Автореферат (1136174), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Îëåâñêîãî) ïîñòðîåíà âåùåñòâåííàÿ ôóíêöèÿ ϕ ∈ C 1 (T), ϕ 6= const, òàêàÿ, ÷òî keiλϕ kAp = O(1) ïðè âñåõp > 1. Êðîìå òîãî, ýòà ôóíêöèÿ íèãäå íå ëèíåéíà, ò.å. íå ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé íèíà êàêîì èíòåðâàëå (è, òàêèì îáðàçîì, â îïðåäåëåííîì ñìûñëå, ñóùåñòâåííî îòëè÷àåòñÿ îò êóñî÷íî ëèíåéíûõ ôóíêöèé). Èñïîëüçóÿ áëèçêèé ìåòîä, àâòîð ïîêàçàëâ 26 , ÷òî äëÿ C 1 -ãëàäêèõ ôóíêöèé íîðìû keiλϕ kA(T) ìîãóò ðàñòè äîâîëüíî ìåäëåííî, à èìåííî, åñëè γ(λ) ≥ 0 è γ(λ) → ∞, òî ñóùåñòâóåò íèãäå íå ëèíåéíàÿâåùåñòâåííàÿ ôóíêöèÿ ϕ ∈ C 1 (T) òàêàÿ, ÷òîkeiλϕ kA(T) = O(γ(|λ|) log |λ|).(5)Òàêèì îáðàçîì, ñëó÷àé C 1 -ãëàäêîé ôàçû ϕ ñóùåñòâåííî îòëè÷àåòñÿ îò C 2 ãëàäêîãî ñëó÷àÿ (ñì. (3)).Ïðèâåäåì åùå ðåçóëüòàò Ì.
Í. Ëåáëàíà 27 : åñëè âåùåñòâåííàÿ ôóíêöèÿ ϕ ∈C 1 (T) íåïîñòîÿííà è åå ïðîèçâîäíàÿ ϕ0 óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ Ëèïøèöà ñ ïîêàçàòåëåì α, 0 < α ≤ 1, òîαiλϕkekA(T)|λ| 1+α,≥c(log |λ|)2|λ| ≥ 2.(6)Íàñêîëüêî íàì èçâåñòíî ýòî åäèíñòâåííàÿ, ðàíåå ïîëó÷åííàÿ, îöåíêà ñíèçó íîðìkeiλϕ kA â ñëó÷àå, êîãäà ϕ ∈ C 1 , íî äâàæäû äèôôåðåíöèðóåìîñòü ôóíêöèè ϕ íåïðåäïîëàãàåòñÿ.Îñîáûé èíòåðåñ ïðè èññëåäîâàíèè ïîâåäåíèÿ íîðì keiλϕ kAp ïðåäñòàâëÿåò, íàíàø âçãëÿä, ñëó÷àé p = 1. Íàïîìíèì, ÷òî ñîãëàñíî òåîðåìå ÁåðëèíãàÕåëñîíà,ïðèâåäåííîé âûøå, åñëè ϕ íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå îêðóæíîñòè â ñåáÿ, òàêîå, ÷òî keinϕ kA(T) = O(1), òî ϕ ëèíåéíî.
 ñâÿçè ñ ýòîé òåîðåìîé Êàõàíîì áû23 ÊàõàíÆ.-Ï., Àáñîëþòíî ñõîäÿùèåñÿ ðÿäû Ôóðüå, Ìèð, Ì., 1976; ãë. VI, 2.V., Olevski A., C 1 changes of variable: BeurlingHelson type theorem and Hormander conjecture onFourier multipliers, Geometric and Functional Analysis (GAFA), 4:2 (1994), 213235.25 Lebedev V., Olevski A., C 1 changes of variable: BeurlingHelson type theorem and Hormander conjecture onFourier multipliers, Geometric and Functional Analysis (GAFA), 4:2 (1994), 213235.26 Ëåáåäåâ Â. Â., Äèôôåîìîðôèçìû îêðóæíîñòè è òåîðåìà ÁåðëèíãàÕåëñîíà, Ôóíêö. àíàëèç è åãî ïðèë.,36:1 (2002), 3035.27 Leblanc M.
