Диссертация (1137359), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

[19]):2∂v∂v∂p1∂∂v∂vvv+u= − + ε2r+ 2− 2 ,∂r∂z∂rr ∂r ∂r∂zr∂u∂u∂p∂u∂ 2u2 1 ∂v+u=−+εr+,2∂r∂z∂zr∂r∂r∂z 1 ∂ rv + ∂u = 0.r ∂r∂z(3.2)Система уравнений (3.2) дополняется следующим граничным условием (условием прилипания к стенке):U= 0.(3.3)r=rsДалее используются обозначения, введенные в начале Главы 1:через ge(·, ξ) обозначается осциллирующая часть функции g(·, ξ);Rξ· dξ обозначается первообразная, нечерез g(·) — средняя; черезимеющая среднего, подробнее см. Определения 1.1 и 1.2 на стр. 31.111§ 2.Формальное асимптотическое решениезадачи о течении в трубеВведем новую переменную:ρ = R0 − r.(3.4)В переменных (z, ρ) равенство (3.1), описывающее стенку трубы,примет вид ρs = ε4/5 µ (см.

рис. 3.2).Введем погранслойные переменные (характерный масштаб):θ=ρε,4/5τ=ρε,2/5ξ=zε2/5.Мы будем искать решение задачи (3.2), (3.3) в следующем виде:u(z, ρ) = u0 (ρ) +v(z, ρ) =p(z, ρ) =X2(i+1) uIi (ξ, θ)ε 5+uIIi (ξ, τ )+uIIIi (ξ, ρ),i>1X 2(i+1) IIIIIIε 5vi (ξ, θ) + vi (ξ, τ ) + vi (ξ, ρ) ,(3.5)i>2X 2(i+1)IIIIII2p0 −ε p̂0 z + ε 5 pi (ξ, θ)+pi (ξ, τ )+pi (ξ, ρ) ,i>1где u0 (ρ) — профиль скорости Пуазейля (см., например, [18]):u0 (ρ) = p̂0R02 − r2,4(3.6)а p0 и p̂0 — некоторые положительные постоянные.Отметим, что мы пренебрегаем зависимостью от переменной zв поправках к скоростям и давлению в разложении (3.5).

Вообщеговоря, эти поправки теоретическими могут зависеть от z, однаков нашем случае (µ = µ(ξ)) это предположение не подтвердилось,и чтобы не усложнять дальнейшее изложение, мы эту зависимостьопускаем сразу.112Рисунок 3.2 – Двухпалубная структура и замена координат, r = R0 —уравнение границы невозмущенной трубыНаше решение также имеет двухпалубную структуру, состоящую из тонкого пристеночного слоя («нижней палубы»), толстогопограничного слоя («верхней палубы») и области внешнего невозмущенного течения (в нашем случае — течения Пуазейля).

Как ираньше, верхний индекс у функций в разложении (3.5) обозначаетномер палубы, в которой они определены: функции с верхним индексом I определены в тонком пристеночном слое, функции с верхниминдексом II — в толстом пограничном слое, а функции с верхниминдексом III определены в области внешнего течения. Все функции,зависящие от ξ являются 2π-периодическими.Функции с верхними индексами I и II мы будем называть погранслойными функциями в смысле определения 1.3 из Главы 1 (см.стр. 33).

