Автореферат (1136174), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Ãðàíèöà îáëàñòè D íå ñîäåðæèò îòðåçêîâ.Ñëåäñòâèå 4.Ðåçóëüòàòû ãëàâû 2 ñóùåñòâåííûì îáðàçîì îïèðàþòñÿ íà ðåçóëüòàòû ãëàâû 1.Ïðîñòûå ñîîáðàæåíèÿ (ëåììà 1 ãëàâû 2) ïîçâîëÿþò ñâåñòè èçó÷åíèå õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ôóíêöèé îáëàñòåé ê èçó÷åíèþ ïîâåäåíèÿ ýêñïîíåíò.Ñîäåðæàíèå ãëàâû 3.Ïóñòü C(T) êëàññ íåïðåðûâíûõ (êîìïëåêñíîçíà÷íûõ) ôóíêöèé íà îêðóæíîñòè T. Ìû ðàññìàòðèâàåì íåêîòîðûå ïðîñòðàíñòâà X ôóíêöèé íà T, åñòåñòâåííûìîáðàçîì ñâÿçàííûå ñ ðàçëîæåíèåì â ðÿä Ôóðüå, è èçó÷àåì ñëåäóþùèé âîïðîñîá óñòîé÷èâîñòè íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé â ýòèõ ïðîñòðàíñòâàõ: êàêèå ôóíêöèèf ∈ C(T) îáëàäàþò òåì ñâîéñòâîì, ÷òî äëÿ ëþáîãî ãîìåîìîðôèçìà h îêðóæíîñòè T íà ñåáÿ ñóïåðïîçèöèÿ f ◦ h ïðèíàäëåæèò X?Ïåðâûå ðåçóëüòàòû â ýòîì íàïðàâëåíèè ïîëó÷åíû Ê.
Ãîôôìàíîì è Ä. Âàòåðìàíîì 46 , à òàêæå À. Áåðíñòàéíîì è Ä. Âàòåðìàíîì 47 â ñëó÷àÿõ, êîãäà X ýòîñîîòâåòñòâåííî ïðîñòðàíñòâî ôóíêöèé, èìåþùèõ ñõîäÿùèéñÿ âñþäó ðÿä Ôóðüå, èïðîñòðàíñòâî ôóíêöèé, èìåþùèõ ðàâíîìåðíî ñõîäÿùèéñÿ ðÿä Ôóðüå. Ä. Âàòåðìàí 48 ðàññìàòðèâàë ïðîñòðàíñòâà ôóíêöèé, èìåþùèõ çàäàííóþ ñêîðîñòü óáûâàíèÿ êîýôôèöèåíòîâ Ôóðüå, è ïîêàçàë, ÷òî äëÿ ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèè f ∈ C(T)ñëåäóþùèå óñëîâèÿ ýêâèâàëåíòíû:(i) f[◦ h(n) = O(γ(|n|)/|n|), |n| → ∞, äëÿ ëþáîãî ãîìåîìîðôèçìà h;(ii) V (f, n) = O(γ(n)).Çäåñü γ çàäàííàÿ ôóíêöèÿ, óäîâëåòâîðÿþùàÿ íåêîòîðûì ïðîñòûì óñëîâèÿì,è V (f, n) ìîäóëü âàðèàöèè ôóíêöèè f , ââåäåííûé Ç. À.
×àíòóðèåé 49 (ñì.òàêæå 50 , 51 ) è ïîçæå, íåçàâèñèìî, Å. À. Ñåâàñòüÿíîâûì 52 , à èìåííî:V (f, n) = supnX|f (bj ) − f (aj )|,j=1ãäå n ôèêñèðîâàíî è âåðõíÿÿ ãðàíü áåðåòñÿ ïî âñåâîçìîæíûì íàáîðàì ïîïàðíîíåïåðåñåêàþùèõñÿ èíòåðâàëîâ (aj , bj ) ⊂ T, j = 1, 2, . . . , n.  ÷àñòíîñòè, f[◦ h(n) =46 GomanC., Waterman D., Functions whose Fourier series converge for every change of variable, Proc. Amer.Math. Soc., 19:1 (1968), 8086.47 Baernstein A., Waterman D., Functions whose Fourier series converge uniformly for every change of variable,Indiana Univ. Math.
