Диссертация (1137359), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

Алгоритм ихчисленного решения приведен в п. 4.1 из § 4 Главы 1, и мы не будемздесь его повторять.Для численного моделирования мы будем считать, что функция µ(ξ) имеет следующий вид:µ(ξ) = A cos ξ,где A = const — амплитуда, которую мы будем варьировать.Для определения стационарности полученного решения, введемфункцию eps(t) следующим образом:n o ∗∗ ∗∗ eps(t) = max u t+hτ − u1 t , v2 t+hτ − v2 t ,где hτ — шаг разностной схемы по времени. Мы будем считать, чтонаше решение является стационарным, если∀ > 0 ∃ t∗ > 0 : keps(t)k < ∀ t > t∗ .Мы положили = 0.0001.Теперь мы представим основные результаты численного решения задачи (3.61), (3.62).Изменяя величину амплитуды неровности A, мы наблюдаемнесколько характерных типов поведения решения.

Более того, существует несколько критических значений амплитуды A, в которыхпроисходит изменение поведения решения.131Рисунок 3.3 – Схема пограничных слоев в течении внутри трубыСначала зафиксируем радиус трубы: пусть R0 = 1. При амплитуде A = 0.5 мы наблюдаем ламинарное течение в пограничномслое (см. рис. 3.4 (а)), и, начиная с некоторого момента времени —стационарное (см. рис. 3.4 (б)). При амплитуде A = 1 мы наблюдаемобразование вихрей в потоке, но они разрушаются после некоторого(малого) промежутка времени. Динамика образования вихрей показана на рис. 3.6.

Однако, начиная с некоторого момента времени,течение становится ламинарным и стационарным, см. 3.6 (д,е).При дальнейшем увеличении амплитуды (A > 1) мы также наблюдаем вихревое течение. Однако, после образования вихря на левой стенке «ямки» и его перемещения по потоку, на левой стенке снова образуется вихрь, и так далее, см. рис. 3.7 (а) и рис.

3.9. Этот процесс продолжается некоторое время, спустя которое течение становится стационарным, но не ламинарным как в случае A = 1 — в «ямке» мы наблюдаем стационарный вихрь, см. рис. 3.7 (б) и рис. 3.8.Отметим, что мы не исследовали поведение поведение решения набольших временах, т.е. не известно останется ли этот стационарныйвихрь или произойдет его разрушение.Таким образом, существует две критические амплитуды A∗ иA∗∗ . При амплитуде A < A∗ течение ламинарное и с некоторогомомента времени — стационарное, при A∗ < A < A∗∗ в начале наблюдается образование вихрей, с некоторого момента времени оностановится ламинарным и стационарным, а при A > A∗∗ течениеимеет вихревой характер.132Также мы исследовали влияние радиуса трубы на характер течения, в результате которого мы пришли к следующему выводу: критические амплитуды A∗ и A∗∗ уменьшаются при увеличении радиусатрубы R0 .

Например, при R0 = 0.3 и A = 1.1 наблюдается ламинарное течение (см. рис. 3.5), а при R0 = 1 и A = 1.1, как уже написановыше, в потоке наблюдается формирование вихрей (см. рис. 3.6).Также отметим, что давление (точнее его компонента p01 ) тожеоказывает точно такое же влияние на характер течения. А именно,при фиксированном радиусе R0 и амплитуде A, критические амплитуды неровности уменьшаются с увеличением p01 .(а) Стационарное течение, t = 4.(б) График функции eps(t).Рисунок 3.4 – Ламинарный поток, A = 0.5, R0 = 1Рисунок 3.5 – Ламинарный поток, A = 1.1, t = t1 > 0, R0 = 0.3133(а) Начальное условие,t = t0 = 0.(б) Формирование вихря,t = t1 > t0 .(в) Перемещение вихря,t = t2 > t1 .(г) Разрушение вихря,t = t3 > t2 .(д) Стационарный поток,t = t4 > t3 .(е) График функции eps(t)Рисунок 3.6 – Динамика вихреобразования, A = 1.1, R0 = 1а) Два вихря, t = t1 > 0.б) Стационарный поток,t = t2 > t1 .Рисунок 3.7 – Вихревое течение, A = 1.5, R0 = 1134(а) Стационарный поток(б) График функции eps(t)Рисунок 3.8 – Вихревое течение, A = 1.9, R0 = 1Рисунок 3.9 – Вихревое течение, A = 2.3, t > 0, R0 = 11353.2.Течение в толстом пограничном слоеПерейдем к моделированию течения в толстом пограничномслое.

