Диссертация (1137359), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

в данном случае — pII1 τ →∞ → 0).При ε4/5 мы имеем∂pII2− ∂τ = 0,(3.31)IIII∂u∂v 2 − 2 = 0.∂ξ∂τИз первого уравнения системы (3.31), опять же в силу Определения 1.3, получаем, что pII2 = 0. Осреднение последнего уравнениясистемы (3.31) дает∂v II2= 0.(3.32)∂τСледовательно, v II2 = 0, и∂uII∂ev II2= 2.∂ξ∂τПри ε6/5 мы получаем следующую систему:v2II ∂pII† ∂eu0− 3 = 0,∂ξ∂τ†II∂pII† ∂u2II du0+ u0+ 3 = 0,−ev2dτ∂ξ∂ξ∂uII ∂v II veII 3 − 3 + 2 = 0.∂ξ∂τR0(3.33)(3.34)гдеdefu†0 (τ ) = τ u00 (0).Осредняя каждое уравнение системы (3.34), имеем∂pII3= 0,∂τIIСледовательно, v II3 = 0 и p3 = 0.∂v II3= 0.∂τ(3.35)121Подставляя (3.33) в осциллирующую часть системы (3.34), мыполучаем следующую систему уравнений:v2II ∂ peII† ∂e3u 0 ∂ξ − ∂τ = 0,(3.36)†IIII∂ev∂pedu−ev2II 0 + u†0 2 + 3 = 0,dτ∂τ∂ξПродифференцировав последнее уравнение системы (3.36) по ξ, апервое — по τ , получаем2 IIe2∂ 2 peII†∂ v3u0 ∂ξ 2 − ∂ξ∂τ = 0,(3.37)††II2 †II2 II2 II∂evdu∂dudu∂ev∂vepe3− 2 0 − ve2II 20 + 0 2 + u†0 22 += 0,∂τ dτdτdτ ∂τ∂τ∂τ ∂ξУчитывая, что d2 u†0 dτ 2 = 0, сложив уравнения системы (3.37), получаем уравнение на функцию ve2II :∂ 2 ve2II ∂ 2 ve2II+= 0.∂τ 2∂ξ 2(3.38)Из второго уравнение системы (3.36) получаем выражение для давления:†∂ peIIv2II† ∂e3II du0= ve2− u0,∂ξdτ∂τследовательно, учитывая (3.35), имеем" Zξ0peII3 = u0 (0)Rξve2II dξ − τZξ∂ev2II∂τ#dξ ,(3.39)где обозначает первообразную, не имеющую среднее, см.

Определение 1.2 на стр. 32.122При ε8/5 мы имеемv3IIv2II ∂pII† ∂e† ∂eu0+ u1− 4 = 0,∂ξ∂ξ∂τ††IIII∂pII† ∂u3† ∂u2II du0II du1−ev3− ve2+ u0+ u1+ 4 = 0,dτdτ∂ξ∂ξ∂ξ∂v4II ve3II τ ve2II∂uII4−++ 2 = 0.∂ξ∂τR0R0(3.40)гдеdefIIIu†1 (τ ) = τ 2 u000 (0)/2 + uII1 + u1 (0).(3.41)Осредняя каждое уравнение системы (3.40), получаем∂pII4= 0,∂τ∂v II4= 0.∂τIIСледовательно, v II4 = 0 и p4 = 0.При ε2 мы получаем системуv4IIv3IIv2II ∂pII∂ev2II† ∂e† ∂e† ∂e5IIu0+ u1+ u2−− ve2= 0,∂ξ∂ξ∂ξ∂τ∂τdu†0du†1∂u†2IIIIIIv4− ve3− ve2+−edτdτ∂τIIIIII∂pII∂ 2 uII† ∂u3† ∂u2† ∂u451+u+u+u+=,1202∂ξ∂ξ∂ξ∂ξ∂τ∂uII∂v5II ve4II τ ve3II τ 2 ve2II5−++ 2 + 3 = 0,∂ξ∂τR0R0R0(3.42)гдеdefIIIu†2 (ξ, τ ) = uII2 + u2 (0).Осреднение каждого уравнения системы (3.42) дает∂ 2 uII1= 0,2∂τ∂v II5= 0.∂τ(3.43)123IIСледовательно, v II5 = 0 и u1 = C3 τ + C4 .

