Автореферат (1136174), страница 6
Текст из файла (страница 6)
óòâåðæäåíèÿ 2) íåìåäëåííîïîëó÷àåòñÿ ïðèìåíåíèåì òåîðåìû 1 ê ïðîñòðàíñòâó X = W2λ . Âîïðîñ î òî÷íîì îïèñàíèè íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé, óñòîé÷èâûõ â Ap , 1 < p < 2, è â W2λ , 0 < λ < 1/2,îñòàåòñÿ îòêðûòûì. ×òî êàñàåòñÿ ïðîñòðàíñòâ W2λ , λ ≥ 1/2, òî ñîîòâåòñòâóþùèé êëàññ óñòîé÷èâûõ íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé ñîäåðæèò ëèøü ïîñòîÿííûå (ýòîâûòåêàåò èç òåîðåìû 2).Ìû òàêæå ðàññìàòðèâàåì êëàññ ôóíêöèé f òàêèõ, ÷òî ñîîòâåòñòâóþùàÿ ñîïðÿæåííàÿ ôóíêöèÿ (ïðåîáðàçîâàíèå Ãèëüáåðòà) fe ïðèíàäëåæèò L∞ . Õîðîøî èçâåñòíî, ÷òî ñóùåñòâóþò íåïðåðûâíûå ôóíêöèè íà T, ñîïðÿæåííûå ê êîòîðûì íåïðèíàäëåæàò L∞ Ìû ïîêàçûâàåì, ÷òî (òåîðåìà 8) åñëè f ∈ C(T) è äëÿ ëþáîãî ãîìåîìîðôèçìà h îêðóæíîñòè T ôóíêöèÿ f]◦ h, ñîïðÿæåííàÿ ê f ◦ h, ïðèíàäëåæèò∞L (T), òî f = const.
Ýòîò ðåçóëüòàò ïîëó÷àåòñÿ ïðèìåíåíèåì òåîðåìû 2.Îòìåòèì åùå, ÷òî èç íàøåãî ðåçóëüòàòà î ôóíêöèÿõ, óñòîé÷èâûõ â Ap , âûòåêàåò (òåîðåìà 9) óñèëåíèå ïîëó÷åííîãî â 59 ðåçóëüòàòà î ôóíêöèÿõ, óñòîé÷èâûõ âïðîñòðàíñòâàõ lp -ìóëüòèïëèêàòîðîâ Ôóðüå. 4 ðàññìàòðèâàåòñÿ âîïðîñ îá óñòîé÷èâîñòè â ìíîãîìåðíîì ñëó÷àå. Ýòîòñëó÷àé ñóùåñòâåííî îòëè÷àåòñÿ îò îäíîìåðíîãî. Ìû ïîêàçûâàåì (òåîðåìà 10),÷òî ïðè íåêîòîðûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ (àíàëîãè÷íûõ óñëîâèÿì (a), (b0 ), (c), (d))îòíîñèòåëüíî ïðîñòðàíñòâà X ôóíêöèé íà òîðå Td , d ≥ 2, ëèáî L∞ (Td ) ⊆ X,è, ñëåäîâàòåëüíî, âñÿêàÿ íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ óñòîé÷èâà â X, ëèáî óñòîé÷èâûëèøü ïîñòîÿííûå. Ïðè÷èíà ýòîãî â òîì, ÷òî ãðóïïà ãîìåîìîðôèçìîâ òîðà Td ïðèd ≥ 2 ñëèøêîì ìàññèâíà. Èç ýòîé òåîðåìû íåìåäëåííî ñëåäóåò, ÷òî, â îòëè÷èåîò îäíîìåðíîãî ñëó÷àÿ, ïðè d ≥ 2 â ïðîñòðàíñòâàõ Ap (Td ) = {f ∈ L1 (Td ) : fb ∈lp (Zd )}, 1 < p < 2, íåò íåïîñòîÿííûõ íåïðåðûâíûõ óñòîé÷èâûõ ôóíêöèé.
