Автореферат (1136174), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Ïðè p = 1ïîëàãàåì A1 = A. Ñíàáæåííûå åñòåñòâåííûìè íîðìàìèkf kAp (Tm ) = kfbklp (Zm ) =Xp1/p|fb(k)|k∈Zmïðîñòðàíñòâà Ap (Tm ) ÿâëÿþòñÿ áàíàõîâûìè (1 ≤ p ≤ 2), ïðè÷åì A(Tm ) áàíàõîâà àëãåáðà (ñ îáû÷íûì óìíîæåíèåì ôóíêöèé).Ïóñòü C s (Tm ) êëàññ (êîìïëåêñíîçíà÷íûõ) ôóíêöèé íà òîðå Tm òàêèõ, ÷òîâñå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå ïîðÿäêà s íåïðåðûâíû. ìíîãîìåðíîì ñëó÷àå äëÿ ôàçîâûõ ôóíêöèé ϕ ãëàäêîñòè C 2 (è âûøå) ïîâåäåíèå íîðì keiλϕ kA ðàíåå ðàññìàòðèâàë Õåäñòðîì 37 .
Êàê è â îäíîìåðíîì ñëó÷àå, ëåãêî ïîëó÷èòü îöåíêó ñâåðõó, òàê, íàïðèìåð 38 , åñëè ϕ ∈ C s (Tm ), s >35 LebedevV., Olevski A., C 1 changes of variable: BeurlingHelson type theorem and Hormander conjecture onFourier multipliers, Geometric and Functional Analysis (GAFA), 4:2 (1994), 213235.36 Lebedev V., Olevski A., C 1 changes of variable: BeurlingHelson type theorem and Hormander conjecture onFourier multipliers, Geometric and Functional Analysis (GAFA), 4:2 (1994), 213235.37 Hedstrom G.
W., Norms of powers of absolutely convergent Fourier series in several variables, Michigan Math.J., 14:4 (1967), 493495.38 ×òîáû óáåäèòüñÿ â ýòîì, äîñòàòî÷íî ïîâòîðèòü, ñ î÷åâèäíûìè èçìåíåíèÿìè, ðàññóæäåíèÿ, èñïîëüçîâàííûåïðè m = 1 â ãë. VI, 3 êíèãè Êàõàíà Àáñîëþòíî ñõîäÿùèåñÿ ðÿäû Ôóðüå, Ìèð, Ì., 1976.12m/2, m ≥ 2, òî keiλϕ kA(Tm ) = O(|λ|m/2 ) (â 39 ýòà îöåíêà, ÿâëÿþùàÿñÿ ìíîãîìåðíûì àíàëîãîì îöåíêè (1) äëÿ p = 1, ïîëó÷åíà ïðè íåñêîëüêî èíûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ ãëàäêîñòè).
 òîé æå ðàáîòå Õåäñòðîìà 40 ïîëó÷åíà ñëåäóþùàÿ îöåíêàñíèçó: åñëè ϕ ∈ C 2 (Tm ) âåùåñòâåííàÿ ôóíêöèÿ òàêàÿ, ÷òî ìàòðèöà åå âòîðûõïðîèçâîäíûõ èìååò îïðåäåëèòåëü, íå ðàâíûé òîæäåñòâåííî íóëþ, òîkeiλϕ kA(Tm ) ≥ c|λ|m/2 .(10)Ýòîò ðåçóëüòàò ÿâëÿåòñÿ ìíîãîìåðíûì âàðèàíòîì ðåçóëüòàòà ËåéáåíçîíàÊàõàíà, ò.å. îöåíêè (2) ïðè p = 1. Äîêàçàòåëüñòâî çàêëþ÷àåòñÿ â ñâåäåíèè êîäíîìåðíîìó ñëó÷àþ.Îñíîâíûì ðåçóëüòàòîì 5 ÿâëÿåòñÿ òåîðåìà 6, ÿâëÿþùàÿñÿ ìíîãîìåðíûì àíàëîãîì òåîðåìû 2.
