Автореферат (1136174), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Ðåçóëüòàòû è ìåòîäû ðàáîòû ìîãóò íàéòè ïðèìåíåíèÿ â ãàðìîíè÷åñêîì àíàëèçå.3Àïðîáàöèÿ ðàáîòû.Ðåçóëüòàòû ðàáîòû äîêëàäûâàëèñü àâòîðîì íà ñëåäóþùèõ ñåìèíàðàõ: ïî òåîðèè ôóíêöèé äåéñòâèòåëüíîãî ïåðåìåííîãî êàôåäðû òåîðèè ôóíêöèé èôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà ìåõàíèêîìàòåìàòè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÌÃÓ (â òå÷åíèè ðÿäà ëåò); ìàòåìàòè÷åñêîãî èíñòèòóòà èì. Â.
À. Ñòåêëîâà; Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêîãî îòäåëåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî èíñòèòóòà èì. Â. À. Ñòåêëîâà; êàôåäðû òåîðèè ôóíêöèé è ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà Ñàìàðñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà; îòäåëà ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà èíñòèòóòà ìàòåìàòèêè Ïîëüñêîé ÀêàäåìèèÍàóê, Âàðøàâà, Ïîëüøà; îòäåëåíèÿ ìàòåìàòèêè òåõíîëîãè÷åñêîãî èíñòèòóòà øòàòà Äæîðäæèÿ, Àòëàíòà,ÑØÀ; îòäåëåíèÿ ìàòåìàòèêè Òåëü-Àâèâñêîãî óíèâåðñèòåòà, Òåëü-Àâèâ, Èçðàèëü; îòäåëåíèÿ ìàòåìàòèêè Âàðøàâñêîãî óíèâåðñèòåòà, Âàðøàâà, Ïîëüøà;è íà ñëåäóþùèõ êîíôåðåíöèÿõ: British-Russian Workshop in Functional Analysis; Ýéëåðîâñêèé ìåæäóíàðîäíûéìàòåìàòè÷åñêèé èíñòèòóò, Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, 13-17 îêòÿáðÿ, 1996; 9-àÿ Ñàðàòîâñêàÿ çèìíÿÿ øêîëà, Ñîâðåìåííûå ïðîáëåìû òåîðèè ôóíêöèé è èõïðèëîæåíèÿ; Ñàðàòîâ, 26 ÿíâàðÿ-1 ôåâðàëÿ, 1998; 7th Summer St.
Petersburg Meeting in Mathematical Analysis; Ýéëåðîâñêèé ìåæäóíàðîäíûé ìàòåìàòè÷åñêèé èíñòèòóò, Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, 17-20 èþíÿ, 1998; International Conference on Harmonic Analysis and Approximation; Íîð-Àìáåðä,Àðìåíèÿ, 18-25 ñåíòÿáðÿ, 1998; II ìåæäóíàðîäíûé ñèìïîçèóì Ðÿäû Ôóðüå è èõ ïðèëîæåíèÿ; Äþðñî, 27 ìàÿ-2èþíÿ, 2002; 11th Summer St. Petersburg Meeting in Mathematical Analysis; Ýéëåðîâñêèé ìåæäóíàðîäíûé ìàòåìàòè÷åñêèé èíñòèòóò, Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, 15-20 àâãóñòà, 2002; International Conference on Harmonic Analysis and Approximation III; Öàõêàäçîð,Àðìåíèÿ, 20-27 ñåíòÿáðÿ, 2005; 14th Summer St.-Petersburg Meeting in Mathematical Analysis; Ýéëåðîâñêèé ìåæäóíàðîäíûé ìàòåìàòè÷åñêèé èíñòèòóò, Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, 6-11 èþíÿ, 2005; Harmonic Analysis and Related Problems (HARP), Çàðîñ, Êðèò, Ãðåöèÿ, 19-23èþíÿ, 2006; ICREA Conference on Approximation Theory and Fourier Analysis; Öåíòð ìàòåìàòè÷åñêèõ èññëåäîâàíèé (CRM), Áàðñåëîíà, Èñïàíèÿ, 12-16 äåêàáðÿ 2011; Spring School on Banach Algebras (ïðî÷èòàíî 4 ëåêöèè); Áåäëåâî, Ïîëüøà, 28-31ìàðòà, 2012.4Ïóáëèêàöèè.Ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè ïîëíîñòüþ îïóáëèêîâàíû â 10-òè ñòàòüÿõ àâòîðà, ñïèñîê êîòîðûõ ïðèâåäåí â êîíöå àâòîðåôåðàòà.