Áîëååòîãî, ïðè ïîìîùè ýòîé òåîðåìû ìû ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå:Ïóñòü f íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ íà Td, d ≥ 2, òàêàÿ, ÷òîdd1<p<2 Ap (T ) äëÿ ëþáîãîãîìåîìîðôèçìà h òîðà T íàñåáÿ. Òîãäà f = const.Òåîðåìà 11.f◦h ∈S59 OlevskiiV., Variation, homeomorphisms, and Fourier multipliers, C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math., 325:6(1997), 639644.22Ñîäåðæàíèå ãëàâû 4. ýòîé ãëàâå ðàññìàòðèâàþòñÿ îïåðàòîðû ñóïåðïîçèöèè â ïðîñòðàíñòâå U (T)íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé íà îêðóæíîñòè T, èìåþùèõ ðàâíîìåðíî ñõîäÿùèéñÿ ðÿäÔóðüå, è îïåðàòîðû ñóïåðïîçèöèè â êëàññàõ ÏýëèÂèíåðà P W (Rn ) ôóíêöèé èçL2 (Rn ), ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå êîòîðûõ èìååò îãðàíè÷åííûé íîñèòåëü. 1 ðàññìàòðèâàåòñÿ ïðîñòðàíñòâî U (T).
Ýòî ïðîñòðàíñòâî, ñíàáæåííîå íîðìîékf kU (T) = sup kSN (f )kC(T) ,Nãäå SN (f ) îçíà÷àåò N -óþ ÷àñòè÷íóþ ñóììó ðÿäà Ôóðüå ôóíêöèè f (è k · kC(T) îáû÷íàÿ sup -íîðìà â ïðîñòðàíñòâå C(T) íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé íà T), ÿâëÿåòñÿ áàíàõîâûì ïðîñòðàíñòâîì. Íåèçâåñòíî, ñóùåñòâóþò ëè íåòðèâèàëüíûå (ò.å.íåëèíåéíûå) îòîáðàæåíèÿ îêðóæíîñòè, äåéñòâóþùèå â U (T). À. Ì. Îëåâñêèì 60âûñêàçàíî ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî îòâåò íà ýòîò âîïðîñ îòðèöàòåëüíûé.
Ñëåäóÿîáçîðàì À. Ì. Îëåâñêîãî 61 , 62 è Æ.-Ï. Êàõàíà 63 , ïðèâåäåì èçâåñòíûå ðåçóëüòàòû. Àëïàð ïîêàçàë, ÷òî íåòðèâèàëüíûå àíàëèòè÷åñêèå îòîáðàæåíèÿ íå äåéñòâóþòâ U (T). Ñ äðóãîé ñòîðîíû, âñÿêèé ãîìåîìîðôèçì îêðóæíîñòè, äåéñòâóþùèé âU (T), äîëæåí áûòü àáñîëþòíî íåïðåðûâíûì ýòî íåìåäëåííî âûòåêàåò èç ñëåäóþùèõ äâóõ ðåçóëüòàòîâ.
Îäèí èç íèõ ðåçóëüòàò Ä. Ì. Îáåðëèíà (ñì. 64 ),çàêëþ÷àþùèéñÿ â òîì, ÷òî âñÿêàÿ íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ, çàäàííàÿ íà êîìïàêòå F ⊆ T íóëåâîé ìåðû, ïðîäîëæàåòñÿ íà T äî ôóíêöèè èç U (T). Äðóãîé (çíà÷èòåëüíî áîëåå ðàííèé) ðåçóëüòàò Ä. Å. Ìåíüøîâà, èç êîòîðîãî ñëåäóåò, ÷òîíèêàêîé êîìïàêò ïîëîæèòåëüíîé ìåðû òàêèì èíòåðïîëÿöèîííûì ñâîéñòâîì íåîáëàäàåò (ñì. 65 ). Îòìåòèì, ÷òî âìåñòå ñ òåì, ñóùåñòâóþò íåòðèâèàëüíûå îòîáðàæåíèÿ ϕ òàêèå, ÷òî keinϕ kU (T) = O(1) (âñÿêîå òàêîå îòîáðàæåíèå äåéñòâóåò èçA(T) â U (T)).
Òàê, íàïðèìåð, Ð. Êàóôìàí, óñèëèâ îäèí ðåçóëüòàò Àëïàðà, ïîêàçàë, ÷òî ýòî âåðíî äëÿ ëþáîãî îòîáðàæåíèÿ ϕ ãëàäêîñòè C 3 è âûøå áåç òî÷åêîäíîâðåìåííîãî âûðîæäåíèÿ ïðîèçâîäíûõ ïîðÿäêà áîëüøåãî 1 (ñì.66 ).Ìû ðàññìàòðèâàåì ïðîñòîé ñëó÷àé êóñî÷íî ëèíåéíûõ îòîáðàæåíèé. Êàê îêàçàëîñü âåðíà ñëåäóþùàÿÏóñòü ϕ êóñî÷íî ëèíåéíîå íî íåëèíåéíîå íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå îêðóæíîñòè T â ñåáÿ. Òîãäà keinϕkU (T) ' log |n|, n ∈ Z.Òåîðåìà 1.60 ÎëåâñêèéÀ.
