Диссертация (1137359), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

Граничные условия.Из граничных условий (2.6), (2.7) имеем:III uI1 θ=µ +uII+u1 τ =01 y=0 = 0,v2I θ=µ +v2II τ =0 +v2III y=0 = 0. (2.32)IIIФункция uI1 зависит от быстрой переменной ξ, а функции uII1 и u1 —не зависят. Следовательно они удовлетворяют граничным условиямпо отдельности:uI1 θ=µ = 0,III uII+u1 τ =01 y=0 = 0.(2.33)Функции v2I и v2II зависят от быстрой переменной ξ, а функция v2III —не зависит.

Следовательно они удовлетворяют граничным условиямпо отдельности:v2I θ=µ + v2II τ =0 = 0,v2III y=0 = 0.(2.34)Следовательно, граничные условия на нижней грани для функций u∗1 и v2∗ имеют следующий вид:u∗1 θ=µ=uI1 θ=µ+uII1 τ =0+uIII1 y=0f 00 (0)∂u0 =µ √ ,+µ∂τ τ =0xv2∗ θ=µ = v2I θ=µ + v2II τ =0 + v2III y=0 = 0.(2.35)(2.36)На верхней грани функция u∗1 :√u∗1 θ→∞ ∼ θf 00 (0)/ x,(2.37)откуда получаем:∂u∗1 f 00 (0)→ √ ,∂θ θ→∞x∂u∗1 → 0,∂ξ θ→∞(2.38)а для функции v2∗ справедливы следующие соотношения:v2∗ θ→∞ → v2II τ =0 .(2.39)100На левой и правой грани граничные условия для функции u∗1 имеютследующий вид:∗00∂uf(0)1→ 0,(2.40)u∗1 ξ→−∞ → θ √ ,∂ξ ξ→∞xа для функции v2∗ :v2∗ ξ→−∞→ 0,∂v2 ∗ → 0.∂ξ ξ→∞(2.41)Для функции v2II граничные условия выглядят следующим образом:v2II τ →∞→ 0,v2II x→−∞→ 0,∂v2II → 0.∂ξ ξ→∞(2.42)Для функции v2II граничные условия имеют видv2III y→∞ → 0,v2II x→−∞ → 0.Теорема 2.1 доказана.Отметим, что мы будем решать систему уравнений (2.12) численно с помощью метода установления.

Это означает, что формально вместо системы уравнений (2.12) мы рассматриваем ∗∗∗II ∂u∂u∂u∂p∂ 2 u∗11112∗∗+ u1+ v2=−+,∂t∂ξ∂θ∂ξ τ =0∂θ2∂u∗1 ∂v2∗+= 0,∂ξ∂θ(2.43)и решаем ее численно на больших временах (т.е. при большом количестве итераций). Если полученное решение стабилизируется, значит мы нашли стационарное решение системы (2.43) (т.е. решениесистемы (2.12)).

В случае отсутствия стабилизации, необходимо рассматривать исходно нестационарную задачу, которая будет описы-101ваться нестационарной системой уравнений Навье–Стоксаε−2/3 ∂U + U, ∇U = −∇p + ε2 ∆U,∂t∇, U = 0.(2.44)Наличие коэффициента ε−2/3 перед производной по времени в (2.44)обусловлено тем, чтобы в уравнения тонкого пограничного слоя производная по времени входила без коэффициентов, см. (2.43) (см. также § 1 Главы 1).Для задачи (2.44), (2.6), (2.7) справедлива следующая теорема.Теорема 2.2* . Пусть x > δ > 0. Тогда формальное асимптотическое решение задачи (2.44), (2.6), (2.7) имеет вид√(t,x,τ)+ O(ε2/3 ),u(t, x, y) = f 0 (τ / x) + ε1/3 uI1 (t, x, ξ, θ) + uII1v(t, x, y) = ε2/3 v2I (t, x, ξ, θ) + v2II (t, x, ξ, τ ) + O(ε),p(t, x, y) = p0 + ε2/3 pII3 (t, x, ξ, τ ) + O(ε),√где θ = y/ε4/3 , τ = y/ε, ξ = (x − x0 )/ε, а f (τ / x) — функцияБлазиуса.f 00 (0)∗III∗IФункции u1 = u1 + θ √ ,v2 = v2 + v2 , описывающиеτ =0xтечение в тонком погранслое, являются решением системы уравнений пограничного слоя Прандтля с индуцированным давлением: ∗∗∗II ∂u∂u∂u∂p∂ 2 u∗1 1 + u∗1 1 + v2∗ 1 = − 2 +,∂t∂ξ∂θ∂ξ τ =0∂θ2(2.45)∗∗∂u∂v12+= 0,∂ξ∂θu∗1 θ=µf 00 (0)=µ √ ,x∂u∗1 → 0,∂ξ θ→∞*v2∗ θ=µu∗1 ξ→−∞См.