J., 22 (1972), 569576.48 Waterman D., On the preservation of the order of magnitude of Fourier coecients under every change of variable,Analysis, 6:23 (1986), 255264.49 ×àíòóðèÿ Ç. À., Ìîäóëü èçìåíåíèÿ ôóíêöèè è åãî ïðèìåíåíèÿ â òåîðèè ðÿäîâ Ôóðüå, ÄÀÍ ÑÑÑÐ, 214:1(1974), 6366.50 ×àíòóðèÿ Ç. À., Îá àáñîëþòíîé ñõîäèìîñòè ðÿäîâ Ôóðüå, Ìàòåì. çàìåòêè, 18:2 (1975), 185192.51 ×àíòóðèÿ Ç. À., Î ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ðÿäîâ Ôóðüå, Ìàòåì. ñá., 100(142):4(8) (1976), 534554.52 Ñåâàñòüÿíîâ Å.
À., Êóñî÷íî ìîíîòîííàÿ àïïðîêñèìàöèÿ è Ô -âàðèàöèÿ, Anal. Math., 1:2 (1975), 141164.17O(1/|n|) äëÿ ëþáîãî ãîìåîìîðôèçìà h òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà f ôóíêöèÿîãðàíè÷åííîé âàðèàöèè.Îòìåòèì, ÷òî íåòðèâèàëüíàÿ ÷àñòü òåîðåìû Âàòåðìàíà ýòî óòâåðæäåíèå(i)⇒(ii). Èìïëèêàöèÿ (ii)⇒(i) äîêàçûâàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïîëüçóÿñü õîðîøî èçâåñòíîé îöåíêîé |bg (n)| ≤ cω1 (g, 1/|n|) êîýôôèöèåíòîâ Ôóðüå ÷åðåç L1-ìîäóëü íåïðåðûâíîñòè (ñì. 53 ) è îöåíêîé ω1 (g, 1/n) ≤ cV (g, n)/n, ïîëó÷åííîéâ 54 , ìû èìååì |bg (n)| ≤ cV (g, |n|)/|n|, n ∈ Z, n 6= 0, è îñòàåòñÿ ëèøü çàìåòèòü,÷òî ìîäóëü âàðèàöèè ôóíêöèè èíâàðèàíòåí îòíîñèòåëüíî çàìåí ïåðåìåííîé, ò.å.V (f, n) = V (f ◦ h, n) äëÿ ëþáîãî ãîìåîìîðôèçìà h : T → T.
Ïîäîáíàÿ ñèòóàöèÿ ÿâëÿåòñÿ òèïè÷íîé äëÿ ðÿäà ïðîñòðàíñòâ.  âîïðîñå óñòîé÷èâîñòè íåòðèâèàëüíûì ÿâëÿåòñÿ ïîëó÷åíèå íåîáõîäèìîãî óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè. Äîñòàòî÷íîåóñëîâèå îáû÷íî ïîëó÷àåòñÿ ñðàâíèòåëüíî ïðîñòî.Íàøè ðåçóëüòàòû îá óñòîé÷èâîñòè ôîðìóëèðóþòñÿ â îñíîâíîì â òåðìèíàõ ìîäóëÿ êâàäðàòè÷íîé âàðèàöèè. Íàïîìíèì, ÷òî êâàäðàòè÷íàÿ âàðèàöèÿ V2 (f ) ôóíêöèè f íà T îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåìV2 (f ) = supnX2|f (bj ) − f (aj )|1/2,j=1ãäå âåðõíÿÿ ãðàíü áåðåòñÿ ïî âñåì n è âñåì íàáîðàì ïîïàðíî íåïåðåñåêàþùèõñÿèíòåðâàëîâ (aj , bj ) ⊂ T, j = 1, 2, .