Из определения погранслойной функции 1.3 имеем uII1 τ →∞ → 0, откуда следует, что C3 =C4 = 0, и, следовательно, uII1 = 0.При ε12/5 из уравнения неразрывности мы имеем∂v6II ve5II τ ve4II τ 2 ve3II τ 3 ve2II∂uII6−++ 2 + 3 + 4 = 0.∂ξ∂τR0R0R0R0После осреднения, получаем v II6 = 0.3. Функции, описывающие течение в тонком погранслое (I).Подставляя u, v и p из разложений (3.5) в систему уравнений (3.2),учитывая результаты, полученные в пунктах 1 и 2 настоящего доказательства, а также применяя Леммы 3.1 и 3.2, собирая коэффициенты при различных степенях малого параметра ε, и приравниваяих к нулю, мы получаем последовательность систем уравнений нафункции, описывающие течение в тонком пограничном слое («нижней палубе»).При ε0 имеем∂pI1= 0.(3.44)∂θСледовательно, pI1 = 0, т.к.

согласно Определению 1.3 (см. стр. 33)для любой погранслойной функции fiI на бесконечности должно выполняться условие fiI θ→∞ → 0, т.е. в данном случае — pI1 θ→∞ → 0.При ε2/5 получаем∂pI2= 0,∂θ∂uI1 ∂v2I−= 0.∂ξ∂θАналогично, pI2 = 0. Осреднение второго уравнения дает∂v I2= 0,∂θи, аналогично в силу определения 1.3, получаем, что v I2 = 0.(3.45)124При ε4/5 имеем∂pI3= 0,∂θ∂uI2 ∂v3I−= 0.∂ξ∂θ(3.46)Из первого уравнения и определения 1.3 следует, что pI3 = 0.

Осреднение второго уравнения дает∂v I3= 0,∂θи, аналогично в силу определения 1.3, получаем, что v I3 = 0.При ε6/5 получаем следующую систему:∂pI4−= 0,∂θ I  ∂uI1∂uI1 IIII ∂u1III 0θu0 (0) ∂ξ + u1 + u1 ∂ξ − ve2 + ve2 τ =0 ∂θ −∂ 2 uI1I 0= 0,−ev2 u0 (0) −∂θ2∂uI∂v IveI 3 − 4 + 2 = 0.∂ξ∂θR0(3.47)Аналогично, из первого уравнения следует pI4 = 0, а осреднениевторого уравнения дает v I4 = 0.Из (3.39) мы имеемII ve2 ∂pe3 u00 (0) =.τ =0∂ξ τ =0(3.48)Подставляя (3.48) во второе уравнения в системе (3.47), упрощаяего, получаемuI1+θu00 (0)+uIII1 ∂uI1v2Ive2II τ =0−+×∂ξ I∂u1∂pe∂ 2 uI13 0×+ u0 (0) +−= 0, (3.49)∂θ∂ξ τ =0∂θ2125Введем новые функции:defu∗1 = uI1 + θu00 (0) + uIII1 ,defv2∗ = ve2I + ve2II τ =0 .(3.50)(3.51)В итоге, из второго уравнения системы (3.45) и уравнения (3.49)получаем следующую систему уравнений на функции u∗1 , v2∗ . ∗∂u1 ∂v2∗−= 0,∂ξ∂θ∗∗∂ 2 u∗1∂pe∂u∂u3 11∗∗+− v2=−.u1∂ξ∂θ∂ξ τ =0∂θ2(3.52)При ε8/5 из уравнения неразрывности имеемve3I∂uI4 ∂v5I= 0.−+∂ξ∂θR0После осреднения, получаем v I5 = 0.