Ìû ïîëó÷àåì ìíîãîìåðíûé âàðèàíò íàøåé îöåíêè (8), ò.å. îöåíêó ñíèçó íîðì keiλϕ kAp (Tm ) äëÿ C 1 -ãëàäêèõ âåùåñòâåííûõ ôóíêöèé ϕ íà òîðåTm . Ïðè ýòîì ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ∇ϕ(Tm ) ãðàäèåíòà ∇ϕôóíêöèè ϕ èìååò ïîëîæèòåëüíóþ (ëåáåãîâó) ìåðó; â ýòîì ñëó÷àå ìû ãîâîðèì, ÷òîãðàäèåíò ôóíêöèè ϕ íåâûðîæäåí. Ýòî óñëîâèå ÿâëÿåòñÿ çàìåíîé óñëîâèÿ íåëèíåéíîñòè (íåïîñòîÿíñòâà) â ìíîãîìåðíîì ñëó÷àå.
Îñíîâîé äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû ÿâëÿåòñÿ åñòåñòâåííàÿ ìîäèôèêàöèÿ ìåòîäà êîíöåíòðàöèè áîëüøèõ çíà÷åíèéïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå, èñïîëüçîâàííîãî â 2 äëÿ îäíîìåðíîãî ñëó÷àÿ.Îòìåòèì, ÷òî äëÿ C 2 -ãëàäêèõ ôóíêöèé ϕ íàøå óñëîâèå íåâûðîæäåííîñòè ãðàäèåíòà ðàâíîñèëüíî óñëîâèþ det(∂ 2 ϕ/∂ti ∂tj ) 6≡ 0. Ýòî ñëåäóåò èç òåîðåìû Ñàðäàî êðèòè÷åñêèõ çíà÷åíèÿõ (ñì., íàïðèìåð, 41 ) è òåîðåìû îá îáðàòíîì îòîáðàæåíèè,ïðèìåíåííûõ ê îòîáðàæåíèþ ∇ϕ.Äëÿ ôàçîâûõ ôóíêöèé ñ ãðàäèåíòîì, óäîâëåòâîðÿþùèì óñëîâèþ Ëèïøèöà ñïîêàçàòåëåì α, òåîðåìà 6 âëå÷åò ñëåäñòâèå 4, ÿâëÿþùååñÿ ìíîãîìåðíûì âàðèàíòîì ñëåäñòâèÿ 1.
×àñòíûé ñëó÷àé ñëåäñòâèÿ 4 ïðè α = 1 (ñëåäñòâèå 5) íåìåäëåííîâëå÷åò ðåçóëüòàò Õåäñòðîìà (10).Äàëåå, äëÿ êàæäîãî êëàññà ôàçîâûõ ôóíêöèé çàäàííîé ãëàäêîñòè ìû ñòðîèìôàçó ϕ, èìåþùóþ íèãäå íå âûðîæäåííûé ãðàäèåíò, òàêóþ, ÷òî íîðìû keiλϕ kAp (Tm )ðàñòóò î÷åíü ìåäëåííî (òåîðåìà 7 è åå ñëåäñòâèÿ 6, 7). Äëÿ îäíîìåðíîãî ñëó÷àÿýòî ñäåëàíî â 3. Îáùèé ñëó÷àé ëåãêî ïîëó÷èòü èç îäíîìåðíîãî, ò.å. èç òåîðåìû 3.Îòìåòèì åùå, ÷òî, ïîëüçóÿñü âïîëíå ñòàíäàðòíûìè ìåòîäàìè, ìû ïîëó÷àåììíîãîìåðíûé àíàëîã îöåíêè (1) (òåîðåìà 8) è ñ ó÷åòîì íàøåé îöåíêè ñíèçó ïîëó÷àåì ìíîãîìåðíûé àíàëîã ñîîòíîøåíèÿ (3) (òåîðåìà 9).Ñîäåðæàíèå ãëàâû 2.Ïóñòü D îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü (îòêðûòîå ñâÿçíîå ìíîæåñòâî) â Rn , n ≥ 2.Ðàññìîòðèì åå õàðàêòåðèñòè÷åñêóþ ôóíêöèþ 1D , ò.å.