. . , n. Îïðåäåëèì ìîäóëü êâàäðàòè÷íîé âàðèàöèè V2 (f, n), n = 1, 2, . . . , ôóíêöèè f , ïîëàãàÿV2 (f, n) = supnX2|f (bj ) − f (aj )|1/2,j=1ãäå n ôèêñèðîâàíî è âåðõíÿÿ ãðàíü áåðåòñÿ ïî âñåâîçìîæíûì íàáîðàì èç n ïîïàðíî íåïåðåñåêàþùèõñÿ èíòåðâàëîâ (aj , bj ) ⊂ T, j = 1, 2, . . . , n. 1 ïîëó÷åíû äâå îáùèå òåîðåìû îá óñòîé÷èâîñòè.  äàëüíåéøåì (â 2, 3)ýòè òåîðåìû èñïîëüçóþòñÿ ïðè îïèñàíèè êëàññîâ óñòîé÷èâûõ ôóíêöèé â ðÿäå êîíêðåòíûõ ïðîñòðàíñòâ. Îñíîâíûì ðåçóëüòàòîì ÿâëÿåòñÿ òåîðåìà 1, êîòîðàÿ äàåòíåîáõîäèìîå èíâàðèàíòíîå óñëîâèå óñòîé÷èâîñòè äëÿ äîñòàòî÷íî øèðîêîãî êëàññàïðîñòðàíñòâ ôóíêöèé íà îêðóæíîñòè.Èçëîæèì ðåçóëüòàòû 1 ïîäðîáíåå.
Ìû ðàññìàòðèâàåì ëèíåéíûå íîðìèðîâàííûå ïðîñòðàíñòâà X ôóíêöèé íà îêðóæíîñòè T, îáëàäàþùèå ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:(a) X ⊆ L1 (T);(b) åñëè g ∈ X, f ∈ L1 (T) è |fb(k)| ≤ |bg (k)| ïðè âñåõ k ∈ Z, òî f ∈ X èkf kX ≤ kgkX ;(c) åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé fn ∈ X, n = 1, 2, . . . , ñõîäèòñÿ â L1 (T) êôóíêöèè f è kfn kX ≤ c, n = 1, 2, . . . , òî f ∈ X è kf kX ≤ c;53 ÁàðèÍ. Ê., Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ðÿäû, Ôèçìàòãèç, Ì., 1961.Ç.
À., Îá àáñîëþòíîé ñõîäèìîñòè ðÿäîâ Ôóðüå, Ìàòåì. çàìåòêè, 18:2 (1975), 185192.54 ×àíòóðèÿ18(d) ïðè ëþáîì n ∈ Z îïåðàòîð Qn : f → en f óìíîæåíèÿ íà ýêñïîíåíòó en (t) =e , t ∈ T, ÿâëÿåòñÿ îãðàíè÷åííûì îïåðàòîðîì â X, è ñóùåñòâóåò σ ≥ 0 òàêîå,÷òî kQn k = O(|n|σ ), |n| → ∞;(e) õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ 1I ëþáîãî èíòåðâàëà I ⊆ T ïðèíàäëåæèò X.Ïðîñòûì ïðèìåðîì òàêèõ ïðîñòðàíñòâ ÿâëÿþòñÿ ïðîñòðàíñòâà Ap (T), 1 < p < 2.Äðóãèì ïðèìåðîì ñëóæàò ïðîñòðàíñòâà Ñîáîëåâà W2λ (T), 0 < λ < 1/2, ñîñòîÿùèåèç ôóíêöèé f ∈ L1 (T) òàêèõ, ÷òîintkf kW2λ = |fb(0)| +X22λ1/2|fb(k)| |k|< ∞.kÄëÿ ïðîèçâîëüíîãî ïðîñòðàíñòâà X ñî ñâîéñòâàìè (a)(e) ïîëîæèìαX (δ) = k1(−δ, δ) kX ,0 < δ ≤ π.Îòìåòèì, ÷òî äëÿ ìíîãèõ ïðîñòðàíñòâ ïîëó÷èòü îöåíêó âåëè÷èíû αX (δ) íå ïðåäñòàâëÿåò òðóäà.Íàìè ïîëó÷åíà ñëåäóþùàÿÏóñòü ëèíåéíîå íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî X ôóíêöèé íàîêðóæíîñòè T îáëàäàåò ñâîéñòâàìè (a)(e).
