Автореферат (1136174)
Текст из файла
Ìîñêîâñêèé èíñòèòóò ýëåêòðîíèêè è ìàòåìàòèêèÍàöèîíàëüíîãî èññëåäîâàòåëüñêîãî óíèâåðñèòåòàÂûñøàÿ øêîëà ýêîíîìèêèÎáùåèíñòèòóòñêàÿ êàôåäðà âûñøåé ìàòåìàòèêèÍà ïðàâàõ ðóêîïèñèÓÄÊ 517.5Ëåáåäåâ Âëàäèìèð Âëàäèìèðîâè÷ÎÏÅÐÀÒÎÐÛ ÑÓÏÅÐÏÎÇÈÖÈÈ Â ÍÅÊÎÒÎÐÛÕÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÀÕ ÃÀÐÌÎÍÈ×ÅÑÊÎÃÎ ÀÍÀËÈÇÀ01.01.01 âåùåñòâåííûé, êîìïëåêñíûé è ôóíêöèîíàëüíûé àíàëèçÀÂÒÎÐÅÔÅÐÀÒäèññåðòàöèè íà ñîèñêàíèå ó÷¼íîé ñòåïåíèäîêòîðà ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóêÌîñêâà 2013Ðàáîòà âûïîëíåíà íà êàôåäðå âûñøåé ìàòåìàòèêè Ìîñêîâñêîãî èíñòèòóòà ýëåêòðîíèêè è ìàòåìàòèêè Íàöèîíàëüíîãî èññëåäîâàòåëüñêîãî óíèâåðñèòåòàÂûñøàÿ øêîëà ýêîíîìèêè.Îôèöèàëüíûå îïïîíåíòû:äîêòîð ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóêÕîëùåâíèêîâà Íàòàëüÿ Íèêîëàåâíà,ïðîôåññîð êàôåäðû ïðèêëàäíîé ìàòåìàòèêèÌÃÒÓ Ñòàíêèí,äîêòîð ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóêÀñòàøêèí Ñåðãåé Âëàäèìèðîâè÷,ïðîôåññîð, çàâ.
êàôåäðîé ôóíêöèîíàëüíîãîàíàëèçà è òåîðèè ôóíêöèéìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãî ôàêóëüòåòàÑàìàðñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà,äîêòîð ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóêØêðåäîâ Èëüÿ Äìèòðèåâè÷,âåäóùèé íàó÷íûé ñîòðóäíèê îòäåëà àëãåáðûè òåîðèè ÷èñåë, ÔÃÁÓÍ Ìàòåìàòè÷åñêèéèíñòèòóò èì. Â. À. Ñòåêëîâà ÐÀÍ.ÔÃÁÓÍ Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêîå îòäåëåíèåÌàòåìàòè÷åñêîãî èíñòèòóòàèì. Â. À. Ñòåêëîâà ÐÀÍ (ÏÎÌÈ)Âåäóùàÿ îðãàíèçàöèÿ:Çàùèòà äèññåðòàöèè ñîñòîèòñÿ 14 íîÿáðÿ 2013 ã. â 14 ÷àñîâ íà çàñåäàíèè äèññåðòàöèîííîãî ñîâåòà Ä 002.022.01 ïðè Ìàòåìàòè÷åñêîì èíñòèòóòå èì.
Â. À. ÑòåêëîâàÐÀÍ ïî àäðåñó: 119991, Ìîñêâà, óë. Ãóáêèíà, ä. 8, êîíôåðåíö-çàë (9-é ýòàæ).Ñ äèññåðòàöèåé ìîæíî îçíàêîìèòñÿ â áèáëèîòåêå ÌÈÀÍ.Àâòîðåôåðàò ðàçîñëàí ""Ó÷åíûé ñåêðåòàðüäèññåðòàöèîííîãî ñîâåòàÄ 002.022.01 ïðè ÌÈÀÍ,äîêòîð ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê,ïðîôåññîð2013 ã.Â. À. ÂàòóòèíÎáùàÿ õàðàêòåðèñòèêà ðàáîòûÀêòóàëüíîñòü òåìû. äèññåðòàöèè èññëåäóþòñÿ ñâîéñòâà îïåðàòîðîâ ñóïåðïîçèöèè (çàìåíû ïåðåìåííîé)f →f ◦ϕâ íåêîòîðûõ ïðîñòðàíñòâàõ ôóíêöèé, åñòåñòâåííî âîçíèêàþùèõ â ãàðìîíè÷åñêîìàíàëèçå.