Âñå ðàáîòû îïóáëèêîâàíû â èçäàíèÿõ, âõîäÿùèõ â äåéñòâóþùèé ïåðå÷åíü ÂÀÊ.Íåïîñðåäñòâåííîå îòíîøåíèå ê òåìå äèññåðòàöèè èìåþò ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå àâòîðîì ñîâìåñòíî ñ À. Ì. Îëåâñêèì â ðàáîòàõ 10 , 11 , 12 , 13 . Ýòè ðåçóëüòàòû âäèññåðòàöèþ íå âêëþ÷åíû.Ñòðóêòóðà è îáúåì äèññåðòàöèè.Äèññåðòàöèÿ ñîñòîèò èç ââåäåíèÿ, çàìå÷àíèé îá îáîçíà÷åíèÿõ, ÷åòûðåõ ãëàâ,äîïîëíåíèÿ è ñïèñêà ëèòåðàòóðû, ñîäåðæàùåãî 86 íàèìåíîâàíèé. Îáúåì äèññåðòàöèè 173 ñòð.Êðàòêîå ñîäåðæàíèå äèññåðòàöèèÑîäåðæàíèå ââåäåíèÿ.Âî ââåäåíèè ïðèâîäèòñÿ êðàòêèé îáçîð ðàíåå èçâåñòíûõ ðåçóëüòàòîâ è ðåçóëüòàòîâ äèññåðòàöèè.Ñîäåðæàíèå ãëàâû 1.Ìû ðàññìàòðèâàåì ðÿäû Ôóðüåf (t) ∼Xfb(k)eiktk∈Z(èíòåãðèðóåìûõ) ôóíêöèé f íà îêðóæíîñòè T = R/2πZ, ãäå R âåùåñòâåííàÿïðÿìàÿ, Z àääèòèâíàÿ ãðóïïà öåëûõ ÷èñåë.Ïóñòü A(T) ïðîñòðàíñòâî íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé f íà T òàêèõ, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü êîýôôèöèåíòîâ Ôóðüå fb = {fb(k), k ∈ Z} ïðèíàäëåæèò l1 .
Ñíàáæåííîå åñòåñòâåííîé íîðìîékf kA(T) = kfbkl1 (Z) =X|fb(k)|,k∈Zïðîñòðàíñòâî A(T) ÿâëÿåòñÿ áàíàõîâûì ïðîñòðàíñòâîì. Õîðîøî èçâåñòíî, ÷òîA(T) ÿâëÿåòñÿ áàíàõîâîé àëãåáðîé (ñ îáû÷íûì óìíîæåíèåì ôóíêöèé).10 LebedevV., Olevski A., C 1 changes of variable: BeurlingHelson type theorem and Hormander conjecture onFourier multipliers, Geometric and Functional Analysis (GAFA), 4:2 (1994), 213235.11 Lebedev V., Olevski A., Idempotents of Fourier multiplier algebra, Geometric and Functional Analysis (GAFA),4:5 (1994), 540544.12 Lebedev V., Olevski A., Bounded groups of translation invariant operators, C.