Ì., Ìîäèôèêàöèè ôóíêöèé è ðÿäû Ôóðüå, ÓÌÍ, 40:3(243) (1985), 157193.À. Ì., Ìîäèôèêàöèè ôóíêöèé è ðÿäû Ôóðüå, ÓÌÍ, 40:3(243) (1985), 157193.62 Îëåâñêèé À. Ì., Ãîìåîìîðôèçìû îêðóæíîñòè, ìîäèôèêàöèè ôóíêöèé è ðÿäû Ôóðüå, Proceedings of theInternational Congress of Mathematicians (Berkeley, CA, USA, 1986), Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1987, 976989.63 Kahane J.-P., Quatre lecons sur les homeomorphismes du circle et les series de Fourier, in: Topics in ModernHarmonic Analysis, Vol. II, Ist. Naz. Alta Mat.
Francesco Severi, Roma, 1983, 955990.64 Îëåâñêèé À. Ì., Ìîäèôèêàöèè ôóíêöèé è ðÿäû Ôóðüå, ÓÌÍ, 40:3(243) (1985), 157193.65 Áàðè Í. Ê., Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ðÿäû, Ôèçìàòãèç, Ì., 1961; ãë. VI, 6.66 Kahane J.-P., Quatre lecons sur les homeomorphismes du circle et les series de Fourier, in: Topics in ModernHarmonic Analysis, Vol. II, Ist.
Naz. Alta Mat. Francesco Severi, Roma, 1983, 955990.61 Îëåâñêèé23Ðàçóìååòñÿ, îöåíêà ñâåðõó â ýòîé òåîðåìå âûòåêàåò èç óæå óêàçàííîé (â ñâÿçèñ ðåçóëüòàòàìè ãëàâû 1) îöåíêè Êàõàíà keinϕ kA(T) ' log |n|. Ìû ëèøü ïîëó÷àåìîöåíêó ñíèçó. Èç ïîëó÷åííîãî ðåçóëüòàòà ñëåäóåò, ÷òî êóñî÷íî ëèíåéíûå îòîáðàæåíèÿ íå äåéñòâóþò èç A(T) â U (T). Áîëåå òîãî (ýòî íåìåäëåííîå ñëåäñòâèåïîëó÷åííîé îöåíêè è òåîðåìû î çàìêíóòîì ãðàôèêå, ïðèìåíåííîé ê îïåðàòîðóf → f ◦ ϕ), åñëè ϕ íåòðèâèàëüíàÿ êóñî÷íî ëèíåéíàÿ çàìåíà ïåðåìåííîé, òîäëÿ ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè w(n), n = 0, 1, 2, .
. . íåîòðèöàòåëüíûõ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë ñ óñëîâèåì w(n) = o(log n) íàéäåòñÿ íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ f òàêàÿ,P b÷òî/ U (T). Ðàçóìååòñÿ, îòñþäà âûòåêàåò, ÷òîk |f (k)|w(|k|) < ∞, íî f ◦ ϕ ∈òàêèå çàìåíû ïåðåìåííîé, âîîáùå ãîâîðÿ, ðàçðóøàþò ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòüðÿäà Ôóðüå. 2 ìû ðàññìàòðèâàåì ïðîñòðàíñòâî P W (Rn ) ôóíêöèé èç L2 (Rn ), ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå êîòîðûõ èìååò êîìïàêòíûé íîñèòåëü.
Ïðè n = 1 ñîîòâåòñòâóþùèé êëàññ èçó÷àëñÿ Í. Âèíåðîì è Ð. Ïýëè 67 . Îòìåòèì, ÷òî ôóíêöèè êëàññà P W âîçíèêàþò â çàäà÷àõ îáðàáîòêè ñèãíàëîâ (â ýòîé ñâÿçè ñì., íàïðèìåð,áèáëèîãðàôèþ ðàáîòû 68 ) è ÷àñòî íàçûâàþòñÿ ñèãíàëàìè â îãðàíè÷åííîì äèàïàçîíå (bandlimited signals). Î÷åâèäíî, ÷òî ëèíåéíûå (àôôèííûå) îòîáðàæåíèÿRn äåéñòâóþò â P W (Rn ). Êàê ïîêàçàëè Ø. Àçèçè, Ä.