(Êàê îáû÷íî (f ◦ ϕ)(t) = f (ϕ(t)).)Äëÿ èíòåãðèðóåìûõ ôóíêöèé f íà îêðóæíîñòè T ðàññìîòðèì èõ ðàçëîæåíèÿâ ðÿä ÔóðüåXfb(k)eikt .f (t) ∼k∈ZÑ ðÿäàìè Ôóðüå ñâÿçàíû ìíîãèå ÷àñòî âñòðå÷àþùèåñÿ â àíàëèçå ïðîñòðàíñòâàõîðîøèõ ôóíêöèé. Ïðèìåðàìè ñëóæàò: ïðîñòðàíñòâî íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé ñóñëîâèåìX|fb(k)| < ∞k(àëãåáðà Âèíåðà), åãî îáîáùåíèå ïðîñòðàíñòâî ôóíêöèé, ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå êîòîðûõ fb ñóììèðóåìî ñî ñòåïåíüþ p, ïðîñòðàíñòâà Ñîáîëåâà, ïðîñòðàíñòâàôóíêöèé ñ çàäàííîé ñêîðîñòüþ óáûâàíèÿ êîýôôèöèåíòîâ Ôóðüå èëè ñ çàäàííûìèõ ðàñïðåäåëåíèåì è äðóãèå.Äëÿ ðàçëè÷íûõ ïðîñòðàíñòâ X òàêîãî òèïà (ïî áîëüøåé ÷àñòè â ðàáîòå ðàññìàòðèâàþòñÿ áàíàõîâû ïðîñòðàíñòâà) åñòåñòâåííî ðàññìàòðèâàòü ñëåäóþùèå òðèâîïðîñà.1. Ìîæíî ëè ïðîèçâîëüíóþ íåïðåðûâíóþ ôóíêöèþ íà T ïðèâåñòè â X ïðèïîìîùè ãîìåîìîðôíîé çàìåíû ïåðåìåííîé, ò.å.
âåðíî ëè, ÷òî äëÿ ëþáîé íåïðåðûâíîé ôóíêöèè f íàéäåòñÿ ãîìåîìîðôèçì h îêðóæíîñòè T íà ñåáÿ òàêîé, ÷òîf ◦ h ∈ X?2. Êàêèå îòîáðàæåíèÿ îêðóæíîñòè ϕ â ñåáÿ (âàæíûì ÷àñòíûì ñëó÷àåì ÿâëÿþòñÿ ãîìåîìîðôèçìû) äîïóñòèìû â X (èëè äåéñòâóþò â X), ò.å. îáëàäàþò òåìñâîéñòâîì, ÷òî äëÿ ëþáîé ôóíêöèè f ∈ X ìû èìååì f ◦ ϕ ∈ X?3. Êàêèå ôóíêöèè f óñòîé÷èâû â X, ò.å. îáëàäàþò òåì ñâîéñòâîì, ÷òî äëÿëþáîãî ãîìåîìîðôèçìà h îêðóæíîñòè T ìû èìååì f ◦ h ∈ X?Âòîðîé âîïðîñ äîïóñêàåò ñëåäóþùóþ ìîäèôèêàöèþ. Èìåÿ äâà ïðîñòðàíñòâàX è Y ôóíêöèé íà T ìû ìîæåì ñïðîñèòü, êàêèå îòîáðàæåíèÿ ϕ îêðóæíîñòèäåéñòâóþò èç X â Y, ò.å. îáëàäàþò òåì ñâîéñòâîì, ÷òî äëÿ ëþáîé ôóíêöèè f ∈ Xìû èìååì f ◦ ϕ ∈ Y.