Замечание 1.1 на стр. 35.∂u∗1 f 00 (0)= 0,→ √ ,∂θ θ→∞xf 00 (0)∂u∗1 →θ √ ,→ 0.∂ξ ξ→∞x(2.46)102Функция v2II , описывающая течение в классическом погранслое, является решением уравнения типа Рэлея∂ε1/3 ∆ξ,τ∂tv2II τ =0Z√000√x)f(τ/= 0,v2II dξ + f 0 (τ / x)∆ξ,τ v2II − v2IIx(2.47)II ∂v2 → 0, (2.48)= lim v2∗ , v2II τ →∞ → 0, v2II ξ→−∞ → 0,θ→∞∂ξ ξ→∞где ∆ξ,τ =∂2∂2+. Давление pII2 определяется из (2.16).22∂ξ∂τДоказательство Теоремы 2.2 аналогично доказательству Теоремы 2.1.§ 3.Алгоритм численного решения ирезультаты его использованияАлгоритм нахождения решения задачи (2.5), (2.6), (2.7) следующий:1.

Найти функции u∗1 , v2∗ , описывающее течение в тонком пограничном слое, решив задачу (2.12), (2.13) (см. п. 3.1 данногопараграфа).2. Найти lim ve2∗ , являющийся граничным условием для задачиθ→∞(2.14), (2.15).3. Найти функцию ve2II , описывающую осцилляции в классическом пограничном слое, решив задачу (2.14), (2.15) (см. п. 4.2из § 4 Главы 1).1033.1.Алгоритм численного решения системы уравненийтонкого пограничного слояМы будем решать задачу (2.12), (2.13) методом установления,т.е.

фактически вместо системы уравнений (2.12) мы будем рассматривать систему (2.45). Для удобства численного счета, мы будем решать задачу (2.12), (2.13) в области с выровненной границей (см.Замечание 2.1 к Теореме 2.1), т.е. будем решать в переменных (ξ, θ̂),где θ̂ = θ − µ. В этих переменных задача (2.45) имеет следующийвид (см. (2.17), (2.18)): ∗∂u∗∂ 2 u∗∂u∂µ ∂u∗∂u∗ ∂pII2∗∗−+u−+v+= 0,∂t∂ξ∂ξ ∂ θ̂∂ξ τ̂ =0 ∂ θ̂2∂ θ̂∂v ∗ ∂u∗ ∂µ ∂u∗−+= 0,∂ξ∂ξ ∂ θ̂∂ θ̂u∗ θ̂=0 = v ∗ θ̂=0 = 0,f 00 (0) ∂µf 00 (0)∂u∗ ∂u∗ → √→ √ ,,∂ξ θ̂→∞x ∂ξx∂θ̂θ̂→∞00∗00f(0)∂uf(0)∂µ√u∗ ξ→−∞ → θ̂ √ ,→,∂ξ ξ→∞xx ∂ξ ξ→∞(2.49)(2.50)где u∗ = u∗1 θ=θ̂+µ , v ∗ = v2∗ θ=θ̂+µ . Слагаемое ∂u∗ /∂t в (2.49) обусловлено использованием метода установления. В качестве начальногоусловия для (2.49) мы выбрали00θ̂f(0)ut=0 = √θ̂ +µ .xθ̂ + 1(2.51)Для решения полученной задачи (2.49) выразим из второгоуравнения системы функцию v ∗ :∗Zθ̂ v =0∂µ ∂u∗ ∂u∗−∂ξ ∂ θ̂0∂ξdθ̂0 .(2.52)104Из выражения для давления (2.16) имеем:00f(0)f 00 (0) ∗ ∂pII2 II√√ v θ→∞ .=−v=−2∂ξ τ =0x τ =0x(2.53)Подставляя полученные равенства (2.52) и (2.53) в (2.49), получаемуравнение на функцию u∗ : ∗∗∗∂u∗∂µ∂uf 00 (0) ∗ ∂ 2 u∗∂u∗ ∂u∗+v+u−− √ v θ→∞ −= 0.

(2.54)∂t∂ξ∂ξ ∂ θ̂x∂ θ̂∂ θ̂2Полученную задача (2.54), (2.50), (2.51) мы будем решать с помощью явной разностной схемы (ввиду легкости ее распараллеливания). Область, в которой ищется решение, является неограниченной: (−∞, ∞) × [0, ∞). Однако, для численного счета можно ограничиться конечной областью [−ξmax , ξmax ] × [0, θ̂max ], где ξmax = 50,θ̂max = 30. Отметим, что если взять меньшие значения ξmax , то этоможет привести к неустойчивости, см. [95].Также заметим, что функция u∗ не ограничена на бесконечно√сти: u∗ θ̂→∞ ∼ (θ̂+µ)f 00 (0)/ x.

Соответственно, можно ввести новую√функцию H = u∗ − (θ̂ + µ)f 00 (0)/ x, как было сделано в п. 4.1 из§ 4 Главы 1, но можно этого не делать, ввиду того что мы считаем в√ограниченной области, положив u∗ θ̂=θ̂max ∼ (θ̂max + µ)f 00 (0)/ x, чтомы и сделаем.Введем сетку ω с шагами hξ , hθ , ht на областиΩ = [−ξmax , ξmax ] × [0, θ̂max ] × [0, Tmax ],в которой мы будем искать решение:nω = (i, j, k) : ξi = −ξmax + ihξ , θ̂j = jhθ , tk = kht ,i = 0, . . . , N ;j = 0, . . . , M ;N = 2ξmax /hξ ,k = 0, . . .