Ïóñòü f ∈ C(T). Ïðåäïîëîæèì,÷òî äëÿ ëþáîãî ãîìåîìîðôèçìà h îêðóæíîñòè T íà ñåáÿ ñóïåðïîçèöèÿ f ◦ hïðèíàäëåæèò X. ÒîãäàÒåîðåìà 1.V2 (f, n) = O1,αX (1/n)n → ∞.Îòìåòèì îñîáóþ ðîëü ñâîéñòâà (e). Êàê îêàçàëîñü, åñëè ïðîñòðàíñòâî X îáëàäàåò ñâîéñòâàìè (a)(d), íî íå îáëàäàåò ñâîéñòâîì (e), òî âñÿêàÿ íåïðåðûâíàÿôóíêöèÿ, îñòàþùàÿñÿ â X ïîñëå ëþáîé çàìåíû ïåðåìåííîé, ïîñòîÿííà. Ïðè ýòîìâìåñòî ñâîéñòâà (b) äîñòàòî÷íî ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû X îáëàäàëî ñëåäóþùèì áîëååñëàáûì ñâîéñòâîì:(b0 ) åñëè f ∈ X, òî ïðè ëþáîì θ ∈ T ôóíêöèÿ fθ (t) = f (t + θ) ïðèíàäëåæèò X.ÑïðàâåäëèâàÏóñòü ëèíåéíîå íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî X ôóíêöèé íà Tîáëàäàåò ñâîéñòâàìè (a), (b0), (c), (d), íî íå îáëàäàåò ñâîéñòâîì (e).
Ïóñòüf ∈ C(T). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äëÿ ëþáîãî ãîìåîìîðôèçìà h îêðóæíîñòè T íàñåáÿ ñóïåðïîçèöèÿ f ◦ h ïðèíàäëåæèò X. Òîãäà f = const.Òåîðåìà 2. ÷àñòíîñòè, îòñþäà ïîëó÷àåì, ÷òî â ïðîñòðàíñòâå A(T) óñòîé÷èâû ëèøü ïîñòîÿííûå. Ïîñëåäíèé ôàêò áûë âïåðâûå îòìå÷åí À. Ì. Îëåâñêèì 55 , 56 .55 ÎëåâñêèéÀ. Ì., Ìîäèôèêàöèè ôóíêöèé è ðÿäû Ôóðüå, ÓÌÍ, 40:3(243) (1985), 157193.À. Ì., Ãîìåîìîðôèçìû îêðóæíîñòè, ìîäèôèêàöèè ôóíêöèé è ðÿäû Ôóðüå, Proceedings of theInternational Congress of Mathematicians (Berkeley, CA, USA, 1986), Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1987, 976989.56 Îëåâñêèé19 2, 3 ìû ðàññìàòðèâàåì ðÿä êîíêðåòíûõ ïðîñòðàíñòâ ôóíêöèé è îïèñûâàåìôóíêöèè óñòîé÷èâûå â ýòèõ ïðîñòðàíñòâàõ.
Íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòèïîëó÷àþòñÿ ïðèìåíåíèåì îáùåé òåîðåìû 1 (èëè òåîðåìû 2). Äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿïîëó÷åíû âïîëíå ñòàíäàðòíûìè ìåòîäàìè (ñì. ëåììó 5 ãë. 3). Äëÿ íåêîòîðûõ ïðîñòðàíñòâ íàì óäàëîñü ïîëó÷èòü ïîëíîå îïèñàíèå ñîîòâåòñòâóþùèõ êëàññîâ óñòîé÷èâûõ ôóíêöèé.Íàïîìíèì, ÷òî ñëàáîå ïðîñòðàíñòâî lp , 1 ≤ p < ∞, ýòî ïðîñòðàíñòâî ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé êîìïëåêñíûõ ÷èñåë x = {xk , k ∈ Z} òàêèõ, ÷òîcard{k ∈ Z : |xk | > λ} = O(1/λp ),λ → +0,ãäå card E ÷èñëî ýëåìåíòîâ (êîíå÷íîãî) ìíîæåñòâà E .