ôóíêöèþ íà Rn , ïðèíèìà39 HedstromG. W., Norms of powers of absolutely convergent Fourier series in several variables, Michigan Math.J., 14:4 (1967), 493495.40 Hedstrom G. W., Norms of powers of absolutely convergent Fourier series in several variables, Michigan Math.J., 14:4 (1967), 493495.41 Íèðåíáåðã Ë., Ëåêöèè ïî íåëèíåéíîìó ôóíêöèîíàëüíîìó àíàëèçó, Ìèð, Ì., 1977; ãë.
1, 2.13þùóþ çíà÷åíèå 1D (t) = 1 ïðè t ∈ D è çíà÷åíèå 1D (t) = 0 ïðè t ∈/ D. Ðàññìîòðèìïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå 1cD ýòîé ôóíêöèè.  ãëàâå 2 èçó÷àåòñÿ ñëåäóþùèé âîïðîñ:pnäëÿ êàêèõ îáëàñòåé D ìû èìååì 1cD ∈ L (R )? Èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿåò ëèøü ñëó÷àé1 < p < 2.Óäîáíî èìåòü äåëî ñ ïðîñòðàíñòâàìè Ap (Rn ), 1 ≤ p ≤ ∞, óìåðåííûõ ðàñïðåäåëåíèé f íà Rn òàêèõ, ÷òî ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå fb ïðèíàäëåæèò Lp (Rn ).
Íîðìàâ Ap (Rn ) îïðåäåëÿåòñÿ åñòåñòâåííûì îáðàçîì: kf kAp (Rn ) = kfbkLp (Rn ) .Ïðÿìîå âû÷èñëåíèå ïîêàçûâàåò, ÷òî åñëè D êóá â Rn , òî 1D ∈ Ap (Rn ) ïðèâñåõ p > 1. Òî æå âåðíî â ñëó÷àå, êîãäà D ìíîãîãðàííèê (ò.å. êîíå÷íîå îáúåäèíåíèå ñèìïëåêñîâ). Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïîëüçóÿñü õîðîøî èçâåñòíîé àññèìïòîòèêîéôóíêöèé Áåññåëÿ, ìîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî åñëè D ⊆ Rn øàð, òî 1D ∈ Ap (Rn ) ïðèp > 2n/(n + 1) è 1D ∈/ Ap (Rn ) ïðè p ≤ 2n/(n + 1). Òàêîé æå ðåçóëüòàò èìååò ìåñòîâ îáùåì ñëó÷àå äëÿ îãðàíè÷åííûõ îáëàñòåé ñ äâàæäû ãëàäêîé ãðàíèöåé. (Ýòîâûòåêàåò èç òåîðåì 1, 2 ãëàâû 2.) Òàêèì îáðàçîì, äëÿ îãðàíè÷åííûõ îáëàñòåéñ C 2 -ãëàäêîé ãðàíèöåé 2n/(n + 1) ÿâëÿåòñÿ êðèòè÷åñêèì çíà÷åíèåì ïîêàçàòåëÿèíòåãðèðóåìîñòè ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèè.Ìû ïîëó÷àåì ðÿä ðåçóëüòàòîâ î ïîâåäåíèè ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ôóíêöèé îãðàíè÷åííûõ îáëàñòåé ñ C 1 -ãëàäêîé ãðàíèöåé.
Ýòîò ñëó÷àé,âîîáùå ãîâîðÿ, ñóùåñòâåííî îòëè÷àåòñÿ îò äâàæäû ãëàäêîãî; â 3 ìû ñòðîèì ïðèìåð îáëàñòè D ⊆ R2 , ãðàíèöà êîòîðîé C 1 -ãëàäêàÿ, è âìåñòå ñ òåì 1D ∈ Ap (R2 )ïðè âñåõ p > 1. (Êðèòè÷åñêîå çíà÷åíèå äëÿ ïëîñêèõ îáëàñòåé ñ äâàæäû ãëàäêîéãðàíèöåé ðàâíî 4/3.)Îòìåòèì, ÷òî ðàçëè÷íûå âîïðîñû î ïîâåäåíèè íà áåñêîíå÷íîñòè (ïîðÿäêå óáûâàíèÿ ê íóëþ) ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ôóíêöèé îáëàñòåé èáëèçêèå âîïðîñû î ïîâåäåíèè ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå (ãëàäêèõ) ìåð, ñîñðåäîòî÷åííûõ íà ïîâåðõíîñòÿõ, èññëåäîâàëèñü ìíîãèìè àâòîðàìè è îòíîñÿòñÿ ê êëàññè÷åñêîé òåìàòèêå ãàðìîíè÷åñêîãî àíàëèçà, ñì.
