Автореферат (1136174), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Çàìêíóòûé íîñèòåëü ýòîéìåðû íàçûâàåòñÿ ñïåêòðîì ôóíêöèè S .Êàê ïîêàçàë È. Ý. Âåðáèöêèé 75 , ñèíãóëÿðíàÿ âíóòðåííÿÿ ôóíêöèÿ1+zS(z) = exp − a,a>01−zZ(ñïåêòð êîòîðîé îäíîòî÷å÷íîå ìíîæåñòâî {1}), ïðèíàäëåæèò Mp+ (D) ëèøü âòðèâèàëüíîì ñëó÷àå p = 2. Ñóùåñòâóþò ëè âîîáùå ñèíãóëÿðíûå âíóòðåííèå ôóíêöèè S 6≡ 1 â Mp+ (D), p 6= 2? Îòâåò íà ýòîò âîïðîñ, ïîñòàâëåííûé Ñ.
À. Âèíîãðàäîâûì â 76 , íàì íå èçâåñòåí. Òåì íå ìåíåå ìû óêàçûâàåì ðÿä óñëîâèé, õàðàêòåðèçóþùèõ ìàññèâíîñòü çàìêíóòûõ ìíîæåñòâ íà îêðóæíîñòè, âûïîëíåíèå êîòîðûõ äëÿïðîèçâîëüíî âçÿòîãî ìíîæåñòâà E ⊆ ∂D îçíà÷àåò, ÷òî E íå ìîæåò ñëóæèòü ñïåêòðîì íèêàêîé ñèíãóëÿðíîé âíóòðåííåé ôóíêöèè èç Mp+ (D) ïðè p 6= 2 (òåîðåìû1, 2 è èõ ñëåäñòâèÿ 1, 2, 3). Ãðóáî ãîâîðÿ, ýòî èìååò ìåñòî, åñëè E íåäîñòàòî÷íî ìàññèâíî.  ÷àñòíîñòè, èç ýòèõ óñëîâèé ñëåäóåò, ÷òî åñëè ñïåêòð ñèíãóëÿðíîéâíóòðåííåé ôóíêöèè S ÿâëÿåòñÿ íåïóñòûì ïîðèñòûì ìíîæåñòâîì, òî S ïðèíàäëåæèò Mp+ (D) ëèøü ïðè p = 2. § 2 ìû ðàññìàòðèâàåì ïðîèçâåäåíèÿ Áëÿøêå, ò.å.
ôóíêöèè âèäàB(z) = z mY −|zn | z − znzn 1 − zn zzn 6=0ñ íóëÿìè {zn } ⊂ D, óäîâëåòâîðÿþùèìè óñëîâèþ∞X(1 − |zn |) < ∞n=1(âñÿêàÿ òàêàÿ ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ âíóòðåííåé). Èçâåñòíî, ÷òî åñëè íóëè ïðîèçâåäåíèÿ Áëÿøêå B èìåþò åäèíñòâåííóþ ïðåäåëüíóþ òî÷êó (íà ∂D) è íàêàïëèâàþòñÿê íåé î÷åíü áûñòðî, òî B ∈ Mp+ (D). Òî÷íåå, ïóñòü B ïðîèçâåäåíèå Áëÿøêå ñíóëÿìè {zn }, zn → 1, òàêèìè, ÷òîX|1 − zn | = O(ε),ε → +0;(13)n:|1−zn |<εòîãäà B ∈ 1<p<∞ Mp+ (D).
Ýòî òåîðåìà ÂèíîãðàäîâàÂåðáèöêîãî (ïåðâîíà÷àëüíîîíà áûëà äîêàçàíà Âèíîãðàäîâûì 77 â ñëó÷àå, êîãäà zn ñòðåìÿòñÿ ê 1 íåêàñàòåëü-T75 ÂåðáèöêèépÈ. Ý., Î ìóëüòèïëèêàòîðàõ ïðîñòðàíñòâ lA. Ôóíêö. àíàëèç è åãî ïðèë., 14:3 (1980), 6768.pS. A., Multiplicative properties of lA . In: Linear and Complex Analysis Problem Book, Lect. Notesin Math., Vol.