N., Sur la reciproque de l'inegalite de Carlson, C.R. Acad. Sci. Paris, Serie A, 267 (1968), 332334.24 Lebedev8ëà ïîñòàâëåíà ñëåäóþùàÿ ïðîáëåìà: âûÿñíèòü, äëÿ êàêèõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåéωn , ñòðåìÿùèõñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè, óñëîâèå keinϕ kA(T) = O(ωn ) âëå÷åò ëèíåéíîñòüîòîáðàæåíèÿ ϕ. Îòìåòèì, ÷òî àïðèîðè ñóùåñòâîâàíèå òàêîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòèè, òåì ñàìûì, âîçìîæíîå, ïðèíöèïèàëüíîå óñèëåíèå òåîðåìû ÁåðëèíãàÕåëñîíà, íå î÷åâèäíî. Íèêàêèõ ðåçóëüòàòîâ íà ýòîò ñ÷åò ðàíåå íå áûëî. Äëÿ íåïðåðûâíûõ êóñî÷íî ëèíåéíûõ íî íå ëèíåéíûõ îòîáðàæåíèé ϕ : T → T èìååìkeinϕ kA(T) ' log |n| (ñì. (4)). Ìîæåò ëè (äëÿ íåëèíåéíûõ íåïðåðûâíûõ ϕ) ðîñòíîðì keinϕ kA(T) áûòü ìåäëåííåå ëîãàðèôìè÷åñêîãî íåèçâåñòíî.
Êàõàíó ïðèíàäëåæèò ãèïîòåçà î òîì, ÷òî èç óñëîâèÿ keinϕ kA(T) = o(log |n|), |n| → ∞, ñëåäóåò,÷òî ϕ ëèíåéíî. Íàñêîëüêî èçâåñòíî àâòîðó, âïåðâûå ïðîáëåìà îá óñèëåíèè òåîðåìû ÁåðëèíãàÕåëñîíà è ãèïîòåçà î ìèíèìàëüíîñòè ëîãàðèôìè÷åñêîãî ðîñòà áûëèñôîðìóëèðîâàíû Êàõàíîì â äîêëàäå íà Ìåæäóíàðîäíîì êîíãðåññå ìàòåìàòèêîââ Ñòîêãîëüìå â 1962 ã. 28 Ïîçäíåå îíè îòìå÷àëèñü Êàõàíîì â 29 è 30 . 1 ïîëó÷åíî ÷àñòè÷íîå ðåøåíèå ïðîáëåìû Êàõàíà. À èìåííî, ìû ïîëó÷àåìñëåäóþùåå óñèëåíèå òåîðåìû ÁåðëèíãàÕåëñîíà.Òåîðåìà 1.÷òîinϕkeÏóñòü ϕ : T → T íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå.
Ïðåäïîëîæèì,kA(T) = olog log |n|log log log |n|1/12 ,Òîãäà ϕ ëèíåéíî, ò.å. ϕ(t) = νt + ϕ(0),n ∈ Z,|n| → ∞.(7).ν∈ZÈäåîëîãè÷åñêè äîêàçàòåëüñòâî íàøåé òåîðåìû äî íåêîòîðîé ñòåïåíè áëèçêî êäîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû ÁåðëèíãàÕåëñîíà, èçëîæåííîìó Êàõàíîì â 31 (äîêàçàòåëüñòâî â 31 îñíîâàíî íà ñîâåðøåííî äðóãîé èäåå íåæåëè îðèãèíàëüíîå äîêàçàòåëüñòâî Áåðëèíãà è Õåëñîíà 32 , 33 ). Ìû ìîäèôèöèðóåì ðàññóæäåíèÿ Êàõàíà èïðèìåíÿåì èõ íå ê ãðóïïå T, à ê öèêëè÷åñêîé ãðóïïå TN ïðè áîëüøèõ N è íåê ñàìîìó îòîáðàæåíèþ ϕ, à ê îòîáðàæåíèþ ϕN , êîòîðîå íà TN õîðîøî ïðèáëèæàåò îòîáðàæåíèå ϕ, è çíà÷åíèÿ êîòîðîãî ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà ñ ìàëûì îáùèì çíàìåíàòåëåì. Òàêîå îòîáðàæåíèå ñòðîèòñÿ ïðè ïîìîùè òåîðåìû Äèðèõëåî ñîâìåñòíûõ äèîôàíòîâûõ ïðèáëèæåíèÿõ.
