Диссертация (1136170), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

(3.103)rrr  0Следовательно,формула(3.102)даетточныерешениядифференциального уравнения первого порядка (3.97) и содержитпроизвольную функцию P . Как хорошо известно, это означает, что85формула (3.102) представляет собой общее точное решение уравнения(3.97) и, следовательно, уравнения (3.101), эквивалентного (3.97).Уравнение (3.88) для функции z имеет ту же самую форму, что иуравнение (3.91), для которого мы как раз нашли общее точное решение(3.102).

Поэтому, используя формулу (3.102), мы приходим к следующемуточному решению уравнений (3.88) и (3.91):rP(q)Q( q )u  3 , z  3 , q   r 2 j 0 dr, P(0)  Q(0)  0, (3.104)rr0где P и Q - произвольные дифференцируемые функции аргумента q ,которые должны быть равны нулю при r  0 и, значит, при q  0 .Обратимся к уравнению (3.93). Подставляя формулы (3.104) дляu и z в уравнение (3.93), легко находим( P 2  Q 2 )  2P, P  P(q), Q  Q(q) .(3.105)ПолагаяP   R cos  , Q   R sin  , R  R(q)  ( P 2  Q 2 )1 / 2 ,    (q) , (3.106)из уравнения (3.105) получаемR(q)  cos  .(3.107)Как указано в (3.104), P(0)  Q(0)  0 . Следовательно, из (3.106) и(3.107) имеемqq00P(q)   cos   cos  dq, Q(q)   sin   cos  dq,    (q) , (3.108)где  (q) - произвольная дифференцируемая функция.Используя (3.87) и (3.104), находимuP(q)Q( q )Q( q ),vcos,wsin  ,r3r3r3где    ( , r ) - произвольная дифференцируемая функция.В результате приходим к следующей теореме.(3.109)86Теорема 3.3.

Существует класс нестационарных решений ЯнгаМиллса (3.1)-(3.2), в которых напряженности поля даются формулами(3.57)-(3.58) и (3.109).Обратимся теперь к уравнениям (3.90) и (3.96) для функций  0 и  .Принимая во внимание (3.109) и вводя функцию   j / j 0 , из (3.90) и(3.96) получим 0  r 2 1   j r,   0 ,g  r j 1  0 P(q) 3 . r rr(3.110)(3.111)Подставляя формулу (3.110) для  0 в уравнение (3.111), получим  1     P(q) r r 2   r  3 . (3.112)r  rgrrrrПосле умножения (3.112) на r , оно может быть представлено как1   1   r   r  r grrgr1   P(q)  r   r  3 .g r r r(3.113)Обозначимh( , r )  r 1 . b( , r )  r .g rr(3.114)Тогда из (3.113) получимhhP(q) r bh  2 .rrВведем обратную функцию r ( , q) для функции q( , r ) :(3.115)87rr  r ( , q), q( , r )   r 2 j 0 dr(3.116)0в рассматриваемой области 0  r  r0 ( ), гдеj 0  0, и представимфункцию h( , r ) в видеh  H ( , q),(3.117)где H ( , q)  h( , r ( , q)).Используя формулы (3.99) и (3.100), найдемh HH r3 j, qhH r2 j0.rq(3.118)Подставляя выражения (3.117) и (3.118) в (3.115), приходим кследующему уравнению:HHP(q) r 3 ( j 0  j ) b ( , q) H  2,qr ( , q)(3.119)гдеb ( , q)  b( , r ( , q)).(3.120)Используя выражение для  в (3.110):   j / j 0 , из уравнения (3.119)получаемHP(q) b ( , q) H  2, H  H ( , q).r ( , q)(3.121)Из обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка(3.121) легко находимH  P(q) B( , q),(3.122)   dB( , q)  exp   b ( , q)d   exp  b ( , q)d 2 B0 (q) , 0 0 0 r ( , q)  (3.123)где B0 (q) - произвольная функция и  0  const.88Из формул (3.114), (3.117), (3.122) и (3.110) получаем11     P(q) B , B  B( , q),rg r rj1 ,P(q)Bg j00 (3.124)(3.125)где q определяется из формулы (3.98).Формулы (3.80), (3.81), (3.94), (3.124), (3.109) и (3.110) дают1rj 0 Q(q)r2 j0  Q(q) B cos  sin  ,   0  ,rg P(q)j(3.126)1rj 0 Q(q)  Q(q) B sin  cos  ,rg P(q)(3.127)r2 j  0 .j0Подставляя выражения (3.124)–(3.1127) в формулы (3.56), находимпотенциалы поля Янга-Миллса Ak , .Рассмотрим напряженности поля F k ,  .