1034, Springer-Verlag, 1984, pp. 572574.77 Âèíîãðàäîâ Ñ. À., Ìóëüòèïëèêàòîðû ñòåïåííûõ ðÿäîâ ñ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ êîýôôèöèåíòîâ èç lp . Çàï.íàó÷í. ñåì. ËÎÌÈ, 39(1974), 3039.76 Vinogradov26íî, è âïîñëåäñòâèè ðàñïðîñòðàíåíà íà îáùèé ñëó÷àé íåçàâèñèìî Âèíîãðàäîâûì 78è Âåðáèöêèì 79 ). Ìû ðàññìàòðèâàåì ïðîèçâåäåíèÿ Áëÿøêå B ñ åäèíñòâåííîé ïðåäåëüíîé òî÷êîé íóëåé è ïðè íåêîòîðîì äîïîëíèòåëüíîì ïðåäïîëîæåíèè î ðàñïîëîæåíèè íóëåé ïîëó÷àåì óñëîâèå, íåîáõîäèìîå äëÿ âêëþ÷åíèÿ B ∈ Mp+ (D) (òåîðåìà 3). Ïîëüçóÿñü ýòèì óñëîâèåì, ìû ïîêàçûâàåì (òåîðåìà 4), ÷òî åñëè íóëè ïðîèçâåäåíèÿ Áëÿøêå ñòðåìÿòñÿ ê 1 íåêàñàòåëüíûì îáðàçîì, îñòàâàÿñü â çàìêíóòîéâåðõíåé ïîëóïëîñêîñòè, òî âåðíî óòâåðæäåíèå îáðàòíîå ê òåîðåìå ÂèíîãðàäîâàÂåðáèöêîãî: â ýòîì ñëó÷àå, åñëè B ∈ Mp+ (D) ïðè êàêîì-ëèáî p 6= 2, òî âûïîëíÿåòñÿ (13).Íåÿñíî, ê êàêèì ìíîæåñòâàì íà ∂D ìîãóò íàêàïëèâàòüñÿ íóëè ïðîèçâåäåíèéÁëÿøêå, ïðèíàäëåæàùèõ Mp+ (D), p 6= 2.
Ìû ñòðîèì (òåîðåìà 5) ïðîèçâåäåíèåTÁëÿøêå, ïðèíàäëåæàùåå 1<p<∞ Mp+ (D), òàêîå, ÷òî ìíîæåñòâî ïðåäåëüíûõ òî÷åêåãî íóëåé ñîâåðøåííî.Íàïîìíèì, ÷òî â îáùåì ñëó÷àå ñïåêòðîì âíóòðåííåé ôóíêöèè I íàçûâàåòñÿìíîæåñòâî σ(I) âñåõ ξ ∈ C òàêèõ, ÷òî 1/I íå ìîæåò áûòü àíàëèòè÷åñêè ïðîäîëæåíà â îêðåñòíîñòü òî÷êè ξ . Êàê èçâåñòíî 80 , âñÿêàÿ âíóòðåííÿÿ ôóíêöèÿI äîïóñêàåò ôàêòîðèçàöèþ I = λBS , ãäå λ ∈ C, |λ| = 1, ïîñòîÿííàÿ, B ïðîèçâåäåíèå Áëÿøêå, è S ñèíãóëÿðíàÿ âíóòðåííÿÿ ôóíêöèÿ. Ïðè ýòîì èìååìσ(I) = {zn } ∪ supp µ, ãäå {zn } çàìûêàíèå ìíîæåñòâà íóëåé {zn } ìíîæèòåëÿÁëÿøêå B è supp µ çàìêíóòûé íîñèòåëü ïðåäñòàâëÿþùåé ìåðû ñèíãóëÿðíîãîìíîæèòåëÿ S (ñì. 81 ). Îòìåòèì, ÷òî, êàê ïîêàçàíî â 82 , åñëè ñïåêòð σ(I) âíóòðåííåé ôóíêöèè I â ïåðåñå÷åíèè ñ ãðàíè÷íîé îêðóæíîñòüþ èìååò ïîëîæèòåëüíóþ ìåðó, òî I ∈/ Mp+ (D), êàêîâî áû íè áûëî p 6= 2.