R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, 322(1996), 143147.13 Ëåáåäåâ Â. Â., Îëåâñêèé À. Ì., Lp -ìóëüòèïëèêàòîðû Ôóðüå ñ îãðàíè÷åííûìè ñòåïåíÿìè, Èçâ. ÐÀÍ. Ñåð.ìàòåì., 70:3 (2006), 129166.5Åñòåñòâåííûìè ðàñøèðåíèÿìè ïðîñòðàíñòâà A(T) ÿâëÿþòñÿ ïðîñòðàíñòâàAp (T), 1 < p ≤ 2, èíòåãðèðóåìûõ ôóíêöèé f íà T òàêèõ, ÷òî fb ïðèíàäëåæèòlp . Ñíàáæåííûå åñòåñòâåííûìè íîðìàìèkf kAp (T) = kfbklp (Z) =Xp|fb(k)|1/p,k∈Zïðîñòðàíñòâà Ap (T), 1 < p ≤ 2, ÿâëÿþòñÿ áàíàõîâûìè ïðîñòðàíñòâàìè. Ïðè p = 1ìû ïîëàãàåì A1 = A.Ïóñòü èìååòñÿ íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå îêðóæíîñòè â ñåáÿ, ò.å. íåïðåðûâíàÿôóíêöèÿ ϕ : R → R òàêàÿ, ÷òîϕ(t + 2π) = ϕ(t) (mod 2π).Ñîãëàñíî èçâåñòíîé òåîðåìå ÁåðëèíãàÕåëñîíà 14 (ñì.
òàêæå 15 , 16 ), åñëèkeinϕ kA(T) = O(1), n ∈ Z, òî îòîáðàæåíèå ϕ ëèíåéíî (àôôèííî) ñ öåëûì óãëîâûìêîýôôèöèåíòîì: ϕ(t) = νt + ϕ(0), ν ∈ Z. Ýòà òåîðåìà äàåò ðåøåíèå ïðîáëåìûÏ. Ëåâè îá îïèñàíèè ýíäîìîðôèçìîâ àëãåáðû A(T): âñå ýòè ýíäîìîðôèçìû òðèâèàëüíû, ò.å. èìåþò âèä f (t) → f (νt + t0 ). Äðóãèìè ñëîâàìè, ëèøü òðèâèàëüíûåçàìåíû ïåðåìåííîé äîïóñòèìû â A(T).  ñàìîì äåëå, åñëè îòîáðàæåíèå ϕ òàêîâî,÷òî äëÿ ëþáîé ôóíêöèè f ∈ A(T) ìû èìååì f ◦ ϕ ∈ A(T), òî, ïîëüçóÿñü ñòàíäàðòíûìè ðàññóæäåíèÿìè (òåîðåìîé î çàìêíóòîì ãðàôèêå), âèäèì, ÷òî îïåðàòîðñóïåðïîçèöèè f → f ◦ ϕ ÿâëÿåòñÿ îãðàíè÷åííûì îïåðàòîðîì â A(T) è, ïîñêîëüêóýêñïîíåíòà eint ñ ëþáîé ÷àñòîòîé n ∈ Z èìååò íîðìó â A(T), ðàâíóþ 1, ïîëó÷àåìkeinϕ kA(T) = O(1), îòêóäà â ñèëó òåîðåìû ÁåðëèíãàÕåëñîíà ñëåäóåò ëèíåéíîñòüîòîáðàæåíèÿ ϕ.Îòìåòèì òàêæå åùå îäíó âåðñèþ òåîðåìû ÁåðëèíãàÕåëñîíà: åñëè U îãðàíè÷åííûé êîììóòèðóþùèé ñî ñäâèãàìè îïåðàòîð â l1 òàêîé, ÷òî kU n kl1 →l1 =O(1), n ∈ Z, òî U = ξS , ãäå ξ ïîñòîÿííàÿ, |ξ| = 1, è S îïåðàòîð ñäâèãà.Âìåñòå ñ òåì, õîòÿ òåîðåìà ÁåðëèíãàÕåëñîíà óñòàíàâëèâàåò íåîãðàíè÷åííîñòüíîðì keinϕ kA äëÿ íåëèíåéíûõ îòîáðàæåíèé ϕ : T → T, õàðàêòåð ðîñòà ýòèõ íîðìïðè |n| → ∞ âî ìíîãîì íåÿñåí.