Êëàññ ôóíêöèé ñ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ êîýôôèöèåíòîâ Ôóðüå èç ñëàáîãî lp óìåñòíî íàçûâàòü ñëàáûìAp . 2 ðàññìàòðèâàþòñÿ ïðîñòðàíñòâà ôóíêöèé íà T ñ çàäàííûì ðàñïðåäåëåíèåìïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå. Ïóñòü çàäàíà íåïðåðûâíàÿ ñòðîãî âîçðàñòàþùàÿ ôóíêöèÿϕ íà íåêîòîðîì îòðåçêå [0, λ0 ] (λ0 > 0) òàêàÿ, ÷òî ϕ(0) = 0. Ðàññìîòðèì ïðîñòðàíñòâî (èíòåãðèðóåìûõ) ôóíêöèé f íà T òàêèõ, ÷òîcard{k ∈ Z : |fb(k)| > λ} = O(1/ϕ(λ)),λ → +0.Ïðè íåêîòîðûõ äîïîëíèòåëüíûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ îòíîñèòåëüíî ϕ ìû ïîêàçûâàåì(òåîðåìà 3), ÷òî äëÿ óñòîé÷èâîñòè ôóíêöèè f ∈ C(T) â ýòîì ïðîñòðàíñòâå íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü óñëîâèå V2 (f, n) = O(nϕ−1 (1/n)), n → ∞(ãäå ϕ−1 ôóíêöèÿ, îáðàòíàÿ ê ϕ).Èç ýòîãî ðåçóëüòàòà, ïîëàãàÿ ϕ(λ) = λp , íåìåäëåííî ïîëó÷àåì îïèñàíèå êëàññàôóíêöèé óñòîé÷èâûõ â ñëàáîì Ap .
À èìåííî, ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå äâå òåîðåìû.Ïóñòü f ∈ C(T). Ñëåäóþùèå óñëîâèÿ ýêâèâàëåíòíû:(i) äëÿ ëþáîãî ãîìåîìîðôèçìà h îêðóæíîñòè T íà ñåáÿ èìååìÒåîðåìà 4. 1card{k ∈ Z : |f[◦ h(k)| > λ} = O,λ(ii)λ → +0;ôóíêöèÿ f èìååò îãðàíè÷åííóþ êâàäðàòè÷íóþ âàðèàöèþ.Òåîðåìà 5.Ïóñòü 1 < p < 2. Ïóñòü f ∈ C(T).
Ñëåäóþùèå óñëîâèÿ ýêâèâà-ëåíòíû:(i) äëÿ ëþáîãî ãîìåîìîðôèçìà h îêðóæíîñòè T íà ñåáÿ èìååì1card{k ∈ Z : |f[◦ h(k)| > λ} = O p ,λ(ii) V2 (f, n) = O(n1/q ), n → ∞,ãäå 1/p + 1/q = 1.20λ → +0;Îòìåòèì, ÷òî â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè, ñôîðìóëèðîâàííûåâ òåðìèíàõ ðîñòà ìîäóëÿ êâàäðàòè÷íîé âàðèàöèè V2 (f, n), ìîæíî ýêâèâàëåíòíûìîáðàçîì äàòü â òåðìèíàõ ðîñòà ìîäóëÿ âàðèàöèè V (f, n). ßñíî, ÷òî V (f, n) ≤n1/2 V2 (f, n). Ìåæäó òåì, ìîæíî îöåíèòü V2 (f, n) ÷åðåç V (f, n).  ÷àñòíîñòè, ïðèγ > 0 èìååì V2 (f, n) = O(nγ ) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà V (f, n) = O(n1/2+γ )(ëåììà 7 è ñëåäñòâèå 1). 3 ðàññìàòðèâàþòñÿ ïðîñòðàíñòâà Ap (T), ïðîñòðàíñòâà Ñîáîëåâà W2λ (T) èíåêîòîðûå äðóãèå ïðîñòðàíñòâà ôóíêöèé íà T. Íåñëîæíî ïîêàçàòü, ÷òî (ìû ñ÷èP∞pòàåì ôóíêöèþ f íåïðåðûâíîé) ïðè 1 < p < 2 óñëîâèån=1 (V2 (f, n)/n) < ∞âëå÷åò f ∈ Ap .