Ýòîò ðåçóëüòàò ñëåäóåò èçñâîéñòâà ñóùåñòâåííîé íåïðåðûâíîñòè lp -ìóëüòèïëèêàòîðîâ Ôóðüå, ïîëó÷åííîãîàâòîðîì ñîâìåñòíî ñ À. Ì. Îëåâñêèì â 83 , ñì. òàêæå 84 , 85 .  ÷àñòíîñòè, åñëè íóëèïðîèçâåäåíèÿ Áëÿøêå B íàêàïëèâàþòñÿ ê ìíîæåñòâó ïîëîæèòåëüíîé ìåðû, òîB ∈/ Mp+ (D) ïðè p 6= 2. Ïî òîé æå ïðè÷èíå, åñëè S ñèíãóëÿðíàÿ âíóòðåííÿÿôóíêöèÿ òàêàÿ, ÷òî åå ñïåêòð èìååò ïîëîæèòåëüíóþ ìåðó, òî S ∈/ Mp+ (D) ïðèp 6= 2.
Åñëè æå âçÿòü âíóòðåííþþ ôóíêöèþ I òàêóþ, ÷òî åå ñïåêòð â ïåðåñå÷åíèè ñ ãðàíè÷íîé îêðóæíîñòüþ ∂D èìååò íóëåâóþ ìåðó è ðàññìîòðåòü ãðàíè÷íîåçíà÷åíèå ôóíêöèè I êàê ôóíêöèþ íà îêðóæíîñòè T, òî èìååì I(eit ) = eig(t) , ãäå g78 ÂèíîãðàäîâÑ. À., Ìóëüòèïëèêàòèâíûå ñâîéñòâà ñòåïåííûõ ðÿäîâ ñ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ êîýôôèöèåíòîâèç lp , ÄÀÍ ÑÑÑÐ, 254:6 (1980), 13011306.79 Âåðáèöêèé È. Ý., Î ìóëüòèïëèêàòîðàõ ïðîñòðàíñòâ lp .
Ôóíêö. àíàëèç è åãî ïðèë., 14:3 (1980), 6768.A80 Ãàðíåò Äæ., Îãðàíè÷åííûå àíàëèòè÷åñêèå ôóíêöèè, Ìèð, Ì., 1984.81 Íèêîëüñêèé Í. Ê., Ëåêöèè îá îïåðàòîðå ñäâèãà, Íàóêà, M., 1980.82 Lebedev V. V., Spectra of Inner functions and lp -Multipliers, in: Complex Analysis, Operators, and RelatedTopics: The S. A. Vinogradov Memorial Volume, Operator Theory: Advances and Applications, 113, eds.: V. P. Havin,N. K.
Nikolski; Birkhauser, Basel-Boston-Berlin, 2000, 205212.83 Lebedev V., Olevski A., Bounded groups of translation invariant operators, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, 322(1996), 143147.84 Lebedev V., Olevski A., Idempotents of Fourier multiplier algebra, Geometric and Functional Analysis (GAFA),4:5 (1994), 540544.85 Ëåáåäåâ Â. Â., Îëåâñêèé À. Ì., Lp -ìóëüòèïëèêàòîðû Ôóðüå ñ îãðàíè÷åííûìè ñòåïåíÿìè, Èçâ. ÐÀÍ. Ñåð.ìàòåì., 70:3 (2006), 129166.27 âåùåñòâåííàÿ ôóíêöèÿ, ãëàäêàÿ íà âñÿêîì èíòåðâàëå, äîïîëíèòåëüíîì ê ìíîæåñòâó F , êîòîðîå îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì σ(I) ∩ ∂D = {eit , t ∈ F }. Ïðèýòîì, åñëè J èíòåðâàë, ñîäåðæàùèéñÿ â T \ F è íàõîäÿùèéñÿ áëèçêî îò F , òî gñèëüíî îñöèëëèðóåò íà J , è ïîâåäåíèå ôóíêöèè I(eit ) íàïîìèíàåò ïîâåäåíèå ýêñïîíåíòû eiλϕ(t) ñ áîëüøîé ÷àñòîòîé λ. Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî ïîçâîëÿåò èñïîëüçîâàòüïðè èññëåäîâàíèè âíóòðåííèõ ôóíêöèé èç Mp+ (D) ñîîáðàæåíèÿ, èñïîëüçóåìûåïðè èññëåäîâàíèè ýêñïîíåíò eiλϕ .Áëàãîäàðíîñòüß áëàãîäàðåí À.
