Диссертация (1136170), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Следовательно, из(2.111) и (2.112) находим, что при r  0 компоненты скорости vi  0 приt 0.Таким образом, полученные компонентыviвектора скоростиудовлетворяют начальным условиям (2.101). Как следует из (2.111) и(2.112), эти компоненты являются сингулярными при r  0 .Из (2.110)-(2.112) получаем следующие приближенные формулы дляvi в случае достаточно малых положительных t :v1  ( M 1 y  K 0 x)r2v3  r2  r2  ( M 1 x  K 0 y ) ,exp exp 2 , v2 4t4tr r K0 z ,exp 2t4t2r  0,t  0.(2.113)57Рассмотрим теперь формулы (2.111)-(2.112) для vi при t   илипри r  0, t  0 . Тогда из (2.112) имеем   0  .

В этом случае для v 3получаемK0 zr21  O( ) ,   ,v3 2t4t  0 .(2.114)Рассмотрим выражения v1 и v2 в (2.111) при   0  в двух случаяхK 0  0 и K 0  0 . Как следует из (2.111), случай K0  0 соответствуетжидкости, движущейся в направлении оси z , а случай K 0  0 отвечает еедвижению в противоположном направлении.Как хорошо известно [64], экспоненциальный интеграл может бытьпредставлен в видеxkEi ( x)   *  ln x  , x  0,k 1 k  k!(2.115)где  * - константа Эйлера-Маскерони.Используя (2.115), получаем следующую асимптотическую формулу:exp   12 K 0 Ei(  )  exp12 K 0 *  K0 / 2 [1  (1  K 0 / 2)  O( 2 )],   0  .(2.116)Следовательно, формулы (2.110), (2.116) и выражение для Ei(x) в(2.109) даютH ( )  H (0)  M 1  exp   12 K 0 Ei ( ) d01 K 0 / 2(2.117) H 0  M 1 exp12 K 0 * [1  O( )],   0, K 0  2,1 K0 / 2где H (0) - конечная константа,H ( )  M 1 exp12 K 0 * [ln   O(1)],   0, K 0  2 , 1 K0 / 2(2.118)1   ( ),   0, K 0  2 , (2.119)H ( )  M 1 exp K 0 * 1  K0 / 21258 ( )  O( )гдеK 0  4 ,при ( )  O( ln  )приK 0  4и ( )  O  1 K0 / 2 при  4  K 0  2 .Из формул (2.111)-(2.112) и (117)-(119) получаем следующиеасимптотические формулы для компонент v1 и v2 вектора скорости:v1 v2 r2rv1  v2 v1 v2 2 H (0)  O(H (0)  O(rr221 K 0 / 21 K 0 / 2r2) y  K 0 1  O( ) x ,  ,4t) x  K 0 1  O( )  y ,M * ln   O(1) y  21  O( )x ,(2.120)K 0  2,   0,M *  M 1 exp( 12 K 0 * ),(2.121)M * ln   O(1)x  21  O( ) y  ,K 0  2,   0, M*1 K 0 / 21()yK1O()x0,r 2  1 K0 / 2 M*1 K 0 / 21()xK1O()y0 , K 0  2,   0  .r 2 1  K 0 / 2(2.122)Из (2.114) находим, что v3  0 при t   .

Как следует из (2.120),когда K 0  2 , компоненты скорости v1 и v2 - конечны при r  0 иt   . Формулы (2.121) и (2.122) дают, что когда K 0  2 и M1  0 ,v1   и v2   при t   .Следовательно, полученное решение (2.111)-(2.112) может отвечатьвязкой жидкости при достаточно больших t только когда K 0  2 илиM 1  0 . Когда K 0  2, M 1  0 иt – достаточно большое, нужноучитывать сжимаемость вязких жидкостей.Исследуем формулы (2.111)-(2.112) для компонентviвектораскорости в случае больших чисел Рейнольдса. Как вытекает из этихформул, компоненты скорости vi вязкой жидкости могут претерпевать59существенные изменения внутри интервалов (r  r , r  r ) , где r ~ l* иr ~ l* / Re .

