Диссертация (1137359), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Важным резуль-21татом, полученным в [62] является тот факт, что наряду с трехпалубной структурой пограничного слоя возможна и двухпалубная, нопри других масштабах неровности.Независимо от работы Ж. Мосса [62] и раньше нее, в работеВ.Г. Данилова и М.В. Макаровой [49] (см. также [50]) изучаласьзадача обтекания вязкой несжимаемой жидкостью пластины с малыми периодическими неровностями при больших значениях числаРейнольдса. Неровности имели следующий вид:ys = ε4/3 µ(x, ξ/ε),(21)где µ(x, ξ) — 2π-периодическая функция с нулевым средним.

Какуже было написано выше, одна из особенностей решения такой задачи заключается в применение, помимо метода погранслойного разложения, еще и метода осреднения, более подробно см. в Главе 1.Как видно из уравнения (21), параметры неровности (масштаб)отличен от параметров из работ, в которых получена трехпалубнаяструктура [15; 79] и совпадает с параметрами из работы [62]. Эти параметры выбраны не случайным образом: длина волны неровности(ξ = x/ε) совпадает с масштабом классического пограничного слоя(τ = y/ε). В работе [49] получена структура пограничного слоя, отличная от классической трехпалубной структуры — двухпалубнаяструктура, см.

рис. 4. Взаимодействие устроено схожим образом:возмущение течения в нижней палубе (возникающее из-за неровностей на поверхности) приводит к возмущению давления в среднейпалубе, которое индуцирует градиент давления в нижней палубе.Однако, основное отличие заключается в том, что возмущения, возникшие в нижней палубе, затухают в классическом пограничномслое (средней палубе), не оказывая влияния на внешний поток. Темсамым, исчезает задача о взаимодействии пограничного слоя с основным потоком.Приведем кратко результаты, полученные в работе [49], с целью сравнения с приведенными выше (и ниже) результатами из дру-22Рисунок 4 – Двухпалубная структура в задаче обтекания пластины спериодическими неровностями: I — нижняя палуба (пристеночныйпограничный слой); II — средняя палуба (классический пограничный слой);III — область внешнего течения; u0 = 1гих работ.

Далее используются следующие обозначения: для любойфункции g(x, ξ) через ḡ(x) обозначается ее среднее (т.е.R2π1ḡ(x) = 2π g(x, ξ) dξ), а через ge(x, ξ) = g(x, ξ) − ḡ(x) — осциллиру0ющая часть, подробнее см. определение 1.1 на стр. 31. Верхние индексы над функциями обозначают номер области (согласно рис. 4),в которых они определены (согласно определению 1.3 на стр. 33).В работе [49] получена следующая теорема.Теорема 0.1.

Пусть x > δ > 0. Тогда формальное асимптотическое решение имеет следующий вид:2/3u(x, y) = uB (x, τ ) + ε1/3 uI1 (x, ξ, θ) + uII),1 (x, ξ, τ ) + O(εv(x, y) = ε2/3 v2I (x, ξ, θ) + ve2II (x, ξ, τ ) + O(ε),(22)p(x, y) = p0 + ε2/3 peII2 (x, ξ, τ ) + O(ε),где θ = −µ + y/ε4/3 , τ = y/ε, ξ = x/ε, а uB — профиль теченияБлазиуса (см.

(5)). Функции uI1 и v2I определяются следующими соотношениями:∂uB ,uI1 = u∗1 − uII−θ1 τ =0∂τ τ =0v2I = v2∗ − ve2II τ =0 ,23где функции u∗1 и v2∗ являются решением краевой задачи∗II ∗∗∂u∂ 2 u∗1∂u∂p∂u∂µ1121∗∗∗++ v2− u1=−,u1∂ξ∂θ∂ξ ∂θ∂ξ τ =0∂θ2∂u∗1 ∂µ ∂u∗1 ∂v2∗−+= 0,∂ξ∂ξ ∂θ∂θ(23)u∗1 θ=0 = v2∗ θ=0 = 0, lim v ∗2 = 0, u∗1 ξ = u∗1 ξ+2π , v2∗ ξ = v2∗ ξ+2π ,θ→∞ ∗ ∗∂u1 ∂µ ∂uB ∂u1 ∂uB = 0,lim= 0.lim−−θ→∞θ→∞∂θ∂τ τ =0∂ξ∂ξ ∂τ τ =0Система уравнений (23) есть не что иное, как система уравненийПрандтля с индуцированным давлением (слагаемые с множителями ∂µ/∂ξ обусловлены заменой переменных, в которых поверхность пластины будет плоской, см. [49]) Функция ve2II удовлетворяет задаче 2 II2∂ ve2∂ 2 ve2IIII ∂ uBu0+= 0,(24)−ve2∂τ 2∂ξ 2∂τ 2ve2II τ =0 = lim ve2∗ , lim ve2II = 0, ve2II ξ = ve2II ξ+2π .θ→∞τ →∞∂uBeIIФункция ueII. Функция uII1 является решени1 =µ1 имеет вид u∂τем следующей задачи (линеаризованных уравнений Прандтля)II∂uII∂ 2 uII11II ∂uB∗ ∂u1∗ ∂uB+ u1+ v3+ v4−= 0,uB2∂x∂x∂τ∂τ∂τII∗ ∂u1 + ∂v 4 = 0∂x∂τс некоторыми естественными граничными условиями, однако онане играет роли, при исследовании характера течения в пограничном слое.