Êîêðýéí è Äæ. Í. Ìàêäîíàëüä 69 , åñëè ϕ ãîìåîìîðôèçì ïðÿìîé R íà ñåáÿ òàêîé, ÷òî äëÿ ëþáîé ôóíêöèèf ∈ P W (R) ìû èìååì f ◦ ϕ ∈ P W (R), òî îòîáðàæåíèå ϕ àôôèííî. Ýòè æå àâòîðû ïîñòàâèëè âîïðîñ 70 î òîì, âåðíî ëè àíàëîãè÷íîå óòâåðæäåíèå â ìíîãîìåðíîìñëó÷àå.Ìû äàåì ïîëíîå îïèñàíèå íåïðåðûâíûõ îòîáðàæåíèé ϕ : Rm → Rn , äåéñòâóþùèõ èç P W (Rn ) â P W (Rm ). Ëèøü èíúåêòèâíûå àôôèííûå îòîáðàæåíèÿ ϕ îáëàäàþò ýòèì ñâîéñòâîì, à èìåííî, ñïðàâåäëèâàÏóñòü ϕ íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå Rm â Rn. Ñëåäóþùèå óñëîâèÿ ýêâèâàëåíòíû:(i) äëÿ ëþáîé ôóíêöèè f ∈ P W (Rn ) ñóïåðïîçèöèÿ f ◦ ϕ ïðèíàäëåæèòP W (Rm );(ii) ϕ èíúåêòèâíîå àôôèííîå îòîáðàæåíèå.Òåîðåìà 2. ÷àñòíîñòè, îòñþäà ïîëó÷àåì ïîëîæèòåëüíûé îòâåò íà óêàçàííûé âûøå âîïðîñ ðàáîòû 71 , áîëåå òîãî, ìû íå ïðåäïîëàãàåì, ÷òî ϕ ÿâëÿåòñÿ ãîìåîìîðôèçìîì,67 ÂèíåðÍ., Ïýëè Ð., Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå â êîìïëåêñíîé îáëàñòè, Íàóêà, Ì., 1964.S., Cochran D., and McDonald J.
N., On the preservation of bandlimitedness under non-ane time warping,Proc. of the 1999 Int. Workshop on Sampling Theory and Applications (SAMPTA), Aug. 11-14, 1999, Loen, Norway,The Norwegian University of Science and Technology, pp. 3740.69 Azizi S., Cochran D., and McDonald J. N., On the preservation of bandlimitedness under non-ane time warping,Proc. of the 1999 Int.
Workshop on Sampling Theory and Applications (SAMPTA), Aug. 11-14, 1999, Loen, Norway,The Norwegian University of Science and Technology, pp. 3740.70 Azizi S., McDonald J. N., and Cochran D., Preservation of bandlimitedness under non-ane time warping formulti-dimensional functions, In: 20th Century Harmonic Analysis A Celebration, J. S. Byrnes, ed., NATO ScienceSeries, II Mathematics, Physics and Chemistry, 2001, V. 33, Kluwer, p. 369.71 Azizi S., McDonald J.
N., and Cochran D., Preservation of bandlimitedness under non-ane time warping for68 Azizi24è, òàêèì îáðàçîì, íàø ðåçóëüòàò ÿâëÿåòñÿ íîâûì äàæå â îäíîìåðíîì ñëó÷àå.Ñîäåðæàíèå äîáàâëåíèÿ.Ïóñòü A+p (D) (1 ≤ p ≤ ∞) ïðîñòðàíñòâî ôóíêöèéf (z) =∞Xfb(n)z n ,z ∈ D,n=0àíàëèòè÷åñêèõ â åäèíè÷íîì êðóãå D = {z ∈ C : |z| < 1} êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè C òàêèõ, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü êîýôôèöèåíòîâ Òåéëîðà fb = {fb(n); n =0, 1, 2, . . .} ïðèíàäëåæèò lp . Äëÿ f ∈ A+= kfbklp .p (D) ïîëîæèì kf kA+p (D)Àíàëèòè÷åñêàÿ â D ôóíêöèÿ m íàçûâàåòñÿ lp -ìóëüòèïëèêàòîðîì, åñëè äëÿ+âñÿêîé ôóíêöèè f ∈ A+p (D) ïðîèçâåäåíèå m · f ïðèíàäëåæèò Ap (D). Ñåìåéñòâîâñåõ òàêèõ ìóëüòèïëèêàòîðîâ ìû îáîçíà÷àåì ÷åðåç Mp+ (D).