îáçîðíóþ ñòàòüþ È. Ñòåéíà 42 ,ãäå èìååòñÿ îáøèðíàÿ áèáëèîãðàôèÿ, à òàêæå åãî êíèãó 43 (ãë. VIII). Îñíîâíûìè èíñòðóìåíòàìè äëÿ ïîëó÷åíèÿ àñèìïòîòè÷åñêèõ îöåíîê â ýòèõ èññëåäîâàíèÿõÿâëÿþòñÿ ìåòîä ñòàöèîíàðíîé ôàçû è ëåììà âàí äåð Êîðïóòà. Ïðèìåíåíèå ýòèõìåòîäîâ òðåáóåò çíà÷èòåëüíîé ãëàäêîñòè ãðàíèöû îáëàñòè, êàê ìèíèìóì ðàâíîéäâóì óæå â ïëîñêîì ñëó÷àå. Âàæíåéøóþ ðîëü ïðè òàêîì ïîäõîäå èãðàåò êðèâèçíàïîâåðõíîñòè (ãðàíèöû îáëàñòè).
Íàø ïîäõîä íå èñïîëüçóåò íèêàêèõ ñîîáðàæåíèé,ñâÿçàííûõ ñ êðèâèçíîé, è ïîçâîëÿåò ðàññìàòðèâàòü îáëàñòè ñ C 1 -ãëàäêîé ãðàíèöåé.Ìû îáîçíà÷àåì ãðàíèöó îáëàñòè D ⊆ Rn ÷åðåç ∂D. Ãîâîðÿ, ÷òî ãðàíèöà îáëàñòè D ÿâëÿåòñÿ C 1 -ãëàäêîé èëè C 2 -ãëàäêîé, ìû èìååì ââèäó, ÷òî â îêðåñòíîñòè42 ÑòåéíÈ. Ì., Íåêîòîðûå ïðîáëåìû ãàðìîíè÷åñêîãî àíàëèçà, ñâÿçàííûå ñ ïîíÿòèåì êðèâèçíû è îñöèëëÿòîðíûìè èíòåãðàëàìè, â êí. Ìåæäóíàðîäíûé êîíãðåññ ìàòåìàòèêîâ â Áåðêëè, 1986.
Îáçîðíûå äîêëàäû, Ìèð,Ì., 1991, 297332.43 Stein E. M., Harmonic Analysis: Real-Variable Methods, Orthogonality, and Oscillatory Integrals, PrincetonUniversity Press, Princeton, New Jersey, 1993.14êàæäîé ñâîåé òî÷êè ãðàíèöà ∂D ÿâëÿåòñÿ ãðàôèêîì íåêîòîðîé (âåùåñòâåííîé)ôóíêöèè êëàññà C 1 èëè C 2 ñîîòâåòñòâåííî (ò.å. ôóíêöèè, ó êîòîðîé âñå ÷àñòíûåïðîèçâîäíûå ïåðâîãî èëè âòîðîãî ïîðÿäêà ñîîòâåòñòâåííî íåïðåðûâíû).Äëÿ âñÿêîé îáëàñòè D ⊆ Rn ñ C 1 -ãëàäêîé ãðàíèöåé ïóñòü νD (x) åäèíè÷íàÿâíåøíÿÿ íîðìàëü ê ∂D â òî÷êå x ∈ ∂D. Âîçíèêàþùåå òàêèì îáðàçîì îòîáðàæåíèåνD : ∂D → S n−1 ãðàíèöû îáëàñòè D â åäèíè÷íóþ ñôåðó S n−1 ñ öåíòðîì â íà÷àëåêîîðäèíàò ìû íàçûâàåì íîðìàëüíûì îòîáðàæåíèåì. ×åðåç ω(νD , δ) îáîçíà÷èììîäóëü íåïðåðûâíîñòè îòîáðàæåíèÿ νD :ω(νD , δ) =|νD (x) − νD (y)|,supδ ≥ 0,x,y ∈∂D; |x−y|≤δãäå |u| äëèíà âåêòîðà u ∈ Rn .