Давление определяется соотношением∂ peII∂ev2II∂uB2= uB− ve2II,∂ξ∂τ∂τp0 = const.(25)Уравнение (24) называется уравнением типа Рэлея (см. [1]) иранее не было исследовано в литературе. В Главе 1 настоящей дис-24сертации доказывается существование и единственность его решения, а также его устойчивость для нестационарного случая.Также отметим, что построение асимптотического решения вработе [49] является строгим, в отличие от вывода решения в работе [79], ввиду того что в работе [49] асимптотическое решениестроится во всей области (см.

(22)), а в работе [79] (см. также [63])асимптотические разложения выводятся отдельно в каждой области(см. (7), (9), (11)), тем самым при их подстановке в уравнения Навье–Стокса не учитываются произведения вида fiI gjII и подобные им.Помимо асимптотических решений, имеющих многопалубныеструктуры пограничных слоев, в литературе известны другие погранслойные структуры, например, теория асимптотических решений с внутренними погранслоями, развиваемая А.Б.

Васильевой,В.Ф. Бутузовым, Н.Н. Нефедовым и др., см., например, [7; 8; 70],В работах [65; 75; 86; 95; 96] рассматривалась задача о течении струи вдоль пластины («затопленная струя»), поверхностьна поверхности которой имелись малые неровности, подобные рассматриваемым нами (локализованный горбик, ступенька, угол), нос другими параметрами: ys = ε9/7 µ(ξ), ξ = (x − x0 )/ε6/7 , ε = Re−1/2 .Асимптотическое решение задачи, рассматриваемой в работе [86]имеет вид2/7IIIu = uII(τ)+εu(ξ,τ)+u(ξ,θ)+ O(ε8/7 ),011v = ε3/7 v1II (ξ, τ ) + ε5/7 v1I (ξ, θ) + O(ε8/7 ),Ip = ε4/7 pII(ξ,τ)+p(ξ)+ O(ε8/7 ),11(26)где τ = y/ε, θ = y/ε9/7 , а функция uII0 обладает следующими свойIIствами: uII0 → 0.5kτ, y → 0 и u0 → 0, y → ∞. Полученное решение имеет двухпалубную структуру пограничного слоя, однако онаимеет ряд серьезных отличий от структуры, полученной в даннойдиссертационной работе.В классическом пограничном слое (II) в работе [86] получаются уравнения, отличные от полученного в [49] уравнения типа25Рэлея (24):uII0∂uII∂uII1+ v1II 0 = 0,∂ξ∂τ∂uII∂v II1+ 1 = 0,∂ξ∂τuII0∂pII∂v1II=− 1∂ξ∂τ(27)Эта система легко разрешается:IIv1II = −A0 (ξ)uII0 (τ ), u1 = A(ξ)∂uII0∂τ00, pII1 = A (ξ)ZτuII02dτ 0 + pI1 (ξ),0где A(ξ) и pI1 (ξ) — константы интегрирования, и для A(ξ) ставитсяусловие: A(−∞) = 0, а pI1 (ξ) определяется из условия pII1 τ →∞ → 0:Z∞2 0pI1 (ξ) = −A00 (ξ)uIIdτ , откуда следует, что0000pII1 = −A (ξ)Z∞uII02dτ 0 .(28)τОднако, это решение не годиться для задачи обтекания пластины,где основное течение есть течение Блазиуса, т.е.

в случае когда uII0 =∞2RuB . В этом случае интеграл в (28) расходится ( uB dτ 0 = ∞).τВ тонком пограничном слое (I) уравнения, полученные в [86](см. также [95; 96]):II∂pI1 ∂ 2 uI1I ∂u1I ∂U1u1 ∂ξ + v1 ∂θ = − ∂ξ + ∂θ2 ,∂uI1 ∂v1I+= 0,∂ξ∂θuI1 θ=0 = v1I θ=0 = 0,uI1 θ→∞ → 0.5k(θ + A(ξ)), uI1 ξ→−∞ → 0.5kθ,v1I ξ→−∞ → 0, pI1 ξ→−∞ → 026аналогичны полученным в работе [49] уравнениям (23).

Роль функции A(ξ) в нашем случае играет слагаемое ve1II θ→∞ , похожим образомформирующее давление в пристеночной области, см. (25).Двухпалубная структура, аналогичная [86], была также обнаружена в работе [52], где изучалось течение слоя жидкости вдольповерхности, имеющей форму выпуклого угла при больших значениях числа Рейнольдса. Им также были получены линеаризованныерешения для малых углов. В работе [65] рассмотрено течение вдольвертикальной поверхности с малыми неровностями типа горбика иступеньки.