Ðåçîííî òàêæå ðàññìàòðèâàòü ìíîãîìåðíûé ñëó÷àé ò.å.ïðîñòðàíñòâà ôóíêöèé íà òîðå Tn , à òàêæå, íå îãðàíè÷èâàÿñü ïåðèîäè÷åñêèìñëó÷àåì, ðàññìàòðèâàòü êëàññû ôóíêöèé íà ïðÿìîé R èëè íà Rn , åñòåñòâåííûìîáðàçîì õàðàêòåðèçóåìûå ïîâåäåíèåì ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå.Íà÷àëî èññëåäîâàíèé â íàïðàâëåíèè, ñâÿçàííîì ñ ïðèâîäèìîñòüþ, áûëî ïîëîæåíî Ã. Áîðîì, êîòîðûé â 1935 ã., óëó÷øèâ áîëåå äàâíèé ðåçóëüòàò Æ. Ïàëà,1ïîêàçàë, ÷òî äëÿ ëþáîé âåùåñòâåííîé íåïðåðûâíîé ôóíêöèè f íà T ñóùåñòâóåòãîìåîìîðôèçì h : T → T òàêîé, ÷òî f ◦ h èìååò ðàâíîìåðíî ñõîäÿùèéñÿ ðÿäÔóðüå.
Ïî-âèäèìîìó ñëåäóåò ñ÷èòàòü, ÷òî ýòîò ðåçóëüòàò Áîðà â öåëîì ïîëîæèëíà÷àëî èçó÷åíèþ îïåðàòîðîâ ñóïåðïîçèöèè â òåîðèè ðÿäîâ Ôóðüå.  äàëüíåéøåì çàäà÷à î ïðèâîäèìîñòè äëÿ ðàçëè÷íûõ ïðîñòðàíñòâ ðàññìàòðèâàëàñü À. Ì.Îëåâñêèì, Æ.-Ï. Êàõàíîì, È. Êàöíåëüñîíîì, À. À. Ñààêÿíîì, Á. Ñ. Êàøèíûì,Ä. Âàòåðìàíîì.
Îáçîð ðåçóëüòàòîâ ïî ýòîé òåìàòèêå ñîäåðæèòñÿ â ðàáîòå Îëåâñêîãî 1 (ñì. òàêæå åãî ðàáîòó 2 ). Ïîçæå íåêîòîðûå ïîñòàâëåííûå òàì ïðîáëåìûðàññìàòðèâàëèñü àâòîðîì íàñòîÿùåé ðàáîòû â 3 è 4 .Çíà÷èòåëüíî ìåíåå èçó÷åíî íàïðàâëåíèå, ñâÿçàííîå ñ äîïóñòèìûìè çàìåíàìèïåðåìåííîé. Ïåðâûì çíà÷èòåëüíûì ðåçóëüòàòîì ÿâèëàñü òåîðåìà À. Áåðëèíãà èÃ. Õåëñîíà (ïðè äîïîëíèòåëüíîì ïðåäïîëîæåíèè ãëàäêîñòè îäíîâðåìåííî ïîëó÷åííàÿ Ç. Ë. Ëåéáåíçîíîì). Ñîãëàñíî ýòîé òåîðåìå â ïðîñòðàíñòâå àáñîëþòíî ñõîäÿùèõñÿ ðÿäîâ Ôóðüå íåò íåòðèâèàëüíûõ äîïóñòèìûõ çàìåí.
 äàëüíåéøåì äëÿðàçíûõ ïðîñòðàíñòâ ôóíêöèé âîïðîñ îá îïåðàòîðàõ ñóïåðïîçèöèè, äåéñòâóþùèõ âýòèõ ïðîñòðàíñòâàõ, ðàññìàòðèâàëñÿ Æ.-Ï. Êàõàíîì, È. Êàöíåëüñîíîì, Í. Ëåáëàíîì, Ë. Àëïàðîì, Ð. Êàóôìàíîì, È. Äîìàðîì, Ë. Õåðìàíäåðîì. Îáçîð íåêîòîðûõèç ýòèõ ðåçóëüòàòîâ èìååòñÿ â ðàáîòå Êàõàíà 5 . Ðÿä ðåçóëüòàòîâ î äîïóñòèìûõ çàìåíàõ â ïðîñòðàíñòâàõ ôóíêöèé ñ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ êîýôôèöèåíòîâ Ôóðüå èçlp è â ïðîñòðàíñòâå lp -ìóëüòèïëèêàòîðîâ Ôóðüå áûë ïîëó÷åí ñîâìåñòíî àâòîðîìè À. Ì. Îëåâñêèì 6 , 7 , 8 , 9 .Åùå ìåíåå èçó÷åííûì ÿâëÿåòñÿ íàïðàâëåíèå, ñâÿçàííîå ñ óñòîé÷èâîñòüþ. Ïåðâûå ðåçóëüòàòû ïîëó÷åíû Ê. Ãîôôìàíîì è Ä. Âàòåðìàíîì äëÿ ïðîñòðàíñòâàôóíêöèé íà îêðóæíîñòè T, èìåþùèõ ñõîäÿùèéñÿ âñþäó ðÿä Ôóðüå, à òàêæåÀ. Áåðíñòàéíîì è Ä. Âàòåðìàíîì äëÿ ïðîñòðàíñòâà ôóíêöèé, èìåþùèõ ðàâíîìåðíî ñõîäÿùèéñÿ ðÿä Ôóðüå.
