнее равенство, получаемII v †3 τ =0 = v II+v3 τ =03 y=0 = 0.Из Определения 1.3 uII0 τ →∞ → 0, следовательноu†0 τ →∞=uII0 τ →∞+ 1 = 1.Также из граничных условий (1.3), (1.4) имеем:uI1 θ=µ + uII1 τ =0 = 0,ve2I θ=µ + ve2II τ =0 + v III2 y=0 = 0.Осредняя второе равенство из (1.51), получаем v III2 y=0 = 0.(1.51)46Тогда из (1.51) имеем:u∗1 θ=µ= uI1 θ=µ+ uII1II ∂u∂uII= µ 0 ,+ µ 0 τ =0∂τ τ =0∂τ τ =0v2∗ θ=µ = ve2I θ=µ + ve2II τ =0 = 0.В силу Определения погранслойной функции 1.3 имеем∂u∗1 ∂uI1 f 00 (0) f 00 (0)=+ √ = √ ,∂θ θ→∞∂θ θ→∞xx∂uI1 ∂u∗1 == 0,∂ξ θ→∞∂ξ θ→∞v2∗ θ→∞ = ve2I θ→∞ + ve2II τ =0 = ve2II τ =0 ,откуда получаемve2II τ =0 = v2∗ θ→∞ .Также для функций u∗1 , v2∗ и ve2II должно выполняться условие 2πпериодичности по ξ.Таким образом, для моделирования течения в пристеночной области нам необходимо решить две задачи.

Во-первых, мы должныпостроить решение краевой задачи (1.11), (1.12) при конечных t. Вовторых, мы должны построить решение краевой задачи (1.13), (1.14)для осцилляций при t0 = ε−1/3 t. Это является главной задачей, потому что присутствующие производные ∂/∂t c малым параметром вуравнениях Прандтля (1.15), (1.17) фактически означают, что надорассматривать стационарный поток.Перейдем к рассмотрению уравнения типа Рэлея (1.13), (1.14).47§ 2.Существование, единственность иустойчивость решения уравнения типаРэлея в области позади передней кромкиПоскольку течение Блазиуса является плоскопараллельным вобласти, где мы решаем уравнение (1.13) (в переменных ξ и τ ), мыможем попытаться применить теорему Рэлея [1; 20; 44], считая, чтоплоскопараллельный поток идеальной жидкости без точек изгибаявляется устойчивым.

Следовательно, можно надеяться, что решение уравнения (1.13) ограничено. Одним из основных результатовданной главы является следующая теорема.Теорема 1.2. Стационарное решение vest уравнения√ Zξ000√xfτ/∂v2II − ve2II=0(1.52)ε1/3 ∆ ve2II dξ + f 0 τ / x ∆e∂txсуществует и устойчиво ∀x > M , т.е. для малых возмущений δevstстационарного решения vest (1.52) следует, что√ Z∞ Z2π 2 1 − f 0 τ / x 2∇Veδ + x e dξdτ 6 f 000 τ /√x ∆Vδ00Z t Z∞Z2π 6√ 22 1 − f 0 τ / x e dξdτ dt+∇Veδ + x f 000 τ /√x ∆Vδ0 0 0Z t Z∞Z2π √ 2 1 − f0 τ/ x ∂1 + x 000√ ∆Vest dξdτ dt, (1.53)∂tf τ/ x+0 0 0 000 Zξ f (γ) , Vest = vest dξ,где M = max 0γ∈[0,∞) f (γ) ZξVeδ =δevst dξ.48Очевидно (см. [1]), что уравнение (1.52) может быть записанокак безразмерная система Гамильтона.

По аналогии с n-размерным(n < ∞) случаем, стационарное решение уравнения (1.52) вероятно,не устойчиво, но может быть устойчиво в смысле орбитальной устойчивость (см. работу [71]). На самом деле, оценка (1.53) означает, чтостационарное решение (1.52) устойчиво в этом смысле.Хорошо известно, что из априорной оценки (1.53) следует (в силу линейности) существование и единственность решения уравнениятипа Рэлея (1.52) при x > M .Поскольку граничное условие ve2II τ =0 (см.

(1.14)) для (1.52) является пределом решения (1.19) и зависит от t (но решение (1.52)ve2II зависит и от t1 = ε−1/3 t: ve2II = ve2II (t1 , t, x, τ, ξ)), то стационарноерешение (1.52) vest зависит от t параметрически: vest = vest (t, x, ξ, τ ).Как будет показано в п. 4.1 из § 4 данной главы (см. также [49;50]), для течения в нижней палубе (тонком пристеночном слое) существует несколько характерных типов, а именно существует критическое значение амплитуды неровности A∗ , такое, что если амплитуда неровности A = max |µ| < A∗ , то течение ламинарное, а еслиA > A∗ , то течение вихревое.Таким образом, существует правая часть в оценке (1.53), которая определяется соотношением между критической амплитудойнеровности A∗ и µ.

Характеристики

Список файлов диссертации