Аналогично, из уравнения неразрывности при ε2 имеем:∂uI5 ∂v6I ve2I θ−+ 2 = 0,∂ξ∂θR0и после осреднения получаем v I6 = 0.4. Граничные условия.Из определения функции пограничного слоя 1.3 (см. стр. 33)получаем граничное условие на функцию ve2II :ve2II τ →∞ → 0,а также условие периодичности по ξ:ve2II ξ = ve2II ξ+2π .126Пусть θ → ∞ в (3.51). Тогда имеемve2II τ =0= lim ve2∗θ→∞(т.к. v2I θ→∞ → 0 в силу определения 1.3).Подставляя разложение для (3.5) u и v в граничное условие (3.3)и используя все полученные выше результаты, при ε4/5 получаем00u∗1 θ=µ = uI1 θ=µ + uIII1 + µu0 (0) = µu0 (0),{z}|(3.53)v2∗ θ=µ = ve2I θ=µ + ve2II τ =0 = 0.(3.54)=0, см.

(3.3)а при ε6/5Продифференцировав выражение (3.50) по θ и по ξ, переходяк пределу при θ → ∞, получаем следующие краевые условия нафункцию u∗1 :∂u∗1 → u00 (0),∂θ θ→∞∂u∗1 → 0.∂ξ θ→∞(3.55)Переходя к пределу в выражении (3.50) при θ → ∞, учитывая,что uI1 θ→∞ → 0 (см. определение 1.3 на стр. 33), получаем выражение для определения функции uIII1 :∗0uIII=limu−θu(0).110θ→∞(3.56)Из граничного условия (3.3) при ε12/5 следует, чтоve6I θ=µ + ve6II τ =0 + v III6 ρ=0 = 0при ε14/5 . Осредняя, получаемv III6 ρ=0 = 0.Теорема 3.1 доказана.(3.57)127Решение системы уравнений тонкого пограничного слоя (3.9) впристеночной области могут быть получены как решение соответствующей нестационарной задачи на больших временах (т.е.

методом установления). Если это решение стабилизируется на большихвременах (т.е. при большом числе итераций), это означает что система уравнений (3.9) имеет стационарное решение и мы его нашли.Однако, формально, этот метод означает, что мы рассматриваемнестационарную задачу (3.2). Если решение задачи (3.9) не выходит на стационар на больших временах, то необходимо изначальнорассматривать нестационарную задачу, и выбирать масштаб по времени так, чтобы слагаемое ∂u∗1 ∂t в системе уравнений тонкого пограничного слоя (3.9) имело порядок 1. Легко показать, что такаязадача имеет следующий вид:∂U ε2/5+ U, ∇ U = −∇p + ε2 4U,∂t∇, U = 0.(3.58)Справедлива следующая теорема.Теорема 3.2* .