Ïóñòü äàëåå ω(δ) ïðîèçâîëüíàÿ íåóáûâàþùàÿíåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ íà [0, ∞) òàêàÿ, ÷òî ω(0) = 0.  ñëó÷àå, êîãäà ω(νD , δ) =O(ω(δ)), δ → +0, ìû ãîâîðèì, ÷òî ãðàíèöà ∂D ÿâëÿåòñÿ C 1,ω -ãëàäêîé 44 .Åñëè ãðàíèöà ∂D îáëàñòè D ÿâëÿåòñÿ C 1 -ãëàäêîé, C 2 -ãëàäêîé èëè C 1,ω ãëàäêîé, òî ìû ïèøåì ∂D ∈ C 1 , ∂D ∈ C 2 , ∂D ∈ C 1,ω , ñîîòâåòñòâåííî. Åñëèαω(δ) = δ α , 0 < α ≤ 1, òî ìû ïèøåì ïðîñòî C 1,α âìåñòî C 1,δ . 1 ìû ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ ïðîñòóþ òåîðåìó.Ïóñòü D îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü â Rn,∂D ∈ C 1 . Òîãäà 1D ∈ Ap (Rn ) ïðè âñåõ p > 2n/(n + 1).Òåîðåìà 1.n ≥ 2,òàêàÿ, ÷òîÄëÿ âûïóêëûõ îáëàñòåé (áåç ïðåäïîëîæåíèÿ ãëàäêîñòè ãðàíèöû) òàêîå óòâåðæäåíèå áûëî ðàíåå ïîëó÷åíî Ê. Ãåðöåì 45 . 2 ïîëó÷åí îñíîâíîé ðåçóëüòàò ãëàâû 2.
À èìåííî, ìû ïîêàçûâàåì, ÷òîñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿÒåîðåìà 2.∂D ∈ C1,ω. ÅñëèÏóñòü D îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü â Rn,1Z0òî 1D ∈/ Ap(Rn).n ≥ 2,δ n(p−1)−1dδ = ∞,(ω(δ))n−pòàêàÿ, ÷òî(11)Èç òåîðåìû 2 íåìåäëåííî ïîëó÷àåì44 Äëÿîãðàíè÷åííûõ îáëàñòåé ýòî óñëîâèå ýêâèâàëåíòíî òîìó, ÷òî â îêðåñòíîñòè êàæäîé ñâîåé òî÷êè ãðàíèöàîáëàñòè D ÿâëÿåòñÿ ãðàôèêîì íåêîòîðîé ôóíêöèè êëàññà C 1,ω . Äðóãèìè ñëîâàìè äëÿ êàæäîé òî÷êè x ∈ ∂Dìîæíî íàéòè îêðåñòíîñòü B , ñîäåðæàùóþ x, è îáëàñòü V ⊆ Rn−1 òàêóþ, ÷òî B ∩ ∂D ÿâëÿåòñÿ ãðàôèêîìíåêîòîðîé (âåùåñòâåííîé) ôóíêöèè ϕ ∈ C 1,ω (V ), ò.å.