Ïîñêîëüêó óêàçàííîå óñëîâèå èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî ñóïåðïîçèöèé ôóíêöèè f ñ ãîìåîìîðôèçìàìè, èç íåãî ñëåäóåò, ÷òî f ◦ h ∈ Ap äëÿ ëþáîãîãîìåîìîðôèçìà h. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, èç òåîðåìû 5 íåìåäëåííî ïîëó÷àåì, ÷òî (ïðè1 < p < 2) åñëè f ◦ h ∈ Ap äëÿ ëþáîãî ãîìåîìîðôèçìà h, òî V2 (f, n) = O(n1/q ).(Ýòî òàêæå ëåãêî ïîëó÷èòü íàïðÿìóþ, ïðèìåíÿÿ îáùóþ òåîðåìó 1 ê ïðîñòðàíñòâóX = Ap , äîñòàòî÷íî ëèøü çàìåòèòü, ÷òî ïðè p > 1 èìååì αAp (T) (δ) ' δ 1/q .) Òàêèìîáðàçîì âåðíàÒåîðåìà 6.1)åñëèÏóñòü 1 < p < 2 è f ∈ C(T). Òîãäà:p∞ XV2 (f, n)n=1n< ∞,òî f ◦ h ∈ Ap(T) äëÿ ëþáîãî ãîìåîìîðôèçìà h : T → T; â ÷àñòíîñòè ýòî òàê,åñëè V2(f, n) = O(n1/q−ε) ïðè íåêîòîðîì ε > 0 (1/p + 1/q = 1);2) åñëè f ◦h ∈ Ap (T) äëÿ ëþáîãî ãîìåîìîðôèçìà h : T → T, òî V2 (f, n) = O(n1/q ).Òåì ñàìûì, íàìè ïîëó÷åí ÷àñòè÷íûé îòâåò íà ïîñòàâëåííûé À.
Ì. Îëåâñêèì 57 , 58 âîïðîñ îá îïèñàíèè ôóíêöèé, óñòîé÷èâûõ â Ap . Îòìåòèì åùå, ÷òî èçòåîðåìû 6 âûòåêàåòÏóñòü f ∈ C(T). Ñëåäóþùèå óñëîâèÿ ýêâèâàëåíòíû:p>1 Ap (T) äëÿ ëþáîãî ãîìåîìîðôèçìà h : T → T;Ñëåäñòâèå 2.(i) f ◦ h ∈(ii) ïðè ëþáîì ε > 0 èìååì V2 (f, n) = O(nε ), n → ∞.TÐåçóëüòàò ïîäîáíûé òåîðåìå 6 èìååò ìåñòî äëÿ ïðîñòðàíñòâ W2λ , 0 < λ < 1/2,à èìåííî âåðíà57 ÎëåâñêèéÀ.
Ì., Ìîäèôèêàöèè ôóíêöèé è ðÿäû Ôóðüå, ÓÌÍ, 40:3(243) (1985), 157193.À. Ì., Ãîìåîìîðôèçìû îêðóæíîñòè, ìîäèôèêàöèè ôóíêöèé è ðÿäû Ôóðüå, Proceedings of theInternational Congress of Mathematicians (Berkeley, CA, USA, 1986), Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1987, 976989.58 Îëåâñêèé21Òåîðåìà 7.1)åñëèÏóñòü 0 < λ < 1/2 è f ∈ C(T). Òîãäà:2∞ XV2 (f, n)n=1n1−λ< ∞,òî f ◦ h ∈ W2λ(T) äëÿ ëþáîãî ãîìåîìîðôèçìà h : T → T; â ÷àñòíîñòè ýòî òàê,åñëè V2(f, n) = O(n1/2−λ−ε) ïðè íåêîòîðîì ε > 0;2) åñëè f ◦ h ∈ W2λ (T) äëÿ ëþáîãî ãîìåîìîðôèçìà h : T → T, òî V2 (f, n) =O(n1/2−λ ).Äîêàçàòåëüñòâî ñëîæíîé ÷àñòè ýòîé òåîðåìû, ò.å.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