Ñíàáæåííîå åñòåñòâåííîé íîðìîékmkMp+ (D) =supkf kA+ (D) ≤1km · f kA+p (D) ,pMp+ (D) ÿâëÿåòñÿ áàíàõîâîé àëãåáðîé (ñ îáû÷íûì óìíîæåíèåì ôóíêöèé).Íàñ èíòåðåñóåò ñëåäóþùèé âîïðîñ: êàêèå âíóòðåííèå ôóíêöèè ïðèíàäëåæàòMp+ (D)? Íàïîìíèì, ÷òî àíàëèòè÷åñêàÿ â D ôóíêöèÿ I íàçûâàåòñÿ âíóòðåííåé,åñëè |I(z)| ≤ 1, z ∈ D, è |I(eit )| = 1 ïî÷òè âñþäó. Îáçîð ðÿäà ðåçóëüòàòîâ îâíóòðåííèõ ôóíêöèÿõ è ìóëüòèïëèêàòîðàõ èìååòñÿ â ñòàòüå Ñ. À. Âèíîãðàäî+âà 72 . (Ìû óïîòðåáëÿåì îáîçíà÷àåíèÿ A+p (D) è Mp (D) âìåñòî èñïîëüçîâàííûõppÂèíîãðàäîâûì îáîçíà÷åíèé lA è MA .)Õîðîøî èçâåñòíî 73 , ÷òî Mp+ (D) = Mq+ (D) ïðè 1/p + 1/q = 1, è++++∞A+1 (D) = M1 (D) = M∞ (D) ⊆ Mp (D) ⊆ M2 (D) = H (D),(12)ãäå H ∞ (D) ïðîñòðàíñòâî Õàðäè îãðàíè÷åííûõ àíàëèòè÷åñêèõ ôóíêöèé â D.+Îòìåòèì, ÷òî ïîñêîëüêó M1+ (D) = M∞(D) = A+1 (D) (ñì.
(12)), âíóòðåííèå+ôóíêöèè â Mp (D) ïðè p = 1, ∞ ýòî ëèøü êîíå÷íûå ïðîèçâåäåíèÿ Áëÿøêå ñòî÷íîñòüþ äî ìíîæèòåëÿ λ ∈ C (òîëüêî òàêèå âíóòðåííèå ôóíêöèè íåïðåðûâíûâ D âïëîòü äî ãðàíèöû 74 ). Ñëó÷àé p = 2 òðèâèàëåí, òàê êàê M2+ (D) ñîâïàäàåò ñïðîñòðàíñòâîì Õàðäè H ∞ (D) (ñì. (12)). Òàêèì îáðàçîì, èçó÷àåìûé íàìè âîïðîñèíòåðåñåí ëèøü â ñëó÷àå p 6= 1, ∞, 2. § 1 ìû ðàññìàòðèâàåì ñèíãóëÿðíûå âíóòðåííèå ôóíêöèè. ò.å.
âíóòðåííèåôóíêöèè S , íå èìåþùèå íóëåé â D, òàêèå, ÷òî S(0) > 0. Âñÿêàÿ òàêàÿ ôóíêöèÿmulti-dimensional functions, In: 20th Century Harmonic Analysis A Celebration, J. S. Byrnes, ed., NATO ScienceSeries, II Mathematics, Physics and Chemistry, 2001, V. 33, Kluwer, p. 369.72 Âèíîãðàäîâ Ñ. À., Ìóëüòèïëèêàòèâíûå ñâîéñòâà ñòåïåííûõ ðÿäîâ ñ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ êîýôôèöèåíòîâèç lp , ÄÀÍ ÑÑÑÐ, 254:6 (1980), 13011306.73 Íèêîëüñêèé Í. Ê., Î ïðîñòðàíñòâàõ è àëãåáðàõ òåïëèöåâûõ ìàòðèö äåéñòâóþùèõ â lp , Ñèá. ìàòåì. æ.,7 (1966), 146158.74 Ãàðíåò Äæ., Îãðàíè÷åííûå àíàëèòè÷åñêèå ôóíêöèè, Ìèð, Ì., 1984.25èìååò âèäξ+zS(z) = exp −dµ(ξ) ,∂D ξ − zãäå µ ïîëîæèòåëüíàÿ ñèíãóëÿðíàÿ ìåðà íà îêðóæíîñòè ∂D = {z ∈ C : |z| = 1}.Ìåðà µ íàçûâàåòñÿ ïðåäñòàâëÿþùåé ìåðîé ôóíêöèè S .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