ôóíêöèè ñ óñëîâèåì ω(V, ∇ϕ, δ) = O(ω(δ)), δ → +0, ãäåω(V, ∇ϕ, δ) =|∇ϕ(x) − ∇ϕ(y)|,supδ ≥ 0,x,y∈V ; |x−y|≤δ ìîäóëü íåïðåðûâíîñòè ãðàäèåíòà ∇ϕ ôóíêöèè ϕ.45 Herz C. S., Fourier transforms related to convex sets, Ann. of Math., 75:1(1962), 8192.15Ïóñòü 0 < α ≤ 1. Ïóñòü2, òàêàÿ, ÷òî ∂D ∈ C 1,α . ÅñëèÑëåäñòâèå 1.nR , n≥p≤1+D îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü â(n − 1)α,n+αòî 1D ∈/ Ap(Rn). ñâîþ î÷åðåäü, îòñþäà, ïîëàãàÿ α = 1 è ó÷èòûâàÿ òåîðåìó 1, ïîëó÷àåì óæåóïîìÿíóòîå óòâåðæäåíèå î êðèòè÷åñêîì ïîêàçàòåëå äëÿ îáëàñòåé ñ äâàæäû ãëàäêîé ãðàíèöåé, áîëåå òîãî ýôôåêò êðèòè÷åñêîãî ïîêàçàòåëÿ èìååò ìåñòî â C 1,1-ãëàäêîì ñëó÷àå, à èìåííî, ìû ïîëó÷àåìÏóñòü D îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü â Rn, n ≥ 2, òàêàÿ, ÷òî∂D ∈ C 1,1 . Òîãäà 1D ∈ Ap (Rn ) ïðè p > 2n/(n + 1) è 1D ∈/ Ap (Rn ) ïðè p ≤2n/(n+1).
 ÷àñòíîñòè, ýòî òàê äëÿ îãðàíè÷åííûõ îáëàñòåé ñ äâàæäû ãëàäêîéãðàíèöåé.Ñëåäñòâèå 2. 3 ðàññìàòðèâàþòñÿ ïëîñêèå îáëàñòè.  ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðåìîé 2 âèäèì(ñì. (11)), ÷òî åñëè äëÿ îáëàñòè D ⊆ R2 ìû èìååì ∂D ∈ C 1,ω èZ10δ 2p−3dδ = ∞,ω(δ)2−pòî 1D ∈/ Ap (R2 ).  ÷àñòíîñòè, åñëè ∂D ∈ C 1,α , òî 1D ∈/ Ap (R2 ) ïðè p ≤ 1+α/(2+α).Ìû ïîêàçûâàåì, ÷òî (ïðè íåêîòîðîì ïðîñòîì óñëîâèè, íàëîæåííîì íà ω ) ýòîòðåçóëüòàò ÿâëÿåòñÿ òî÷íûì, à èìåííî ñïðàâåäëèâàÏóñòü ω(2δ) < 2ω(δ) ïðè âñåõ äîñòàòî÷íî ìàëûõ δ > 0.
Ñóùåñòâóåò îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü D ⊆ R2 ñ C 1,ω -ãëàäêîé ãðàíèöåé òàêàÿ, ÷òî1D ∈ Ap (R2 ) ïðè âñåõ p, 1 < p < 2, äëÿ êîòîðûõÒåîðåìà 3.Z01δ 2p−3dδ < ∞.ω(δ)2−pÊðîìå òîãî, ãðàíèöà îáëàñòè D íå ñîäåðæèò îòðåçêîâ.Óñëîâèå îòñóòñòâèÿ îòðåçêîâ íà ãðàíèöå îçíà÷àåò, ÷òî ïîñòðîåííàÿ îáëàñòüñóùåñòâåííî îòëè÷àåòñÿ îò ìíîãîóãîëüíèêîâ.Èç ýòîé òåîðåìû íåìåäëåííî âûòåêàþò ïðèâåäåííûå íèæå ñëåäñòâèÿ.Äëÿ ëþáîãî α, 0 < α < 1, ñóùåñòâóåò îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòüD ⊆ R2 ñ C 1,α -ãëàäêîé ãðàíèöåé òàêàÿ, ÷òî 1D ∈ Ap (R2 ) ïðè âñåõ p > 1 +α/(2 + α). Ãðàíèöà îáëàñòè D íå ñîäåðæèò îòðåçêîâ.Ñëåäñòâèå 3.16Ñóùåñòâóåòîãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü D ⊆ R2 ñ C 1 -ãëàäêîé ãðàTíèöåé òàêàÿ, ÷òî 1D ∈ p>1 Ap(R2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