 äîêàçàòåëüñòâå èñïîëüçóåòñÿ òåîðåìà ÃðèíàÊîíÿãèíà 34 , òî÷íåå åå âàæíûé ÷àñòíûé ñëó÷àé, êîòîðûé äëÿ ïðîñòûõN äàåò îöåíêó êîëè÷åñòâà ýëåìåíòîâ ïðîèçâîëüíîãî ìíîæåñòâà E ⊆ TN ÷åðåç l128 KahaneJ.-P., Transformees de Fourier des fonctions sommables, Proceedings of the Int. Congr. Math., 15-22Aug., 1962, Stockholm, Sweden, Inst. Mittag-Le er, Djursholm, Sweden, 1963, pp. 114131.29 Êàõàí Æ.-Ï., Àáñîëþòíî ñõîäÿùèåñÿ ðÿäû Ôóðüå, Ìèð, Ì., 1976.30 Kahane J.-P., Quatre lecons sur les homeomorphismes du circle et les series de Fourier, in: Topics in ModernHarmonic Analysis, Vol.
II, Ist. Naz. Alta Mat. Francesco Severi, Roma, 1983, 955990.31 Kahane J.-P., Quatre lecons sur les homeomorphismes du circle et les series de Fourier, in: Topics in ModernHarmonic Analysis, Vol. II, Ist. Naz. Alta Mat. Francesco Severi, Roma, 1983, 955990.32 Beurling A., Helson H., Fourier-Stieltjes transforms with bounded powers, Math. Scand., 1 (1953), 120126.33 Êàõàí Æ.-Ï., Àáñîëþòíî ñõîäÿùèåñÿ ðÿäû Ôóðüå, Ìèð, Ì., 1976.34 Green B., Konyagin S., On the Littlewood problem modulo a prime, Canad. J. Math., 61:1 (2009), 141164;òåîðåìà 1.3.9-íîðìó ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå (íà TN ) åãî õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèè. êîíöå ïàðàãðàôà óêàçàíà ñîîòâåòñòâóþùàÿ îïåðàòîðíàÿ âåðñèÿ ïîëó÷åííîéòåîðåìû è îáñóæäàþòñÿ íåêîòîðûå îòêðûòûå ïðîáëåìû. äàëüíåéøåé ÷àñòè ãëàâû èçó÷àåòñÿ ïîâåäåíèå ýêñïîíåíò ñ C 1 -ãëàäêîé ôàçîéâ îáùåì ñëó÷àå ïðîñòðàíñòâ Ap , 1 ≤ p < 2. 2 ïîëó÷åíû îöåíêè ñíèçó íîðì keiλϕ kAp äëÿ C 1 -ãëàäêèõ âåùåñòâåííûõôóíêöèé ϕ íà T.
Ïóñòü çàäàíà íåïðåðûâíàÿ íåóáûâàþùàÿ ôóíêöèÿ ω íà [0, +∞)òàêàÿ, ÷òî ω(0) = 0. ×åðåç C 1,ω (T) îáîçíà÷èì êëàññ íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé g íà T òàêèõ, ÷òî ω(g 0 , δ) = O(ω(δ)), δ → +0, ãäåω(g 0 , δ) =sup |g 0 (t1 ) − g 0 (t2 )|,δ ≥ 0,|t1 −t2 |≤δ ìîäóëü íåïðåðûâíîñòè ïðîèçâîäíîé g 0 ôóíêöèè g .  ñëó÷àå ω(δ) = δ α , ìûαïèøåì ïðîñòî C 1,α âìåñòî C 1,δ .Ìû ïîêàçûâàåì, ÷òî ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿÏóñòü 1 ≤ p < 2. Ïóñòü ϕ âåùåñòâåííàÿ ôóíêöèÿ íà T.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ϕ íåïîñòîÿííà è ϕ ∈ C 1,ω (T). ÒîãäàÒåîðåìà 2.keiλϕ kAp (T) ≥ c |λ|1/p χ−11,|λ|λ ∈ R,|λ| ≥ 1,(8)ãäå χ−1 ôóíêöèÿ, îáðàòíàÿ ê χ(δ) = δω(δ), è c = c(p, ϕ) > 0 íå çàâèñèò îò λ.Äëÿ ôàçîâûõ ôóíêöèé, ïðîèçâîäíàÿ êîòîðûõ óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ Ëèïøèöàñ ïîêàçàòåëåì α, èç òåîðåìû 2 íåìåäëåííî ïîëó÷àåìÑëåäñòâèå 1.Ïóñòü 0ôóíêöèÿ íà T è ϕ ∈ C1,α.