Ì. Îëåâñêîìó. Ìîé èíòåðåñ ê òåîðèè ôóíêöèé è ãàðìîíè÷åñêîìó àíàëèçó ñôîðìèðîâàëñÿ ïîä åãî âëèÿíèåì.ß áëàãîäàðåí Å. À. Ãîðèíó çà íåèçìåííóþ ìîðàëüíóþ ïîääåðæêó è çà çàìå÷àíèÿ, ñïîñîáñòâîâàâøèå óëó÷øåíèþ ñòèëÿ èçëîæåíèÿ è îðãàíèçàöèè òåêñòà äèññåðòàöèè.Ïåðâîíà÷àëüíî òåîðåìà 1 ãëàâû 1 áûëà ïîëó÷åíà àâòîðîì â áîëåå ñëàáîé ôîðìå (ïðàâàÿ ÷àñòü óñëîâèÿ (7) èìåëà âèä o((log log log n)1/16 )).  äîêàçàòåëüñòâåèñïîëüçîâàëàñü òåîðåìà ÃðèíàÑàíäåðñà 86 . ß áëàãîäàðåí Ñ. Â. Êîíÿãèíó, óêàçàâøåìó ìíå íà ïîëó÷åííóþ èì ñîâìåñòíî ñ Á. Ãðèíîì òåîðåìó 1.3 ðàáîòû 87 .Èñïîëüçîâàíèå ýòîé òåîðåìû âìåñòî òåîðåìû ÃðèíàÑàíäåðñà ïîçâîëèëî óëó÷øèòü ðåçóëüòàò.ß áëàãîäàðåí: Þ.
Í. Êóçíåöîâîé çà ïîìîùü â äîêàçàòåëüñòâå ëåììû 3 ãëàâû 1;Ì. Â. Êîðîáêîâó çà îáñóæäåíèå åãî ðåçóëüòàòà 88 î ìíîæåñòâå çíà÷åíèé ãðàäèåíòà è Ì. Ë. Ãîëüäìàíó çà ïîëåçíîå çàìå÷àíèå î âëîæåíèè ñëàáîãî ïðîñòðàíñòâà l1â ïîäõîäÿùåå ïðîñòðàíñòâî Ìàðöèíêåâè÷à, ÷òî ïîçâîëèëî ñîêðàòèòü äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 3 ãëàâû 3.×àñòü ðåçóëüòàòîâ áûëà ïîëó÷åíà àâòîðîì âî âðåìÿ ðàáîòû â îòäåëå ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà èíñòèòóòà ìàòåìàòèêè Ïîëüñêîé àêàäåìèè íàóê, Âàðøàâà,Ïîëüøà, â 1999 ã..
ß áëàãîäàðåí Ì. Âîéöåõîâñêîìó, îðãàíèçîâàâøåìó ìîé âèçèò.Ðÿä ðåçóëüòàòîâ áûë ïîëó÷åí àâòîðîì âî âðåìÿ ðàáîòû íà ìàòåìàòè÷åñêîì îòäåëåíèè òåõíîëîãè÷åñêîãî èíñòèòóòà øòàòà Äæîðäæèÿ, Àòëàíòà, ÑØÀ, â 1999/2000àêàäåìè÷åñêîì ãîäó. ß áëàãîäàðåí Ì. Ëýéñè, îðãàíèçîâàâøåìó ìîé âèçèò.Ðàáîòà íàáðàíà â LATEX 2ε ñ èñïîëüçîâàíèåì ðåäàêòîðà WinEdt.