Из формул (3.57), (3.58),(3.108) и (3.109) для них получаем следующие выражения:qF1, 0l P(q) x / r ,l3P (q )   cos  (q )  cos  (q )dq,0F 2,0l  Q(q ) x l cos  / r 3 ,F 3,0l  Q(q ) x l sin  / r 3 ,(3.128)qQ(q )   sin  (q )  cos  (q )dq,0F k , ml  0, k , m, l  1,2,3,rq   r 2 j 0 ( , r )dr,0   ( , r ),где  (q) и  ( , q) - произвольные дифференцируемые функции,   x 0 ,r  ( x1 ) 2  ( x 2 ) 2  ( x 3 ) 2имеют вид (3.55).и рассматриваемые источники поля J k ,89Обратимся к уравнению (3.43).

Чтобы ему удовлетворить, выберем,учитывая (3.41), следующее значение для угла  :   / 4.(3.129)Из (3.128), (3.129), (3.99) и (3.100) находим F 1, 0   P(q) j 0 ,  F 1,l   P(q) jxl , l  1,2,3, F 2, 0   F 3, 0  2 1 / 2 Q(q) j 0 ,   0,1,2,3,(3.130) F 2,l   F 3,l  2 1 / 2 Q(q) jxlи, следовательно, получаем F k ,   Fk ,   ( P2  Q2 )[( j 0 ) 2  r 2 j 2 ] .(3.131)Рассмотрим формулы (3.55). Из них имеем(4 / c) 2 J k , J k ,  ( j 0 ) 2  r 2 j 2 .(3.132)Используя (3.131) и (3.132), из уравнения (3.43) легко получаемP2  Q2  1, P  P(q), Q  Q(q).(3.133)Формулы (3.128) для P(q) и Q(q) даютqP  Q  R    cos  ,    (q), R   cos  (q)dq. (3.134)222220Уравнения (3.133) и (3.134) совпадают с уравнениями (3.46) которые,как показано выше, имеют решение (3.52):  q / K 0 , K0  const.(3.135)Подставляя (3.129) и (3.135) в (3.128), находимF 1, l 0  K sin( q / K ) x l / r 3 , K  K 0 / 2  const,F 2, l 0  F 3, l 0  2 1 / 2 K [1  cos(q / K )]x l / r 3 ,rFk , ml 0, k , m, l  1,2,3, q  q( , r )   r 2 j 0 ( , r )dr.0(3.136)90Полученные формулы для потенциалов и напряженностей поляAk , и F k ,  в исследуемом нестационарном сферически-симметричномслучае обобщают результаты предыдущего раздела, где был рассмотренслучай стационарных сферически-симметричных источников.3.3 Осесимметричные волновые решения уравнений Янга-МиллсаРассмотрим уравнения Янга–Миллса (3.1)–(3.2) вне их источников.Тогда они приобретают вид  F k ,   g klm F l ,  Am  0,(3.137)F k ,     Ak ,   Ak ,   g klm Al ,  Am, .(3.138)Будем искать решения этих уравнений в видеAk ,0  a k ,0 ,Ak ,1  ( k ,1 x   k , 2 y ) /  ,Ak , 2  ( k ,1 y   k , 2 x) /  ,A k ,3   k ,3 ,(3.139) k ,   k , ( ,  , z ),   x 0 ,   x 2  y 2 ,где x 0  ct, t - время, x  x1 , y  x 2 , z  x 3 , x1 , x 2 , x 3 - прямоугольныепространственные координаты.Из него следует, что каждый из трех двумерных векторов( Ak ,1 , Ak , 2 ), k  1,2,3 является суммой взаимно ортогональных векторов( k ,1 /  )  ( x, y)потенциалыи( k , 2 /  )  ( y, x) .ПоэтомурассматриваемыеAk , являются ковариантными относительно вращенийкоординатной системы ( x, y, z ) вокруг оси z и, значит, имеют осевуюсимметрию.Подставляя формулы (3.139) в выражение (3.138) для напряженностейполя F k ,  , получаем91Fk , 01Fk , 02f k ,1 x  f k , 2 yf k ,1  f k , 2 x, Fk , 23 fk ,4, Fk ,13f k ,5 y  f k , 6 xf k ,5 x  f k , 6 y,,(3.140)f k , q  f k , q ( ,  , z ), q  1,2,...,6,F k ,03  f k ,3 ,где, Fk ,12f k , q ( ,  , z )функциизадаютсяформуламиfk ,1 k ,1  k ,0 k , 2l , 0 m ,1k ,2 g klm  , f g klm l ,0 m, 2 ,fk ,3 k ,3  k ,0 k , 2  k , 2l , 0 m ,3k ,4 g klm  , f g klm l ,1 m, 2 ,zfk ,5 k ,1  k ,3 k , 2l ,1 m ,3k ,6 g klm  , f g klm l , 2 m,3 .zz(3.141)Подставим выражения (3.139) и (3.140) для Ak , и F k ,  в левуючасть уравнения Янга-Миллса (3.1), которую ниже обозначим J k , .