Åñëè ϕ âåùåñòâåííàÿ íåïîñòîÿííàÿ(T), òî ïðè âñåõ p, 1 ≤ p < 1 + α, èìååì< α ≤ 111keiλϕ kAp (T) ≥ cp |λ| p − 1+α ,λ ∈ R.(9) ÷àñòíîñòè, keiλϕkA(T) ≥ c |λ| .α1+αÎòìåòèì, ÷òî ýòî ñëåäñòâèå äàåò, â ÷àñòíîñòè, óñèëåíèå îöåíêè Ëåáëàíà (6).ßñíî òàêæå, ÷òî äëÿ ϕ ∈ C 2 èìååì α = 1, è îöåíêà (9) âëå÷åò îöåíêó ËåéáåíçîíàÊàõàíàÀëïàðà (2).Îòìåòèì òàêæå, ÷òî îöåíêà ËåéáåíçîíàÊàõàíàÀëïàðà èìååò ëîêàëüíûé õàðàêòåð; ãðóáî ãîâîðÿ, îíà îñòàåòñÿ â ñèëå, åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ϕ íåëèíåéíàíà íåêîòîðîì èíòåðâàëå è èìååò íà ýòîì èíòåðâàëå òðåáóåìóþ ãëàäêîñòü. Íàøèîöåíêè ñíèçó òàêæå íîñÿò ëîêàëüíûé õàðàêòåð (òåîðåìà 20 ).Íàêîíåö îòìåòèì, ÷òî ìåòîä äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû 2 íå èìååò íè÷åãî îáùåãîñ ìåòîäîì, èñïîëüçîâàííûì äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû 1; â C 1 -ãëàäêîì ñëó÷àå10ìû èñïîëüçóåì ìåòîä, êîòîðûé óìåñòíî íàçâàòü ìåòîäîì êîíöåíòðàöèè áîëüøèõçíà÷åíèé ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå. 3 äëÿ êàæäîãî êëàññà C 1,ω ìû ñòðîèì íåòðèâèàëüíóþ ôóíêöèþ ϕ ∈ C 1,ω ,äàþùóþ ìåäëåííûé ðîñò íîðì keiλϕ kAp , òåì ñàìûì ìû ïîêàçûâàåì, ÷òî îöåíêà (8)òåîðåìû 2 áëèçêà ê îêîí÷àòåëüíîé, à â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ ÿâëÿåòñÿ îêîí÷àòåëüíîé, à èìåííî, ìû ïîêàçûâàåì, ÷òî âåðíà ñëåäóþùàÿÏóñòü ω(2δ) < 2ω(δ) ïðè âñåõ äîñòàòî÷íî ìàëûõ δ > 0.
Ñóùåñòâóåò íèãäå íå ëèíåéíàÿ âåùåñòâåííàÿ ôóíêöèÿ ϕ ∈ C 1,ω (T) òàêàÿ, ÷òîÒåîðåìà 3.|λ| −1 (log |λ|)2≤cχ,log |λ||λ|keiλϕ kA(T)(i)(ii)keiλϕ kAp (T) ≤ cpïðè âñåõ p,Z|λ| 1 p 1/p1χ−1dτ,τλ ∈ R,|λ| ≥ 2;λ ∈ R,|λ| ≥ 2,. Ïîëîæèòåëüíûå êîíñòàíòû c, cp íå çàâèñÿò îò λ.1<p<2Ïîëàãàÿ ω(δ) = δ α , 0 < α < 1, â òåîðåìå 3 è ïîëüçóÿñü ñëåäñòâèåì 1, à òàêæåòðèâèàëüíîé îöåíêîé keiλϕ kAp ≥ 1, 1 ≤ p ≤ 2, íåìåäëåííî ïîëó÷àåìÏóñòü 0 < α < 1. Ñóùåñòâóåò íèãäå íå ëèíåéíàÿ âåùåñòâåííàÿ ôóíêöèÿ ϕ ∈ C 1,α(T) òàêàÿ, ÷òîÑëåäñòâèå 2.1−α α(i) keiλϕ kA(T) = O |λ| 1+α (log |λ|) 1+α ;11(ii) keiλϕ kAp (T) ' |λ| p − 1+αkeiλϕ kAp (T) ' 1ïðèïðè1 < p < 1 + α,1 + α < p < 2,keiλϕ kAp (T) = O((log |λ|)1/p )ïðèp = 1 + α.Òàêèì îáðàçîì, ïðè p 6= 1 îöåíêà ñëåäñòâèÿ 1 îêîí÷àòåëüíà; ñðåäè íåòðèâèàëüíûõ ôóíêöèé êëàññà C 1,α , ôóíêöèÿ ϕ èç ñëåäñòâèÿ 2 äàåò ìèíèìàëüíî âîçìîæíûéðîñò íîðì keiλϕ kAp ïðè 1 < p < 2, p 6= 1 + α.Äðóãèì ñëåäñòâèåì òåîðåìû 3 ÿâëÿåòñÿ ïðèâåäåííûé âûøå ðåçóëüòàò àâòîðà îñóùåñòâîâàíèè íåòðèâèàëüíûõ C 1 -ãëàäêèõ ôóíêöèé ϕ c êðàéíå ìåäëåííûì (êàêóãîäíî áëèçêèì ê ëîãàðèôìè÷åñêîìó) ðîñòîì íîðì keiλϕ kA (ñì.