Справедлива следующая теорема.Теорема 3.1* . Формальное асимптотическое решение задачи (3.2),(3.3) имеет следующий вид:u(z, ρ) = u0 (ρ) + ε4/5 uI1 (ξ, θ) + uIII1 +III+ ε6/5 uI2 (ξ, θ) + ueII(ξ,τ)+u+ O(ε8/5 ),22v(z, ρ) = ε6/5 ve2I (ξ, θ) + ve2II (ξ, τ ) + O(ε8/5 ),12/5p(z, ρ) = p0 + ε2 p01 z + ε8/5 peII),3 (ξ, τ ) + O(ε*См. Замечание 1.1 на стр. 35.(3.7)113где θ = ρ/ε4/5 , τ = ρ/ε2/5 , ξ = z/ε2/5 , ρ = R0 −r, а u0 (ρ) — скоростьПуазейля (см. (3.6)).Функцииu∗1=uI1+uIII1+θu00 (0),v2∗=ve2I+ve2II (3.8)τ =0являются решением краевой задачи (системы уравнений Прандтляс индуцированным давлением)∗∗∂ 2 u∗1∂u∂pe∂u3 11∗∗u1+− v2=−,∂ξ∂θ∂ξ τ =0∂θ2∂u∗1 ∂v2∗−= 0,∂ξ∂θu∗1 θ=µ = µu00 (0),(3.9)v2∗ θ=µ = 0, u∗1 ξ =u∗1 ξ+2π , v2∗ ξ = v2∗ ξ+2π ,du0 ∂u∗1 ∂u∗1 →,→ 0.∂θ θ→∞dρ ρ=0∂ξ θ→∞(3.10)Функция ve2II является решением задачи Дирихле для оператора Лапласа∂ 2 ve2II ∂ 2 ve2II+= 0,(3.11)∂τ 2∂ξ 2ve2II τ →∞ → 0, ve2II ξ = ve2II ξ+2π , ve2II τ =0 = lim ve2∗ ,(3.12)θ→∞а функция ueII2 имеет следующий вид:ueII2Zξ=∂ev2IIdξ.∂τ(3.13)Функция pe3 (ξ, τ ) имеет вид " ZξZξ II #du∂ev20IIpeII=dξ .vedξ−τ32dρ ρ=0∂τ(3.14)114Функция uIII1 является константой и находится из следующего равенства:∗0uIII(3.15)1 = lim (u1 − θu0 (0)).θ→∞Замечание 3.1.

Если сделать замену вертикальной переменной, выравнивающую границу ρ̂ = rs − r, то асимптотическое решение (3.7)примет следующий вид:du0+u = u0 (ρ̂) + ε++µdρ̂III+ ε6/5 uI2 (ξ, θ̂) + ueII(ξ,τ̂)+u+ O(ε8/5 ),22v = ε6/5 ve2I (ξ, θ̂) + ve2II (ξ, τ̂ ) + O(ε8/5 ),4/5uI1 (ξ, θ̂)uIII112/5p = p0 + ε2 p01 z + ε8/5 peII),3 (ξ, τ̂ ) + O(εгде θ̂ = ρ̂/ε4/5 , τ̂ = ρ̂/ε2/5 . Краевая задача (3.9), (3.10) примет следующий вид: ∗∗∗∂udµ∂u∂u∂ 2 u∗1∂pe3111∗∗u1−+− v2=−,2∂ξdξ ∂ θ̂∂ξ τ̂ =0∂θ̂∂θ̂(3.16)∂u∗1 dµ ∂u∗1 ∂v2∗−−= 0,∂ξdξ ∂ θ̂∂ θ̂u∗1 θ̂=0 = v2∗ θ̂=0 = 0, u∗1 ξ =u∗1 ξ+2π , v2∗ ξ = v2∗ ξ+2π ,du0 ∂u∗1 dµ du0 ∂u∗1 →,→.dρ̂ ρ̂=0∂ξ θ̂→∞dξ dρ̂ ρ̂=0∂ θ̂ θ̂→∞(3.17)Краевая задача (3.11), (3.12) и выражение для давления (3.14) неизменят свой вид, а равенство (3.15) примет вид∗0uIII1 = lim (u1 − (θ̂ + µ)u0 (0)).θ̂→∞Для доказательства Теоремы 3.1 нам потребуются следующиеЛеммы (аналоги Лемм 1.1–1.3 из Главы 2, см.

стр. 37).115Лемма 3.1. Пусть функции f I (ξ, θ), g II (ξ, τ ) — погранслойныефункции (в смысле определения 1.3 из Главы 1, см. стр. 33). Тогдасправедливо следующее асимптотическое разложение:IIIII f (ξ, θ)g (ξ, τ ) = g II ∂g f I+f I + ε2/5 θτ =0∂τ τ =02 2 II θ∂g f I + O(ε6/5 ).