Когда число Рейнольдса Re ~ 104 , l* ~ 1 м и  ~ 1 , величинаr ~ 0,1 мм . Следовательно, в данном случае могут иметь местосущественныеинтерваловизменения~10 4 l* .Этускоростейвнутриособенностьможномалыхрадиальныхрассматриватькакпроявление турбулентных течений вязких жидкостей при большихзначениях чисел Рейнольдса.

Как следует из формул (2.114) и (2.120), приK 0  2 такие турбулентные течения пропадают при t   .2.6 Частное аналитическое решение уравнений Навье-Стокса дляжидкости при наличии кавитацииБудемтеперьискать ,  и  , которые определяютфункциираспределение скоростей в вязкой жидкости, в следующей форме:FzFrA,,,rr2r2(2.123)где A  A(t , r , z ) и F  F (t , r , z ) - дифференцируемые функции.Тогда,каклегкопроверить,уравнениенепрерывности(2.6)тождественно удовлетворяется.Обратимся к уравнениям Навье-Стокса (2.9)-(2.11). Подставляя в нихвыражения (2.123) для  ,  ,  , получаемAt  ( Ar Fz  Az Fr ) / r  ( Arr  Ar / r  Azz )  0 ,Ftz  ( Fr Fzz  Fz Frz ) / r  ( A 2  Fz ) / r 2  ( Frrz  Frz / r  Fzzz ) 2(2.124)1rp r ,(2.125)Ftr  ( Fr Frz  Fz Frr ) / r  Fr Fz / r 2   ( Frrr  Frr / r  Fr / r 2  Frzz )  1rp z .(2.126)60Выберем переменную   r 2 вместо r.

Тогда функции p, A и F можнопредставить какp  p(t , , z ), A  A(t , , z ), F  F (t , , z ),   r 2 .Извыражений(2.127)(2.127)получаемp r  2rp , Ar  2rA , Arr  2(2A  A ), Fr  2rF , Frr  2(2F  F ),Frz  2rFz , Frrz  2(2F z  Fz ), Frzz  2rFzz , Frrr  4r (2F  3F ).(2.128)Подставляя выражения (2.128) в уравнения (2.124)-(2.126), приходимк следующим уравнениям:At  2( A Fz  Az F )  (4A  Azz )  0 ,(2.129)Ftz  2( F Fzz  Fz Fz )  ( A2  Fz ) /   (4Fz  Fzzz )  (2 /  )p , (2.130)2Ft  2( F Fz  Fz F )  (4F  4F  Fzz )  (1 /  ) p z / 2 . (2.131)Будем искать частные решения уравнений (2.129)-(2.131) в видеp  p(t , ), A(t , , z)  F (t , , z),   const  0 .(2.132)Тогда подставляя выражения для A в (2.132) в уравнение (2.129),получаемFt  (4F  Fzz )  0 .(2.133)После дифференцирования этого уравнения по z и  находимFtz  (4Fz  Fzzz )  0, Ft  (4F  4F  Fzz )  0 .

(2.134)Подставляя равенства (2.132) и (2.134) в уравнения (2.130) и (2.131),получаем2( F Fzz  Fz Fz )  (2 F 2  Fz ) /   (2 /  )p ,(2.135)F Fz  Fz F  0 .(2.136)2Таким образом, приходим к трем уравнениям (2.133), (2.135) и (2.136).Будем искать их частное решение в видеF  U (t , ) sin(z   ),   const ,(2.137)61где U (t , ) - некоторая дифференцируемая функция.Подставляя выражение (2.137) в уравнения (2.133), (2.135) и (2.136),получаемU t  (4U  2U )  0 ,(2.138)(2 /  )p  2U (2U  U /  ) ,(2.139)U  UU  0 .2(2.140)Рассмотрим уравнение (2.139).