Âîïðîñ îá óñòîé÷èâîñòè â ïðîñòðàíñòâàõ ôóíêöèéíà T ñ çàäàííîé ñêîðîñòüþ óáûâàíèÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå ðàññìàòðèâàëñÿ Âàòåðìàíîì. Ýòîò âîïðîñ ðàññìàòðèâàë òàêæå Ã. Ò. Îíèàíè.1 ÎëåâñêèéÀ. Ì., Ìîäèôèêàöèè ôóíêöèé è ðÿäû Ôóðüå, ÓÌÍ, 40:3(243) (1985), 157193.À. Ì., Ãîìåîìîðôèçìû îêðóæíîñòè, ìîäèôèêàöèè ôóíêöèé è ðÿäû Ôóðüå, Proceedings of theInternational Congress of Mathematicians (Berkeley, CA, USA, 1986), Amer.
Math. Soc., Providence, RI, 1987, 976989.3 Ëåáåäåâ Â. Â., Çàìåíà ïåðåìåííîé è ñêîðîñòü óáûâàíèÿ êîýôôèöèåíòîâ Ôóðüå, Ìàòåì. ñá., 181:8 (1990),10991113.4 Ëåáåäåâ Â. Â., Ãîìåîìîðôèçìû òîðà, êîýôôèöèåíòû Ôóðüå è èíòåãðàëüíàÿ ãëàäêîñòü, Èçâ. âóçîâ. Ìàòåì.,12, 1992, 3742.5 Kahane J.-P., Quatre lecons sur les homeomorphismes du circle et les series de Fourier, in: Topics in ModernHarmonic Analysis, Vol. II, Ist.
Naz. Alta Mat. Francesco Severi, Roma, 1983, 955990.6 Lebedev V., Olevski A., C 1 changes of variable: BeurlingHelson type theorem and Hormander conjecture onFourier multipliers, Geometric and Functional Analysis (GAFA), 4:2 (1994), 213235.7 Lebedev V., Olevski A., Idempotents of Fourier multiplier algebra, Geometric and Functional Analysis (GAFA),4:5 (1994), 540544.8 Lebedev V., Olevski A., Bounded groups of translation invariant operators, C. R. Acad. Sci.
Paris, Ser. I, 322(1996), 143147.9 Ëåáåäåâ Â. Â., Îëåâñêèé À. Ì., Lp -ìóëüòèïëèêàòîðû Ôóðüå ñ îãðàíè÷åííûìè ñòåïåíÿìè, Èçâ. ÐÀÍ. Ñåð.ìàòåì., 70:3 (2006), 129166.2 Îëåâñêèé2Öåëü ðàáîòû. äèññåðòàöèè, â îñíîâíîì, èññëåäóåòñÿ ðÿä âîïðîñîâ, ñâÿçàííûõ ñ äîïóñòèìûìè çàìåíàìè è ñ óñòîé÷èâîñòüþ. Ìíîãèå ñâîéñòâà îïåðàòîðîâ ñóïåðïîçèöèèf → f ◦ ϕ â ðàçëè÷íûõ ïðîñòðàíñòâàõ ïðîÿâëÿþòñÿ â òîì, êàê ïðè áîëüøèõ ÷àñòîòàõ n ∈ Z âåäóò ñåáÿ â ýòèõ ïðîñòðàíñòâàõ ýêñïîíåíòû einϕ(t) .