, K;M = θ̂max /hθ ,oK = Tmax /ht .105kvi,jВведем сеточные функции: µi = µ(ξi ), uki,j = u∗ tk , ξi , θ̂j ,= v ∗ tk , ξi , θ̂j . Введем следующие обозначения:µi+1 − µi−1,µ̂i =2hξdeff 00 (0)F = √ ,xdefdefkkαi,j= vi,j− uki,j µ̂i ,kи для любой сеточной функции fi,j:kfi,j+ kkf f+def i,ji,j,=2kfi,j− kkf f−def i,ji,j.=2Тогда явная разностная схема для задачи (2.54), (2.50), (2.51)будет иметь видuk+1i,ju0i,j= ukuki,j − uki−1,j− uki,jk − i+1,j− ht+ ui,j+hξhξ uk uk − uki,j−1− uki,jk − i,j+1k + i,j+ αi,j++ αi,jhξhθuki,j+1 − 2uki,j + uki,j−1k+ ht F vi,M + ht,h2θuki,j= F θ̂j ++uki,jθ̂jθ̂j + 1µi ,uk0,j = F θ̂j ,kuki,0 = 0, vi,0= 0,uki,M = F (µi + θ̂M ),ukN,j = ukN −1,j + hξ F µ̂N ,kнаходится из интеграла (2.52) с помощью численногоа функция vi,jинтегрирования методом трапеций, см.

[43].Легко показать, что построенная разностная схема удовлетворяет принципу максимума (см. [42]), и, следовательно, устойчива.1063.2.Результаты численного моделирования течения втонком пограничном слоеПриведем результаты численного решения. Сначала рассмотрим задачу обтекания неровности типа горба (см. (2.4)).

Функция,описывающая неровность имеет видµ(ξ) = Ae−ξ2/4.Характер течения в целом аналогичен задачи обтекания пластины спериодическими неровностями, рассмотренной в работах [49; 50; 54].Существует некоторая критическая амплитуда горба A∗ , такая, чтопри A < A∗ течение ламинарное и стационарное, а при A > A∗ в течении начинают образовываться вихри, см. рис. 2.3. Также отметим,что полученные результаты сильно зависят от выбора начальногоусловия, и в некоторых случаях может наблюдаться образованиевихря на левой стенке горба и его движение вверх по течению.В задаче обтекания угла (см. (2.2)) и ступеньки (см. (2.3)) наблюдается аналогичные результаты: при малом A (A = tan(α)) течение ламинарное (см. рис. 2.4 а)), а при больших — в потоке образуется вихрь, см.

рис. 2.4 б) и рис. 2.5.Можно проследить сходство между приведенными рисункамии фотографиями 38, 39 из [93].Уравнение (2.14) (типа уравнения Рэлея) в погранслое Прандтля подробно исследовано в Главе 1 для случая периодических неровностей и доказана его корректная разрешимость. В случае локализованных неровностей, рассматриваемых в этой главе, ситуация таже.107а) t = 0;б) t = t1 > 0;в) t = t2 > t1 ;г) t = t3 > t2 ;Рисунок 2.3 – Обтекание горба при A = 4.0 > A∗108а) A = 0.3, t > 0;б) A = 4.5, t > 0.Рисунок 2.4 – Обтекание угла при различных A = tan(α)Рисунок 2.5 – Обтекание ступеньки A = 4.5, t > 0.109Глава 3Задачи о течении жидкости внутри трубыи двумерного канала с малымипериодическими неровностями на стенках§ 1.Постановка задачи о течении в трубе смалыми периодическими неровностями настенкеМы рассматриваем течение вязкой несжимаемой жидкости ваксиально–симметричной трубе радиуса R0 (см.

рис. 3.1) с малыми периодическими неровностями на стенке при больших значениях числа Рейнольдса Re. Для определенности, далее будем считатьчто координатная ось Oz совпадает с осью трубы (см. рис. 3.1) исонаправлена с направление основного течения — течения Пуазейля(см., например, [18]).

Неровности на стенке описываются следующимравенством:rs = R0 − ε4/5 µ z/ε2/5 ,(3.1)где ε, как обычно, малый параметр, ε = Re−1/2 , а функция µ(ξ)является 2π — периодичной, гладкой и имеющей нулевое среднее (всмысле Определения 1.1 из Главы 1, см. стр. 31), т.е.Z2πµ(ξ) dξ = 0.0110Рисунок 3.1 – Течение в аксиально–симметричной трубеДанная задача описывается системой уравнений Навье–Стоксаи неразрывности, которая в цилиндрических координатах (r, ϕ, z) сучетом аксиальной симметрии (т.е., вектор скорости U = (v, w, u) идавление p не зависят от угла ϕ) имеет следующий вид (см.

Характеристики

Список файлов диссертации