Из него находим 2  (U ) U 2  2 2U /  .p   2 2  2 2(2.141)Учитывая (2.132) и соотношение   r 2 в (2.127), из уравнения (2.141)приходим к следующему выражению для давления p:p  p* (t )  2U 22r 2,(2.142)где p* (t ) - некоторая непрерывная и положительная функция.Далее будем искать частное аналитическое решение полученныхдифференциальных уравнений в частных производных (2.138) и (2.140).Вначале рассмотрим уравнение (2.140). Оно может быть переписанокакU / U  U / U ,U  U (t , ) .(2.143)Интегрируя это уравнение по переменной  , находимln U  ln U  D(t ) ,(2.144)где D(t ) - произвольная функция от t.Из (2.144) получаемU  f (t )U ,где f (t ) определяется через D(t ) .Уравнение (2.145) дает(2.145)62U  h(t ) exp f (t ) ,(2.146)где h(t ) - произвольная функция.Подставим теперь выражение (2.146) для функции U (t , ) в уравнение(2.138).

Тогда получимh  hf h(4f 2  2 )  0 .(2.147)Из этого уравнения находимh  2h  0,f  4f 2 .(2.148)Уравнения (2.148) даютh  h0 exp(2t ),f 1, h0  const ,4t(2.149)где t  0 соответствует сингулярности функции f (t ) .Так как   r 2 , как указано в (2.127), из формул (146) и (149) получаем 2r2 .U  h0 exp   t 4t(2.150)Формулы (2.132), (2.137) и (2.150) дают 2r2  sin( z   ), A  F .F  h0 exp   t 4t(2.151)Используя формулы (2.5), (2.123) и (2.151), приходим к следующимформулам для компонент vi вектора скорости:h0 2r2  , (2.152)v1   2 [sin(z   ) y  cos(z   ) x] exp   t 4trh0 2r2  , (2.153)v2  2 [sin(z   ) x  cos(z   ) y ] exp   t 4trv3  h0r2 .sin( z   ) exp  2t 2t4tИз формул (2.142) и (2.150) получаем(2.154)63p  p* (t )  2 h022r 2r2 ,exp  22t 2t(2.155)где p* (t ) может быть произвольной непрерывной и положительнойфункцией.В результате приходим к следующей теореме.Теорема 2.6 Уравнения Навье-Стокса (2.1)-(2.2) имеют частноерешение, описываемое формулами (2.152)-(2.155).Найденное частное аналитическое решение (2.152)-(2.155) имеетследующие свойства при t  0 :2) Функции vi экспоненциально стремятся к нулю при r   и приt   , когда  0 , и имеют синусоидальную зависимость откоординаты z.2) При t  0  и r  0 функции vi стремятся к нулю.4) Как следует из (2.155), функция p   при r  0 .

Это означает,что радиальная координата r должна быть положительной, чтобы иметьположительные давления p в рассматриваемых жидкостях. Более того,координата r в них должна удовлетворять неравенству r  r0 (t )  0 . Здесьвеличиныr  r0 (t ) соответствуют достаточно малой положительнойвеличине давления p в жидкости, при которой начинает возникатьявление кавитации. В этом случае появляются разрывы в течениижидкости и образуется полость, заполненная ее паром [65, 66].Следовательно, полученное решение (2.152)-(2.155) может бытьприменимо к области, занимаемой жидкостью и удовлетворяющейнеравенствуr  r0 (t )  0 . Что касается областисоответствует полости, заполненной паром жидкости.r  r0 (t ) , то она64Нужно отметить, что в области r  r*  0 , где r* - произвольныйположительный радиус, полученное частное решение уравнений НавьеСтокса является гладким.

Это свойство находится в согласии соследующим важным результатом, доказанным в работе [67]: слабыерешениятрехмерныхуравненийНавье-Стоксадлянесжимаемойжидкости являются гладкими, если отрицательная часть давления pявляется ограниченной или ограничена величина v  2 p /  .2Из (2.155) находим, что функция r0 (t ) должна удовлетворятьравенствуr02 (t ) 2  pcav ,p* (t )  2 exp  2 t 2t2r0 (t ) 2 h02(2.156)где pcav - малое положительное значение, при давлениях ниже которого вжидкости происходит явление кавитации. Величина pcav равна давлениюнасыщенного пара жидкости [65, 66].Рассмотрим t  0 и допустим, что p* (t )  pcav .

Характеристики

Список файлов диссертации