Èçó÷åíèþ òàêèõýêñïîíåíò ìû óäåëÿåì îñîáîå âíèìàíèå. Ïîëó÷åíèå îöåíîê èõ íîðì â ðàçëè÷íûõ ïðîñòðàíñòâàõ îäíà èç öåëåé ðàáîòû. Îòìåòèì, ÷òî íåêîòîðûå âîïðîñû,íà ïåðâûé âçãëÿä íå îòíîñÿùèåñÿ ê óêàçàííîé òåìàòèêå, â äåéñòâèòåëüíîñòè ìîãóò áûòü ñâåäåíû ê çàäà÷àì, ñâÿçàííûì ñ îïåðàòîðàìè ñóïåðïîçèöèè.  ïåðâóþî÷åðåäü ýòî êàñàåòñÿ ïîâåäåíèÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ôóíêöèé (èíäèêàòîðîâ) îáëàñòåé â Rn . Âûÿñíèòü, äëÿ êàêèõ îáëàñòåé ïðåîáðàçîâàíèåÔóðüå õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèè ïðèíàäëåæèò Lp âòîðàÿ öåëü ðàáîòû.
Âòîì, ÷òî êàñàåòñÿ óñòîé÷èâîñòè öåëü ðàáîòû ïîëó÷èòü èíâàðèàíòíûå óñëîâèÿóñòîé÷èâîñòè â ðàçëè÷íûõ ïðîñòðàíñòâàõ.Íàó÷íàÿ íîâèçíà.Âñå ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè ÿâëÿþòñÿ íîâûìè. Îñíîâíûå èç íèõ ñîñòîÿò â ñëåäóþùåì:1. Ïîëó÷åíî ïðèíöèïèàëüíîå óñèëåíèè òåîðåìû ÁåðëèíãàÕåëñîíà, òåì ñàìûìïîëó÷åíî ÷àñòè÷íîå ðåøåíèå èçâåñòíîé ïðîáëåìû Êàõàíà, ñôîðìóëèðîâàííîé èìíà Âñåìèðíîì êîíãðåññå ìàòåìàòèêîâ â Ñòîêãîëüìå â 1962 ã.2. Ïîëó÷åíû îöåíêè íîðì ýêñïîíåíò eiλϕ â ïðîñòðàíñòâàõ ôóíêöèé ñ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ êîýôôèöèåíòîâ Ôóðüå èç lp äëÿ C 1 -ãëàäêèõ ôàçîâûõ ôóíêöèé ϕ.3. Ïîëó÷åíû óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå õàðàêòåðèñòè÷åñêîéôóíêöèè îáëàñòè ñ C 1 -ãëàäêîé ãðàíèöåé ïðèíàäëåæèò Lp .
 ñëó÷àå ïëîñêèõîáëàñòåé ïîêàçàíî, ÷òî ýòè óñëîâèÿ íåóëó÷øàåìû.4.  îáùåì ñëó÷àå ëèíåéíûõ íîðìèðîâàííûõ ïðîñòðàíñòâ ôóíêöèé íà T ïîëó÷åíî íåîáõîäèìîå èíâàðèàíòíîå óñëîâèå óñòîé÷èâîñòè. Ïðè ïîìîùè ýòîãî ðåçóëüòàòà äëÿ ðàçëè÷íûõ êîíêðåòíûõ ïðîñòðàíñòâ ôóíêöèé íà îêðóæíîñòè ïîëó÷åíû èíâàðèàíòíûå óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé â ýòèõ ïðîñòðàíñòâàõ. Äëÿ íåêîòîðûõ ïðîñòðàíñòâ ïîëó÷åíî ïîëíîå îïèñàíèå ñîîòâåòñòâóþùèõêëàññîâ óñòîé÷èâûõ ôóíêöèé.Ìåòîäû èññëåäîâàíèÿ. ðàáîòå èñïîëüçóþòñÿ ìåòîäû ãàðìîíè÷åñêîãî àíàëèçà, à òàêæå îáùèå ìåòîäûòåîðèè ôóíêöèé è ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà.Òåîðåòè÷åñêàÿ è ïðàêòè÷åñêàÿ öåííîñòü.Äèññåðòàöèÿ íîñèò òåîðåòè÷åñêèé õàðàêòåð.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