ТогданаходимJ k ,    F k ,   g klm F l ,  Am ,JJk ,2k ,0 jk ,0j k ,1 y  j k , 2 x, Jk ,1j k ,1 x  j k , 2 y, J k ,3  j k ,3 ,где функции j k , задаются формулами,j k ,  j k , ( ,  , z ),(3.142)92jk ,0f k ,1 f k ,1 f k ,3 g klm ( f l ,1 m,1  f l , 2 m, 2  f l ,3 m,3 ),zjk ,1f k ,1 f k ,5 g klm ( f l ,1 m,0  f l , 4 m, 2  f l ,5 m,3 ),zjk ,2f k , 2 f k , 4 f k ,6 g klm ( f l , 2 m,0  f l , 4 m,1  f l ,6 m,3 ),zjk ,3f k ,3 f k ,5 f k ,5 g klm ( f l ,5 m,1  f l ,6 m, 2  f l ,3 m,0 ).(3.143)Из уравнения Янга-Миллса (3.1) и формул (3.142) получаем системууравненийj k , ( ,  , z )  0, k  1,2,3,   0,1,2,3,(3.144)где j k , определяются формулами (3.143) и (3.141).Будем искать компоненты  k , потенциалов поля, удовлетворяющихуравнениям (3.144) в виде 1,0  0,  2,0  P( ,  ),  3,0  Q( ,  ),     z , 1, 2  ( ) k ,1  0,g, 2, 2   3,2  0,(3.145) k ,3   k ,0 , k  1,2,3,где P( ,  ), Q( ,  ) и  (  ) - некоторые дифференцируемые функции.

Из(3.141) тогда находим93P,f 1,1  0,f 2,1 f 1, 2  0,f 2, 2  Q,f k ,3  0,f 1, 4 f k ,5   f k ,1 ,f 3,1 Q,f 3, 2  P,(3.146)1  d   ,g  d  f k ,6   f k , 2 ,f 2, 4  f 3, 4  0,k  1,2,3.Подставляя формулы (3.145) и (3.146) в выражения (3.143) для j k , ,получаемjj3, 01, 0 0,j2, 0 2 P 1 P 2   2 P,  2Q 1 Q 2   2 Q, j 2, 2  j 3, 2  0,j k ,1  0,j1, 2  1 d  d   ,g d  d  j k ,3  j k , 0 ,(3.147)k  1,2,3.Из (3.144) и (3.147) находим 2 P 1 P2P  0, 2   2Q 1 Q2Q  0, 2  d  d     0.d  d  (3.148)(3.149)Уравнения (3.149) имеют следующее ненулевое решение, затухающеена бесконечности:b, b  const  0.(3.150)Подставляя (3.150) в (3.148), получаем два дифференциальных уравненийотносительно функций P и Q вида2 2 P 1 P  b    P  0,22 2Q 1 Q  b    Q  0.2(3.151)94Легко убедиться, что функции  b и  b удовлетворяют уравнениям(3.151).