(3.18)+ ε4/522 ∂τ τ =0Лемма 3.2. Асимптотическое разложение произведения функцийhIII (ξ, ρ)f I (ξ, θ) имеет следующий вид:hIII (ξ, ρ)f II (ξ, θ) = hIII III ∂h f I+f I + ε4/5 θ∂ρ ρ=0ρ=02 2 III θ∂h f I + O(ε12/5 ), (3.19)+ ε8/522 ∂ρ ρ=0где функция f I (ξ, θ) — погранслойная функция в смысле определения 1.3.Лемма 3.3. Асимптотическое разложение произведения функцийhIII (ξ, ρ)g II (ξ, τ ) имеет следующий вид:hIII (ξ, ρ)g II (ξ, τ ) = hIII III ∂h g II +g II + ε2/5 τ∂ρ ρ=0ρ=02 2 III τ∂h g II + O(ε6/5 ).

(3.20)+ ε4/522 ∂ρ ρ=0где функция g II (ξ, τ ) — погранслойная функция в смысле определения 1.3.Доказательство приведенных Лемм 3.1–3.3 очевидно и не будетприводиться здесь подробно.Теперь перейдем к доказательству Теоремы 3.1.116Доказательство Теоремы 3.1. Мы ищем решение около стенки ввиде разложения (3.5).1. Функции, описывающие течение в области вне пограслоев (III).Подставляя u, v и p из разложения (3.5) в систему уравнений (3.2),полагая τ → ∞ и θ → ∞, собирая коэффициенты при одинаковыхстепенях малого параметра ε и приравнивая их к нулю, мы получимуравнения на функции, описывающее течение в области вне пограничных слоев.При ε2/5 имеем∂pIII∂uIII1+ u0 1 = 0,∂ξ∂ξ∂uIII1= 0.∂ξ(3.21)Из (3.21) следует, что ueIIIeIII1 = 0 и p1 = 0 (см. утверждение 3 из (1.5)на стр. 31).

При ε4/5 имеем∂v2III∂pIII1+ u0= 0,−∂ρ∂ξ∂pIII∂uIII2+ u0 2 = 0,∂ξ∂ξ∂uIII2= 0.∂ξ(3.22)Осредняя (в смысле Определения 1.1, см. стр. 31) первое уравнениев системе (3.22), получаем∂pIII− 1 = 0.∂ρСледовательно pIII1 = const, и без ограничения общности можно положить pIIIe2III = 0, peIII1 = 0. В итоге, из (3.22) получаем v2 = 0, иueIII2 = 0.Рассматривая коэффициенты при ε6/5 и используя ранее полученные результаты, имеем∂pIII∂v3III2−+ u0= 0,∂ρ∂ξ∂uIIIdu0 ∂pIII(3.23)u0 3 − v III+ 3 = 0,2∂ξdρ∂ξ∂uIII∂v IIIv III322−+= 0.∂ξ∂ρR0 − ρ117Осредняя каждое уравнение в (3.23), мы получаем следующую систему уравнений:∂pIII− 2 = 0, ∂ρdu0−v III= 0,(3.24)2dρ∂v IIIv III22−+= 0.∂ρR0 − ρИз второго уравнения системы (3.24) следует, что v III= 0 (т.к.2du06= 0 из постановки задачи, см.

