Диссертация (1137359), страница 15
Текст из файла (страница 15)
(3.2)), в данной задаче удобнее использовать декартовы координаты: 22∂u∂u∂u∂p∂uu+ 2 ,+v=−+2∂x∂y∂x∂x∂y 2∂v∂v∂p∂ v ∂ 2vu+v=− ++ 2 ,2∂x∂y∂y∂x∂y∂u ∂v+= 0,∂x ∂y(3.69)где U = (u, v) — вектор скорости, p — давление. Система уравнений (3.69) дополняется граничными условиями прилипания к стенкам!0U=.(3.70)±0y=ysМы рассматриваем решение задачи (3.69), (3.70), в котором отсутствует взаимодействие пограничного слоя с внешним течением(это особенность двухпалубной структуры, см.
§ 2 Введения), и, сле-140довательно, в рамках нашей структуры решения отсутствует взаимодействие между пограничными слоями у верхней и нижней стенок. Ввиду этого мы можем строить асимптотическое решение задачи о течении в пристеночной области раздельно у каждой стенки,и, далее мы будем рассматривать течение у только нижней стенки.Введем новую вертикальную переменнуюz = y − ys− .(3.71)В переменных (x, z) стенка канала будет ровной, см. рис. 3.13. Дляdefупрощения дальнейших обозначений, пусть µ(x, ξ) = µ− (x, ξ).Рисунок 3.13 – Замена координат и двухпалубная структура решенияСправедлива следующая теорема (аналог Теоремы 3.1).Теорема 3.3* .
Формальное асимптотическое решение задачи(3.69), (3.70) имеет следующий вид:du0III+ O(ε6/5 ),u(x, z) = u0 (z) +ε4/5 uI1 (x, ξ, θ) + uII1 (τ )+u1 (z) + µdz8/5v(x, z) = ε6/5 v2I (x, ξ, θ) + ve2II (x, ξ, τ ) + v III),2 (z) + O(εIIp(x, z) = p0 + ε2 p0 x + ε8/5 peII(x,ξ,τ)+p(x,z)+ O(ε12/5 ),22где θ = z/ε4/5 , z = y + l/2 − ε4/5 µ, τ = z/ε2/5 , ξ = x/ε2/5 , u0 (z) —профиль скорости течения Пуазейля.
Функцииdu0III ,u∗1 = uI1 + uII(0)+u(0)+(θ+µ)11dz z=0(3.72)v2∗ = v2I + ve2II (x, ξ, 0)*См. Замечание 1.1 на стр. 35.141являются решением следующей краевой задачи: ∗∂u1 ∂µ ∂u∗1 ∂v2∗−+= 0,∂ξ ∂ξ ∂θ∂θ∗II ∗∗∂ 2 u∗1∂µ∂u∂p∂u∂u1112 ∗∗+u−+v=−, 12∂ξ∂ξ ∂θ∂θ∂ξ τ =0∂θ2u∗1 θ=0 = v2∗ θ=0 = 0,u∗1 ξ = u∗1 ξ+2π ,du0 ∂u∗1 →,∂θ θ→∞dz z=0v ∗2 θ→∞ → 0,v2∗ ξ = v2∗ ξ+2π ,∂u∗1 ∂µ du0 →.∂ξ θ→∞∂ξ dz z=0(3.73)(3.74)Функция ve2II является решением задачи Дирихле для оператора Лапласа∂ 2 ve2II ∂ 2 ve2II+= 0,(3.75)∂τ 2∂ξ 2ve2II τ →∞ → 0, ve2II ξ = ve2II ξ+2π , ve2II τ =0 = lim ve2∗ .(3.76)θ→∞Функция pe2 (x, ξ, τ ) имеет вид# " Zξ IIZξ∂ev2du0 dξ − ve2II dξ .τpeII2 =dz z=0∂τЗамечание 3.2. Член µu00 (z) в (3.3) возникает только за счет заменыпеременной, выравнивающей границу.Доказательство Теоремы 3.3 аналогично доказательству Теоремы 3.1 и мы не будем его повторять.Заметим, что уравнения тонкого пограничного слоя (3.73), (3.74)идентичны с точностью до замены переменной (см.
п. 3.1 из § 3 данной главы) уравнениям (3.9), (3.10), полученным ранее при рассмотрении задачи о течении в трубе, а уравнения толстого пограничного слоя (3.75), (3.76) совпадают c (3.11), (3.12). Следовательно, всевыводы о характере течения, приведенные в § 3 данной главы справедливы и для случая канала, и мы не будем повторять их здесь.142ЗаключениеВ диссертационной работе исследована двухпалубная структура пограничного слоя, возникающая в ряде задач.Доказано существование, единственность и устойчивость решения уравнения типа Рэлея, описывающего осцилляции вертикальной скорости в классическом пограничном слое для задачи обтекания вязкой несжимаемой жидкостью полубесконечной пластиныс малыми периодическими неровностями на поверхности при больших значениях числа Рейнольдса (см.
Теоремы 1.2 и 1.3). Построеналгоритм численного решения уравнения типа Рэлея и приведенырезультаты его использования.Доказано, что двухпалубная структура пограничного слоя возникает в задаче обтекания полубесконечной пластины с малыми периодическими неровностями (см. Теорему 1.1), в задаче обтеканияполубесконечной пластины с малыми локализованными неровностями типа горбика, скачка или излома в виде угла (см. Теоремы 2.1и 2.2), а также в задаче о течении в аксимально–симметричной трубе (см. Теоремы 3.1 и 3.2) и двумерном канале (см. Теорему 3.3) смалыми периодическими неровностями на стенках (но при масштабах неровности, отличных от случая полубесконечной пластины).Для всех рассмотренных задач построено их формальное асимптотическое решение. Для полученных уравнений построен алгоритмчисленного решения (на основе разностных схем, удовлетворяющихпринципу максимума, и следовательно, устойчивых) и приведенырезультаты его использования.