(5)), à èìåííî ìûïîëó÷àåì11Ïóñòü γ(λ) ≥ 0 è γ(λ) → +∞ ïðè λ → +∞. Ñóùåñòâóåòíèãäå íå ëèíåéíàÿ âåùåñòâåííàÿ ôóíêöèÿ ϕ ∈ C 1(T) òàêàÿ, ÷òîÑëåäñòâèå 3.keiλϕ kA(T) = O γ(|λ|) log |λ| ,|λ| → ∞,λ ∈ R.Îòìåòèì, ÷òî íàø ìåòîä ïîñòðîåíèÿ íåëèíåéíûõ ôóíêöèé çàäàííîé ãëàäêîñòè, äàþùèõ ìåäëåííûé ðîñò, ÿâëÿåòñÿ ðàçâèòèåì ìåòîäà, èñïîëüçîâàííîãî âñîâìåñòíîé ðàáîòå àâòîðà è À. Ì.
Îëåâñêîãî 35 ïðè ïîñòðîåíèè óæå óêàçàííîãî âûøå ïðèìåðà (íèãäå íå ëèíåéíîé) C 1 -ãëàäêîé ôàçîâîé ôóíêöèè ϕ òàêîé, ÷òîkeiλϕ kAp (T) = O(1) ïðè âñåõ p > 1. 4 ðàññìîòðåíû C 1 -ãëàäêèå îòîáðàæåíèÿ îêðóæíîñòè â ñåáÿ è äàíû ñîîòâåòñòâóþùèå âåðñèè ðåçóëüòàòîâ, ïîëó÷åííûõ â 2, 3. Ýòè âåðñèè (òåîðåìû 4, 5)èìåþò åñòåñòâåííûå ïðèëîæåíèÿ ê èçó÷åíèþ îïåðàòîðîâ ñóïåðïîçèöèè f → f ◦ ϕâ ïðîñòðàíñòâàõ Ap .
 ÷àñòíîñòè, ìû óêàçûâàåì ãëàäêîñòü, êîòîðîé ìîæåò îáëàTäàòü íåëèíåéíîå îòîáðàæåíèå ϕ : T → T òàêîå, ÷òî f ◦ ϕ ∈ p>1 Ap äëÿ ëþáîéôóíêöèè f ∈ A.Îòìåòèì, ÷òî, êàê áûëî ïîêàçàíî ðàíåå àâòîðîì ñîâìåñòíî ñ À. Ì. Îëåâñêèì,åñëè C 1 -ãëàäêîå îòîáðàæåíèå ϕ ïîðîæäàåò îãðàíè÷åííûé îïåðàòîð ñóïåðïîçèöèèâ Ap (T) ïðè êàêîì ëèáî p, p 6= 2, òî ϕ ëèíåéíî 36 . 5 ìû ðàñïðîñòðàíÿåì, ïîëó÷åííûå â 2, 3 ðåçóëüòàòû î ïîâåäåíèè íîðìkeiλϕ kAp íà ìíîãîìåðíûé ñëó÷àé. Ïóñòü A(Tm ) ïðîñòðàíñòâî íåïðåðûâíûõôóíêöèé f íà m -ìåðíîì òîðå Tm òàêèõ, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü êîýôôèöèåíòîâÔóðüå fb = {fb(k), k ∈ Zm } ïðèíàäëåæèò l1 (Zm ). Ïðè 1 < p ≤ 2 ïóñòü Ap (Tm ) ïðîñòðàíñòâî èíòåãðèðóåìûõ ôóíêöèé f íà Tm òàêèõ, ÷òî fb ∈ lp (Zm ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