(3.6)). Из первого уравненияdρсистемы (3.24) получаем, что pIII2 = const и, аналогично, без ограничения общности мы можем положить pIII2 = 0. Следовательно,осциллирующая часть системы (3.23) имеет следующий вид:∂v3IIIu0= 0,∂ξ∂uIII∂pIII3u0+ 3 = 0,∂ξ∂ξIII∂u 3 = 0,∂ξe3III = 0, и peIIIоткуда следует, что ueIII3 = 0, v3 = 0.При ε8/5 , мы получаем систему, похожую на (3.23):∂pIII∂v4III3−+ u0= 0,∂ρ∂ξ∂uIIIdu0 ∂pIIIu0 4 − v III+ 4 = 0,3∂ξdρ∂ξIIIIIIIII∂u∂vv3 4 − 3 += 0.∂ξ∂ρR0 − ρ(3.25)Проделывая преобразования по аналогии с системой (3.23), мы поIIIлучаем, что v IIIeIIIe4III = 0, и peIII3 = 0, p3 = 0, u4 = 0, v4 = 0.118При ε2 , мы имеем∂pIII∂v5III4−+ u0= 0,∂ρ∂ξ∂uIII∂pIII1 du0 d2 u055III du0u0− v4+− p01 +−= 0,2∂ξdρ∂ξRdρ0 − ρ dρ∂uIII ∂v IIIv III4 5 − 4 += 0.∂ξ∂ρR0 − ρ(3.26)Используя явный вид функции u0 (ρ) (см.

(3.6)) легко получаем, что1 du0 d2 u0−= 0.−p01 +R0 − ρ dρdρ2Следовательно, система (3.26) подобна системам (3.25) и (3.23). ДейIIIствуя по аналогии, получаем v IIIe5III = 0, иeIII5 = 0, v4 = 0, p4 = 0, upeIII5 = 0.При ε12/5 , мы опять получаем систему, подобную (3.23)–(3.26):∂pIII∂v6III5−+ u0= 0,∂ρ∂ξ∂uIII∂pIII6III du0− v5+ 6 = 0,u0∂ξdρ∂ξIIIIIIIII∂u∂vv5 6 − 5 += 0.∂ξ∂ρR0 − ρ(3.27)IIIe6III = 0, и peIIIАналогично получаем v IIIeIII6 = 0.6 = 0, v5 = 0, p5 = 0, uПри ε14/5 мы имеем∂pIII∂v7III6−+ u0= 0,∂ρ∂ξ∂uIII∂pIII∂ 2 uIII∂uIII17711III du0(3.28)u0− v6+=−,2∂ξdρ∂ξ∂ρ∂ρR−ρ0IIIIIIIII∂u∂vv6 7 − 6 +=0∂ξ∂ρR0 − ρс граничным условием v III6 (0) = 0, см. подробнее (3.57) в пункте 4данного доказательства.

Осреднение последнего уравнения систе-119мы (3.28) дает∂v IIIv III66−= 0.∂ρR0 − ρРешением этого уравнения является функция v III6 = C/(R0 − ρ),где C = const. Из граничного условия следует, что C = 0, т.е.v III6 ≡ 0. Осредняя первое уравнение системы (3.28), мы получаем pIII6 = const, и без ограничения общности мы можем положитьpIII6 = 0. Осреднение второго уравнения системы (3.28) приводит кследующему уравнению на функцию uIII1 :∂ 2 uIII∂uIII11− 1= 0.2∂ρ∂ρ R0 − ρЕго решением является следующая функция:uIII1 = −C1 ln(R0 − ρ) + C2 ,где C1 и C2 — некоторые константы. Очевидно, что функция uIII1должна быть ограничена при ρ = R0 , следовательно, C1 = 0. Витоге, получаемuIII(3.29)1 = C2 ,где неизвестная постоянная C2 определена ниже, см. (3.56) в пункте 4 данного доказательства.2. Функции, описывающие течение в толстом погранслое (II).Подставляя u, v, и p из разложения (3.5) в систему уравнений (3.2),полагая θ → ∞, используя результаты, полученные в пункте 1 настоящего доказательства, а также используя Лемму 3.3, собирая коэффициенты при различных степенях малого параметра ε и приравнивания их у нулю, мы получаем уравнения на функции, описывающие течение в толстом пограничном слое (на «верхней палубе»).При ε2/5 мы имеем−∂pII1= 0,∂τ∂uII1= 0.∂ξ(3.30)120IIСледовательно, ueII1 = 0 и p1 = 0 (т.к., согласно Определению 1.3, длялюбой погранслойной функции giII на бесконечности должно выполняться условие giII τ →∞ → 0, т.е.

Характеристики

Список файлов диссертации