Òî æå êàñàåòñÿ ïîâåäåíèÿ íîðì keinϕ kAp , p > 1.Ãëàâà 1 ïîñâÿùåíà èçó÷åíèþ ýòèõ âîïðîñîâ.Îòìåòèì, ÷òî åñëè îòîáðàæåíèå ϕ : T → T íåïðåðûâíî, òî ϕ(t + 2π) =ϕ(t) + 2πk , ãäå k ∈ Z íå çàâèñèò îò t. Çàìåíÿÿ îòîáðàæåíèå ϕ íà ϕ0 (t) = ϕ(t) − kt,ìû ïîëó÷èì âåùåñòâåííóþ ôóíêöèþ ϕ0 íà T. Ïðè ýòîì keinϕ0 kAp = keinϕ kAp . Òàêèì îáðàçîì, âìåñòî íåëèíåéíûõ íåïðåðûâíûõ îòîáðàæåíèé ϕ : T → T ìîæíîðàññìàòðèâàòü íåïîñòîÿííûå íåïðåðûâíûå ôóíêöèè ϕ : T → R.  ýòîì ñëó÷àåíåò íàäîáíîñòè îãðàíè÷èâàòüñÿ ýêñïîíåíòàìè ñ öåëûìè ÷àñòîòàìè è ìîæíî ðàâíûì îáðàçîì èçó÷àòü ïîâåäåíèå ýêñïîíåíò eiλϕ ñ âåùåñòâåííûìè ÷àñòîòàìè λ.14 BeurlingA., Helson H., Fourier-Stieltjes transforms with bounded powers, Math.
Scand., 1 (1953), 120126.Æ.-Ï., Àáñîëþòíî ñõîäÿùèåñÿ ðÿäû Ôóðüå, Ìèð, Ì., 1976.16 Kahane J.-P., Quatre lecons sur les homeomorphismes du circle et les series de Fourier, in: Topics in ModernHarmonic Analysis, Vol. II, Ist. Naz. Alta Mat. Francesco Severi, Roma, 1983, 955990.15 Êàõàí6Ñîîòâåòñòâóþùèå ðåçóëüòàòû î ïîâåäåíèè ýêñïîíåíò einϕ äëÿ íåëèíåéíûõ îòîáðàæåíèé ϕ : T → T è öåëûõ ÷àñòîò n íåìåäëåííî ïîëó÷àþòñÿ â êà÷åñòâå ïðîñòûõñëåäñòâèé.Ïðèâåäåì ðàíåå èçâåñòíûå ðåçóëüòàòû î ïîâåäåíèè ýêñïîíåíò eiλϕ â ïðîñòðàíñòâàõ Ap .Ïóñòü C s (T) êëàññ (êîìïëåêñíîçíà÷íûõ) ôóíêöèé íà T, èìåþùèõ íåïðåðûâíóþ ïðîèçâîäíóþ ïîðÿäêà s.
Èìååì C 1 (T) ⊆ A(T) ⊆ Ap (T).Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîé âåùåñòâåííîé ôóíêöèè ϕ ∈ C 1 (T) (è áîëååòîãî, äëÿ ëþáîé àáñîëþòíî íåïðåðûâíîé âåùåñòâåííîé ôóíêöèè ϕ ñ ïðîèçâîäíîéèç L2 (T)) ïðè 1 ≤ p < 2 ñïðàâåäëèâà îöåíêà11keiλϕ kAp (T) = O(|λ| p − 2 ),|λ| → ∞,λ∈R(1)(ñì. 17 â ñëó÷àå p = 1; îáùèé ñëó÷àé íåìåäëåííî ïîëó÷àåòñÿ èíòåðïîëÿöèåé ìåæäól1 è l2 ).Ñ äðóãîé ñòîðîíû, äàâíî èçâåñòíû îöåíêè ñíèçó íîðì ýêñïîíåíò eiλϕ äëÿ ôóíêöèé êëàññà C 2 . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ϕ ∈ C 2 (T) âåùåñòâåííàÿ íåïîñòîÿííàÿ ôóíêöèÿ è 1 ≤ p < 2.