Формальное асимптотическое решение нестационарной задачи (3.58), (3.3) имеет видu(t, z, ρ) = u0 (ρ) + ε4/5 uI1 (t, ξ, θ) + uIII(t)+1III8/5+ ε6/5 uI2 (t, ξ, θ) + ueII),2 (t, ξ, τ ) + u2 (t) + O(εv(t, z, ρ) = ε6/5 ve2I (t, ξ, θ) + ve2II (t, ξ, τ ) + O(ε8/5 ),12/5p(t, z, ρ) = p0 + ε2 p0 z + ε8/5 peII),3 (t, ξ, τ ) + O(εгде θ = ρ/ε4/5 , τ = ρ/ε2/5 , ξ = z/ε2/5 , ρ = R0 −r, а u0 (ρ) — скоростьтечения Пуазейля. Функции0u∗1 = uI1 + uIII1 + θu0 (0),*См. Замечание 1.1 на стр. 35.v2∗ = ve2I + ve2II τ =0(3.59)128являются решением краевой задачи ∗∗∗II ∂u∂ 2 u∗1∂u∂u∂pe 1 + u∗1 1 − v2∗ 1 = − 3 +,∂t∂ξ∂θ∂ξ τ =0∂θ2∂u∗1 ∂v2∗−= 0,∂ξ∂θu∗1 θ=µ = µu00 (0),(3.60)v2∗ θ=µ = 0,∂u∗1 ∂θ θ→∞u∗1 ξ = u∗1 ξ+2π ,v2∗ ξ = v2∗ ξ+2π ,du0 ∂u∗1 →,→ 0.dρ ρ=0∂ξ θ→∞Функция ve2II является решением задачи Дирихле для оператора Лапласа∂ 2 ve2II ∂ 2 ve2II+= 0,∂τ 2∂ξ 2ve2II τ →∞ → 0, ve2II ξ = ve2II ξ+2π , ve2II τ =0 = lim ve2∗ ,θ→∞а функция ueII2 имеет видueII2Zξ=∂ev2IIdξ.∂τДавление peII3 (t, ξ, τ ) имеет следующий вид: ZξZξ II du∂ev20IIpeII=vedξ−τdξ .32dρ ρ=0∂τФункция ueIII1 (t) определяется из следующего равенства∗0uIII1 (t) = lim (u1 − θu0 (0)).θ→∞Доказательство Теоремы 3.2 аналогично доказательству Теоремы 3.1, приведенному выше.129§ 3.Алгоритм численного решения ирезультаты его использованияАлгоритм нахождения решения задачи (3.2), (3.3) аналогиченалгоритмам, приведенным в § 4 Главы 1 и § 3 Главы 2, и имеетследующий вид.1.

Найти функции u∗1 , v2∗ , описывающее течение в тонком пограничном слое, решив задачу (3.9), (3.10) (см. п. 3.1 данного параграфа).2. Найти lim ve2∗ , являющийся граничным условием для задачиθ→∞(3.11), (3.12).3. Найти функцию ve2II , описывающую осцилляции в толстом пограничном слое, решив задачу (3.11), (3.12) (см. п. 3.2 данногопараграфа).3.1.Течение в тонком пограничном слоеМы будем численно решать краевую задачу на функции, описывающие течение в тонком пограничном слое (3.9), (3.10) методомустановления, т.е. фактически мы решаем задачу (3.60). Для упрощения численного счета мы будем решать задачу (3.9), (3.10) в области с выровненной границей (см.

Замечание 3.1 к Теореме 3.1), т.е.в переменных (ξ, θ̂), где θ̂ = θ − µ. В этих переменных задача (3.60)имеет следующий вид (см. (3.16), (3.17)): ∗∗∗II ∗∂u∂µ∂u∂u∂pe∂ 2 u∗∂u3 ∗∗+u−−v=−+,∂t∂ξ∂ξ ∂ θ̂∂ξ τ̂ =0∂ θ̂∂ θ̂2∂u∗ ∂µ ∂u∗ ∂v ∗−−= 0,∂ξ∂ξ ∂ θ̂∂ θ̂u∗ θ̂=0 = v ∗ θ̂=0 = 0, u∗ ξ = u∗ ξ+2π ,∗∂u∗ ∂u→ u00 (0),∂ξ ∂ θ̂θ̂→∞(3.61)v ∗ ξ = v ∗ ξ+2π ,→θ̂→∞∂µ 0u (0),∂ξ 0(3.62)130где функции u∗ = u∗1 θ=θ̂−µ и v ∗ = v2∗ θ=θ̂−µ , а u0 (ρ) — профиль течения Пуазейля, см. (3.6). Однако, результаты численного счета мыбудем приводить на иллюстрациях, в «старых координатах» (ξ, θ),т.е.

в координатах, в которых граница (стенка трубы) криволинейная.Заменой θ̌ = −θ̂, µ̌ = −µ система уравнений (3.61), (3.62)приводится к виду, аналогичному (с точностью до коэффициентов)уравнениям (1.19), (1.20) для задачи обтекания пластины с периодическими неровностями, рассмотренной в Главе 1.

Характеристики

Список файлов диссертации