В результате получено, что решение имеет двухпалубную структуру, аналогичную [75; 86]. Для совсем малых неровностей (высота которых 1) получены аналитические и численныерешения.Во главе 2 настоящей диссертационной работы получено асимптотическое решение такой задачи для случая обтекания пластинытечением Блазиуса, имеющее двухпалубную структуру, похожую наполученную в задаче обтекания пластины с периодическими неровностями в [49].Задача о течении вязкой несжимаемой жидкости при большихзначениях числа Рейнольдса в каналах изучается в разных ситуациях разными авторами. Например, течение жидкости с нелинейнойвязкостью исследовано в работах А.М. Блохина и др., см. [4; 46], атечение в двумерном канале (а также в симметричной трубе) с малыми локализованными неровностями на стенках было рассмотренов работах Ф. Т.

Смита [77; 78] и работах Ж. Мосса [48; 64]. Структура течения, полученная в [77] приведена на рис. 5.В данной диссертационной работе рассматривается аналогичная задача, но для случая периодических неровностях на стенках.Ввиду нелинейности задачи, периодические неровности не могутрассматриваться как суперпозиция уединенных (локализованных)неровностей. Более того, в работе [77] решение устроено так, чтокаждая из неровностей на стенке вносит свой вклад в основное течение («core flow»), т.е. возмущение в пограничном слое от неров-27Рисунок 5 – Структура пограничного слоя в двумерном канале снеровностями из [77]: I,III — пристеночнные слои, II — основное течениености на одной стенке передается через основной поток в пограничный слой у другой стенки канала, что требует изменения граничногоусловия, и это изменение достигает другой стенки и т.д.

Очевидно,что в случае периодических неровностей на стенках канала, такаяструктура течения приводит к задаче о бесконечных отражениях.Отметим, что возмущения течения могут быть вызваны не только неровностями на стенке, но и, например, инжекцией жидкостичерез проницаемую стенку, см. [58]. В этом случае наблюдается похожая структура течения, но с другим аналитическим описанием.Задача о течении в канале была также рассмотрена в [92]. Однако, полученное в [92] решение найдено в виде линейной аппроксимации при условии что течение ламинарное. Также задача о течении в канале с волнообразными стенками, но с учетом конвективного теплопереноса, была рассмотрена в [51], где авторы, в отличие отпредставленного в диссертации подхода, построили математическуюмодель исследуемой задачи не используя напрямую систему уравнений Навье–Стокса, а используя некоторую модификацию моделиk − ε турбулентного течения.

Для численного решения они использовали метод конечных элементов на неортогональной разностнойсетке.В третьей главе настоящей диссертационной работы полученоасимптотическое решение, имеющее двухпалубную структуру (см.рис. 6), в которой возмущение от неровности на стенке, возникающеев пристеночном пограничном слое, не вносит вклад в основной поток28(который есть течение Пуазейля), а затухает в толстом пограничномслое, т.е. пограничный слой у одной стенке не взаимодействует спограничным слоем у другой стенки.Рисунок 6 – Двухпалубная структура пограничного слоя в двумерном каналес периодическими неровностями I, I8 — нижние палубы, II, II8 — верхниепалубы, III — основное невозмущенное течениеПолученное в Главе 3 настоящей диссертации решение похожена решение, полученное для задачи обтекания пластинки с периодическими неровностями в работе [49]: уравнения, описывающеетечение в тонком пристеночном слое совпадают (с точностью докоэффициентов), а отличие заключается лишь в уравнениях, описывающих течение в толстом пограничном слое: для случая каналаполучено хорошо известное уравнение Лапласа, а для случая пластинки, как уже было сказано ранее, — уравнение типа Рэлея (24),исследование которого проводится в Главе 1 данной диссертации.Однако, параметры (масштаб), описывающие неровность, и приводящие к двухпалубной структуре решения различны для случаевканала и пластинки.Это позволяет сделать вывод о том, что двухпалубная структура является свойством модели Навье–Стокса, так же как и трехпалубная структура.29Глава 1Задача обтекания пластины с малымипериодическими неровностями§ 1.Постановка задачиБудем рассматривать нестационарное двумерное течение несжимаемой жидкости вдоль зафиксированной в начале координатполубесконечной пластины с малыми периодическими неровностями на поверхности при больших значениях числа Рейнольдса Re, см.рис.

1.1. Будем считать, что набегающий поток плоскопараллельныйсо скоростью U0 = (1, 0).Рисунок 1.1Как уже было сказано во Введении, эта задача описывается системой уравнений Навье–Стокса и неразрывности, которая в нестационарном случае имеет следующий вид:ε−2/3 ∂U + U, ∇U = −∇p + ε2 4U,∂t∇, U = 0,(1.1)где U = (u, v) — это вектор скорости, p — давление и ε = Re−1/2 —малый параметр.

Характеристики

Список файлов диссертации