ß áëàãîäàðåíÈ. À. Ñèíåëîáîâó çà òåõíè÷åñêóþ ïîìîùü.ß áëàãîäàðåí ñëåäóþùèì ÷àñòíûì ëèöàì, â òå÷åíèå íåêîòîðîãî âðåìåíè ñîâìåñòíî îêàçûâàâøèì ìíå ðåãóëÿðíóþ áåñêîðûñòíóþ ôèíàíñîâóþ ïîìîùü: È. À.Ñèíåëîáîâó, À. Á. Ñèâêîâó è À. À. Ìàðêîâó. ß áëàãîäàðåí Â. À. Îâñÿííèêîâó, ñïîíñèðîâàâøåãî ìîþ ïîåçäêó íà êîíôåðåíöèþ Geometric Methods in Fourier86 GreenB., Sanders T., A quantitative version of the idempotent theorem in harmonic analysis, Ann. Math., 168:3(2008), 10251054.87 Green B., Konyagin S., On the Littlewood problem modulo a prime, Canad. J. Math., 61:1 (2009), 141164.88 Êîðîáêîâ Ì. Â., Ñâîéñòâà C 1 -ãëàäêèõ ôóíêöèé, ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ãðàäèåíòà êîòîðûõ òîïîëîãè÷åñêèîäíîìåðíî, Äîêë. ÐÀÍ, 430:1 (2010), 1820.28and Functional Analysis, Êèëü, Ãåðìàíèÿ, 10-14 àâãóñòà, 1998.
ß áëàãîäàðåí À. Â.Áåëîâó, èçûñêàâøåìó ñðåäñòâà äëÿ ìîåãî ó÷àñòèÿ â êîíôåðåíöèè ApproximationTheory and Fourier Analysis, Áàðñåëîíà, Èñïàíèÿ, 12-16 äåêàáðÿ 2011.Ðÿä ðåçóëüòàòîâ äèññåðòàöèè áûë ïîëó÷åí ïðè ÷àñòè÷íîé ïîääåðæêå ÐÔÔÈ;ãðàíòû 96-01-01438, 98-01-00529, 02-01-00997, 04-01-00169.Ðàáîòû àâòîðà ïî òåìå äèññåðòàöèè1.
Ëåáåäåâ Â. Â., Âíóòðåííèå ôóíêöèè è lp -ìóëüòèïëèêàòîðû,, 32:4 (1998), 1021.è åãî ïðèë.Ôóíêö. àíàëèç2. Lebedev V. V., Spectra of inner functions and lp -multipliers, in: ComplexAnalysis, Operators, and Related Topics: The S. A. Vinogradov Memorial Volume,, 113, eds.: V.
P. Havin, N. K.Nikolski; Birkhauser, Basel-Boston-Berlin, 2000, 205212.Operator Theory: Advances and Applications3. Ëåáåäåâ Â. Â., Äèôôåîìîðôèçìû îêðóæíîñòè è òåîðåìà ÁåðëèíãàÕåëñîíà,, 36:1 (2002), 3035.Ôóíêö. àíàëèç è åãî ïðèë.4. Ëåáåäåâ Â. Â., Î òîïîëîãè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé âíåêîòîðûõ ïðîñòðàíñòâàõ, ñâÿçàííûõ ñ ðÿäàìè Ôóðüå,, 74:2 (2010), 131164.Èçâ. ÐÀÍ. Ñåð.
ìà-òåì.5. Ëåáåäåâ Â. Â., Êîëè÷åñòâåííûå îöåíêè â òåîðåìàõ òèïà òåîðåìû ÁåðëèíãàÕåëñîíà,, 201:12 (2010), 103130.Ìàòåì. ñá.6. Ëåáåäåâ Â. Â., Îöåíêè â òåîðåìàõ òèïà òåîðåìû ÁåðëèíãàÕåëñîíà. Ìíîãîìåðíûé ñëó÷àé,, 90:3 (2011), 394407.Ìàòåì. çàìåòêè7. Ëåáåäåâ Â. Â., Àáñîëþòíî ñõîäÿùèåñÿ ðÿäû Ôóðüå.
Óñèëåíèå òåîðåìû ÁåðëèíãàÕåëñîíà,, 46:2 (2012), 5265.Ôóíêö. àíàëèç è åãî ïðèë.8. Ëåáåäåâ Â. Â., Î ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ðÿäîâ Ôóðüå,91:6 (2012), 946949.Ìàòåì. çàìåòêè,9. Ëåáåäåâ Â. Â., Î ôóíêöèÿõ èç L2 ñ îãðàíè÷åííûì ñïåêòðîì,203:11 (2012), 121128.Ìàòåì. ñá.,10. Ëåáåäåâ Â. Â., Î ïðåîáðàçîâàíèè Ôóðüå õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ôóíêöèé îáëàñòåé ñ C 1 -ãëàäêîé ãðàíèöåé,, 47:1 (2013), 3346.Ôóíêö. àíàëèç è åãî ïðèë.29.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