Как уже было сказано ранее, оно описывается функциямиu‡ = ε2/5 u†0 + ε4/5 u†1 + ε6/5 ueII2,v ‡ = ε6/5 ve2II ,где u†0 = τ u00 (0) и u†1 = τ 2 u000 (0)/2 + uIIIe2II является реше1 . Функция vнием краевой задачи на уравнения Лапласа (3.11), (3.12):∂ 2 ve2II ∂ 2 ve2II+= 0,∂τ 2∂ξ 2ve2II τ =0 = lim ve2∗ ,ve2II τ →∞ → 0,θ→∞ve2II ξ = ve2II ξ+2π ,а функция ueII2 определяется по формуле (3.13)ueII2Zξ=∂ev2IIdξ.∂τ(3.63)Разложим функцию ve2II в ряд Фурье:ve2II=Xvk (τ )eikξ .(3.64)k6=0Тогда задача на функцию ve2II примет следующий видd2 vk− k 2 vk = 0,2dτ∗vk (0) = v2,k,∞,vk τ →∞ → 0,(3.65)∗где v2,k,∞— коэффициенты разложения в ряд Фурье функции ve2∗ θ→∞(граничного условия). Решение задачи (3.65) имеет следующий вид:∗vk (τ ) = v2,k,∞e−|k|τ .(3.66)Теперь мы находим искомую функцию ve2II по формуле (3.64).Горизонтальную компоненту скорости ueIIможно найти по форR ξ2муле (3.63), в которой первообразную G = ge (см.

Определение 1.2136на стр. 32) можно вычислить по следующей формуле:ZξZge dξ =0ξ1ge(ξ ) dξ −2π00Z02πZ0ξ000ge(ξ ) dξ00dξ 0 ,где ge = ∂ev2II ∂τ . Однако наиболее оптимально вычислять первообразную G путем разложения ее в ряд Фурье с коэффициентами Gk ,которые определяются по следующей формуле (k 6= 0, т.к.

отсутствует средняя):1 dvkGk (τ ) =.ik dτМы не будем приводить здесь численную реализацию этого алгоритма в силу его тривиальности.В итоге, горизонтальная компонента скорости в толстом пограничном слое имеет следующий вид:6/5 IIue2 , (3.67)u‡ = ε2/5 (τ +(θmax +µ)ε2/5 )u00 (0)+ε4/5 (τ 2 u000 (0)+uIII1 )+εгде слагаемое (θmax + µ)ε2/5 обусловлено сшивкой с течением в тонком пограничном слое, а θmax — верхняя граница области, в которойищется решение уравнений тонкого пограничного слоя (см. предыдущий параграф).В смысле теории асимптотических методов, тонкий (пристеночный) пограничный слой в координатах толстого пограничногослоя имеет нулевую толщину. Однако, стабилизация решения в пристеночном слое, которая в теории наступает при θ → ∞, реальнонаблюдается при θ > θmax .

Для построения совместной картинытечения в пристеночной области (т.е. тонком погранслое) и в втором (т.е. толстом) пограничном слое мы брали достаточно большиезначения ε (ε = 0.1), поэтому толщина пристеночного слоя оказывается вполне конечной и ее учет приводит к появлению слагаемого(θmax + µ)ε2/5 в (3.67). При меньших значениях ε течения в погранслоях можно графически представить только отдельными картинками.137На рис. 3.10 а) изображены линии тока в толстом пограничномслое для случая A = 0.5. Как было написано ранее, в этом случаев тонком пограничном слое наблюдается ламинарное течение, см.рис.

3.4. На рис. 3.10 б) изображен случай амплитуды A = 1.5, прикоторой в тонком погранслое наблюдается образование вихрей, см.рис. 3.7. Видно, что вихри из тонкого пограничного слоя не вносят возмущения в течение в толстом погранслое. Сама структуратечения в толстом погранслое похожа на структуру течения в тонком погранслое «на бесконечности», см. рис. 3.11. Отметим, что вотличии от рассмотренного в Главе 1 случая пластины, в которомтечение во толстом погранслое есть течение Блазиуса, в задаче рассматриваемой здесь нет нетривиального пограничного слоя, а естьтолько основной поток — течение Пуазейля.а) A = 0.5б) A = 1.5Рисунок 3.10 – Течение в толстом пограничном слое138Рисунок 3.11 – «Сшивка» решений между тонким и толстым пограничнымислоями, A = 1.5, ε = 0.1§ 4.Задача о течении жидкости внутридвумерного канала с малымипериодическими неровностями на стенкахРассмотрим двумерное течение несжимаемой жидкости в двумерном канале с малыми периодическими неровностями на стенкахпри больших значениях числа Рейнольдса Re.

Для простоты будемсчитать, что внутри основное течение внутри канала (исключая пограничные слои) есть течение Пуазейля. Будем считать, что стенкиканала S описываются следующими уравнениями (см. рис. 3.12):lxys− = − + ε4/5 µ− x, 2/5 ,2εlxys+ = + ε4/5 µ+ x, 2/5 ,2ε(3.68)где l — ширина канала, а ε = Re−1/2 — малый параметр. Функцииµ± (x, ξ) являются гладкими, 2π-периодическими по ξ и имеющими139нулевое среднее (в смысле Определения 1.1 на стр. 31):Z2πµ± (x, ξ) dξ = 0.0Рисунок 3.12 – Двумерный каналДанная задача формально является частным случаем задачи отечении в трубе, рассмотренной ранее в этой главе. Как обычно, этазадача описывается системой уравнений Навье–Стокса и неразрывности, но в отличии от задачи о течении в трубе (где использовалисьцилиндрические координаты, см.

Характеристики

Список файлов диссертации