Путем численного моделированиянайдена зависимость между параметрами неровности (амплитудойнеровности, радиусом трубы, шириной канала) и характером течения.В итоге, можно сделать вывод о том, что двухпалубная структура пограничного слоя является также неотъемлемым свойствоммодели Навье–Стокса, равно как и общеизвестная трехпалубнаяструктура, изученная в множестве работ [2; 5; 23—25; 34–41; 66–69;14374; 76; 79–84; 87–91].
Обратные степени числа Рейнольдса Re, задающие двухпалубную структуру, разумеется отличны от тех, которыепорождают трехпалубную структуру. Важно отметить, что в случаедвухпалубной структуры не появляется задачи о взаимодействие пограничного слоя с внешним потоком (которая появляется в случаетрехпалубной структуры), т.к. эта структура устроена так, что возникающие от неровностей на стенках возмущения течения в тонкомпристеночном пограничном слое (на «нижней палубе») могут лишьпорождать затухающие осцилляции в толстом пограничном слое (на«верхней палубе») и не оказывают влияние на внешний поток, чтопозволяет рассматривать течение, например, в (бесконечном) канале с периодическими неровностями на стенках, где в случае взаимодействия пограничного слоя с внешним потоком возникла бы задачатипа задачи о бесконечных отражениях.Отметим, что уравнения на функции, описывающие течение втонком пограничном слое аналогичны для обеих структур, но различаются уравнения в толстом пограничном слое.
В двухпалубнойструктуре в толстом пограничном слое в случае течения в каналеи трубе возникает уравнение Лапласа, а в случае задачи обтеканияпластины — уравнение типа Рэлея.144Список литературы1. Арнольд, В. И. Математические методы классической механики / В. И. Арнольд. — 5-е изд., стереот.
— М.: Едиториал УРСС,2003. — 416 с.2. Асимптотическая теория отрывных течений / В. В. Сычев[и др.]. — М.: Наука, 1987. — 256 с.3. Березин, Ф. А. Уравнение Шредингера / Ф. А. Березин,М. А. Шубин. — М.: Издательство Московского университета,1983. — 392 с.4. Блохин, А. М. Линейная асимптотическая неустойчивость стационарного течения полимерной среды в плоском канале в случае периодических возмущений / А.
М. Блохин, Д. Л. Ткачев //Сибирский журнал индустриальной математики.— 2014.—T. 17,вып. 3. — C. 13—25.5. Боголепов, В. В. Исследование локальных возмущений вязкихсверхзвуковых течений / В. В. Боголепов, В. Я. Нейланд //Аэромеханика. — М.: Наука, 1976. — C. 104—118.6. Ван-Дайк, М. Методы возмущений в механике жидкости /М. Ван-Дайк. — М.: Мир, 1967. — 310 с.7. Васильева, А. Б. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений / А. Б. Васильева, В.
Ф. Бутузов. — М.: Высшая школа, 1990. — 208 с.8. Васильева, А. Б. Сингулярно возмущенные задачи с пограничными и внутренними слоями / А. Б. Васильева, В. Ф. Бутузов,Н. Н. Нефедов // Труды МИАН. — 2010. — Т. 268. — С. 268—283.9. Гайдуков, Р. К. Существование решения уравнения типа Релея / Р. К. Гайдуков // Научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов НИУ ВШЭ.
Материалы конференции. — М. :МИЭМ НИУ ВШЭ, 2014. — С. 35.14510. Гайдуков, Р. К. Асимптотическое решение задачи о течениижидкости в двумерном канале с малыми периодическими неровностями на стенках / Р. К. Гайдуков, В. Г. Данилов // Седьмаямеждународная конференция по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям (Москва, Россия,22–29 августа 2014 г.): Тезисы докладов. — М.: РУДН, 2014. —С. 136—137.11. Гайдуков, Р.
К. Асимптотическое решение задачи о течениижидкости в двумерном канале с малыми периодическими неровностями на стенках / Р. К. Гайдуков, В. Г. Данилов // Современные проблемы вычислительной математики и математической физики: Международная конференция, Москва, МГУимени М.В. Ломоносова, 16–17 июня 2014 г.: Тезисы докладов. — М.: МАКС Пресс, 2014. — С. 131—132.12. Гайдуков, Р. К. Вихревые течения в пограничных слоях вдольповерхностей с малыми неровностями / Р.
К. Гайдуков, В. Г.Данилов // Волны и вихри в сложных средах: 5-ая Международная научная школа молодых ученых; 25–28 ноября 2014 г.,Москва: Сборник материалов школы. — М.: МАКС Пресс,2014. — С. 154—157.13. Гайдуков, Р. К. Моделирование течений в канале с неровнымистенками / Р. К. Гайдуков, В. Г. Данилов // T-Comm – Телекоммуникации и Транспорт. — 2013. — № 11. — С.
84—87.14. Гергель, В. П. Современные языки и технологии параллельного программирования / В. П. Гергель. — М.: ИздательствоМосковского университета, 2012. — 408 с.15. Данилов, В. Г. Обтекание плоской пластины с периодическиминеровностями малой амплитуды / В. Г. Данилов, К. Ю. Россинский // Математическое моделирование.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