Òîãäà11keiλϕ kAp (T) ≥ c|λ| p − 2 ,λ ∈ R,(2)ãäå c = c(p, ϕ) íå çàâèñèò îò λ. Ïðè p = 1 ýòà îöåíêà íåÿâíî ñîäåðæèòñÿ â ðàáîòåÇ. Ë. Ëåéáåíçîíà 18 è â ÿâíîì âèäå áûëà ïîëó÷åíà Æ.-Ï. Êàõàíîì 19 ñ èñïîëüçîâàíèåì ìåòîäà Ëåéáåíçîíà.  îáùåì ñëó÷àå îöåíêà (2) ïîëó÷åíà ñ èñïîëüçîâàíèåìòîãî æå ìåòîäà Ë. Àëïàðîì 20 . Ïðîñòîå è êîðîòêîå äîêàçàòåëüñòâî äëÿ ñëó÷àÿp = 1 èìååòñÿ â 21 è â îáùåì ñëó÷àå â 22 .Òàêèì îáðàçîì, åñëè ϕ ∈ C 2 (T) âåùåñòâåííàÿ ôóíêöèÿ, ϕ 6= const, òî11keiλϕ kAp (T) ' |λ| p − 2 ,|λ| → ∞,λ ∈ R,(3)ïðè âñåõ p, 1 ≤ p < 2.
 ÷àñòíîñòèkeiλϕ kA(T) 'p|λ|.Îòìåòèì, ÷òî äîêàçàòåëüñòâî îöåíêè ËåéáåíçîíàÊàõàíàÀëïàðà (2) îñíîâàíîíà ëåììå âàí äåð Êîðïóòà è ñóùåñòâåííî èñïîëüçóåò îòäåëåííîñòü îò íóëÿ êðèâèçíû äóãè ãðàôèêà ôóíêöèè ϕ, ò.å. óñëîâèå |ϕ00 (t)| ≥ ρ > 0, t ∈ I, ãäå I íåêîòîðûé17 ÊàõàíÆ.-Ï., Àáñîëþòíî ñõîäÿùèåñÿ ðÿäû Ôóðüå, Ìèð, Ì., 1976; ãë VI, 3.Ç. Ë., Î êîëüöå ôóíêöèé ñ àáñîëþòíî ñõîäÿùèìèñÿ ðÿäàìè Ôóðüå, ÓÌÍ, 9:3(61) (1954), 157162.19 Kahane J.-P., Sur certaines classes de series de Fourier absolument convergentes, J. de Mathematiques Pures etAppliquees, 35:3 (1956), 249259.20 Alpar L., Sur une classe partiquliere de series de Fourier a certaines puissances absolument convergentes, StudiaSci. Math.
Hungarica, 3 (1968), 279286.21 Êàõàí Æ.-Ï., Àáñîëþòíî ñõîäÿùèåñÿ ðÿäû Ôóðüå, Ìèð, Ì., 1976; ãë. VI, 3.22 Lebedev V., Olevski A., C 1 changes of variable: BeurlingHelson type theorem and Hormander conjecture onFourier multipliers, Geometric and Functional Analysis (GAFA), 4:2 (1994), 213235.18 Ëåéáåíçîí7èíòåðâàë. Ýòîò ïîäõîä íå ïîçâîëÿåò ðàññìàòðèâàòü ôóíêöèè ãëàäêîñòè ìåíüøåé÷åì C 2 . îáùåì ñëó÷àå (áåç ïðåäïîëîæåíèé ãëàäêîñòè) ðîñò íîðì keiλϕ kA(T) ìîæåòáûòü äîâîëüíî ìåäëåííûì.
Êàõàí ïîêàçàë (ñì. 23 ), ÷òî åñëè íåïîñòîÿííàÿ íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ ϕ : T → R êóñî÷íî ëèíåéía, òîkeiλϕ kA ' log |λ|.(4)Ïðè p > 1 íîðìû keiλϕ kAp (T) ìîãóò âîâñå íå ðàñòè; èçâåñòíî (ñì., íàïðèìåð, 24 ), ÷òîäëÿ ëþáîé êóñî÷íî ëèíåéíîé âåùåñòâåííîé ôóíêöèè ϕ íà T èìååì keiλϕ kAp = O(1)ïðè âñåõ p > 1. Òàêèì îáðàçîì, ñëó÷àé p > 1 îòëè÷àåòñÿ îò ñëó÷àÿ p = 1.Óêàæåì òåïåðü èçâåñòíûå ðåçóëüòàòû â C 1 -ãëàäêîì ñëó÷àå (ïîìèìî îöåíêè(1)).  ðàáîòå 25 (ñîâìåñòíàÿ ðàáîòà àâòîðà è À. Ì.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