Следовательно, решения уравнений (3.151) можно представитькакP   bG0 (  z )   bG(  z ), Q   b H 0 (  z )   b H (  z ),(3.152)где P0 , P, Q0 , Q - произвольные дифференцируемые функции.С помощью формул (3.139), (3.145), (3.150) и (3.152) выражаемпотенциалы поля Ak , какA1,0  0,A2,0   b G0 (  z )   b G (  z ),A3,0   b H 0 (  z )    b H (  z ), A1,1 A1, 2  by2,13,1,AA 0, (3.153)g 2bx, A2, 2  A3, 2  0, Ak ,3  Ak ,0 , k  1,2,3.2gФормулы (3.140), (3.146), (3.150) и (3.152) дают следующиевыражения для напряженностей поля:F 1,01  F 1,02  0, F k ,03  F k ,12  0,F 2,01  b b  2 [ xG0 ( )  yH 0 ( )]  b  b  2 [ xG( )  yH ( )],F 3,01  b b  2 [ xH 0 ( )  yG0 ( )]  b  b  2 [ xH ( )  yG( )],F 2,02  b b  2 [ xH 0 ( )  yG0 ( )]  b  b  2 [ xH ( )  yG( )],F 3,02  b b  2 [ xG0 ( )  yH 0 ( )]  b  b  2 [ xG( )  yH ( )],F k ,13   F k ,01 , F k , 23   F k ,02 , k  1,2,3,     z.(3.154)Здесь   ct, где t - время и, значит,   ct  z.В результате приходим к следующей теореме.95Теорема 3.4 Существует класс осесимметричных волновых решенийуравнений Янга-Миллса (3.1)-(3.2), описываемый формулами (3.153) и(3.154).3.4 Решения уравнений Янга-Миллса, описывающие класспоперечных неабелевых волнРассмотримуравненияЯнга-Миллсав(3.1)-(3.2)случаеосесимметричных источников J k , следующего вида:J 1,0  j 0 ( ,  ), J 1,1  xj 1 ( ,  ), J 1, 2  yj 1 ( ,  ), J 1,3  j 3 ( ,  ),J 2,  J 3,  0,(  x 0  z ,   x 2  y 2 ,   const,гдеj- некоторые функции фазы волны x 0  z и радиальнойкоординаты  .Эти выражения описывают волны, распространяющиеся с фазовойскоростью c в рассматриваемых источниках поля Янга-Миллса внаправлении их оси симметрии z .Булем искать осесимметричные волновые решения уравнений ЯнгаМиллса (3.1)–(3.2) с источниками поля, задаваемыми выражениями(3.155), в видеA k ,0  u k ( ,  ), A k ,1  xv k ( ,  ), A k , 2  yv k ( ,  ), A k ,3  w k ( ,  ) .(3.156)Подставляя выражения (3.156) в формулу (3.2) для напряженностейполя F k ,  , находимF k ,01  xq k ( ,  ), F k ,02  yq k ( ,  ), F k ,03  s k ( ,  ),q  v  (1 /  )u   g klmu v , s  w  u  g klmu w ,kkklmkkklm(3.157)96где uk  u k /  , u k  u k /  , и также получаемF k ,12  0, F k ,13  xh k ( ,  ), F k , 23  yh k ( ,  ),h  (1 /  ) w  v  g klm v w .kkkl(3.158)mПодставим теперь выражения (3.155)–(3.158) для рассматриваемыхисточников поля, потенциалов и напряженностей в уравнение ЯнгаМиллса (3.1).

Характеристики

Список файлов диссертации