Диссертация (1136170), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

Тогда из нихнаходимd 2 xk() 0, k  1, 2, 3 ,dt 2x k(4.21)гдес 2 ( )x0 ( ) , t ,( )cdx k c .dt(4.22)Для определения неизвестной функции ( ) будем исходить изследующего классического принципа, придающего физический смыслпотенциалу  .Принцип 4.1 Для пробной частицы с массой покоя m0 величина m0представляет собой потенциальную энергию частицы в скалярном поле спотенциалом  .125Обратимся к динамическим уравнениям (4.21) в нерелятивистскомслучае. Учитывая (4.22), из них находимd 2 xk2  ln ( )c 0, k  1, 2, 3 .dt 2x k(4.23)Рассмотрим стационарное скалярное поле.

Тогда умножая (4.23) наm0 dx k / dt и суммируя по k, получимm0 v 2 m0 c 2 ln ( )  const,2Уравнение(4.24)представляет dx kv   k 1  dt32собой2 .нерелятивистский(4.24)законсохранения энергии для пробной частицы, движущейся в скалярном полес потенциалом  . В нем первое слагаемое представляет собойкинетическую энергию частицы, а второе – ее потенциальную энергию.С другой стороны, как следует из принципа 4.1, данный законсохранения энергии должен иметь видm0 v 2 m0  const .2(4.25)Сравнивая уравнения (4.24) и (4.25) и учитывая (4.16), приходим кследующей формуле для функции ( ) :( )  c 2 exp( / c 2 ) .(4.26)В результате приходим к следующей теореме.Теорема 4.3 Пусть потенциальная энергия частицы с массой покояm0 , находящейся в поле со скалярным потенциалом  , равна m0 .

Тогдафункция ( ) имеет вид (4.26).126Применим формулу (4.26). Тогда уравнение поля (4.2) и динамическиеуравнения (4.19) приобретут вид n  n   2  4 2  0 (t , r) exp( / c 2 ) ,(4.27)d 2 x n d dx n c 0.ds ds xnds 2(4.28)2Обобщим теперь динамические уравнения(4.28) в случае совместногодействия скалярного и векторного полей. С этой целью добавим кдействию(4.14)следующееслагаемоеS em ,соответствующееэлектромагнитному полю с потенциалами An и напряженностями Fmn[109]:S em  11ndqAdxFmn F mnd 4 x ,nc16c(4.29)гдеFmn   m An   n Am ,dq   0 dV0 , x n  x n ( ) .(4.30)(4.31)Здесь  0 и dV0 - соответственно плотность заряда и трехмерный объеммалой части источника векторного поля в сопутствующей локальноинерциальной системе, dq - заряд данной малой части источника и  произвольный временной параметр.Тогда полное действие при наличии скалярного и векторного полейпримет видS 11dm()ds0c8c2n2 24    n    d x (4.32)11  dq  An dx n Fmn F mn d 4 x.c16cПроварьируем действие (4.32) по траектории x n ( ) малой частиисточника поля с массой покоя dm0 и зарядом dq.

Тогда применяя127принцип наименьшего действия, придем к уравнениям Эйлера-Лагранжаследующего вида:m d dx n  d 2 xnn dx   0 F mdm0 ( ) 2  ( ) 0.dsdsxdsdsn (4.33)Подставляя выражение (4.26) для ( ) в уравнения (4.33) и используя(4.15) и (4.31), получаемm 2 d 2 x n d dx n  n dx 0 exp( / c ) c 0.  0 F m2dsdsxdsdsn2(4.34)Полученные уравнения (4.34) являются динамическими уравнениямидля классической частицы с массой покоя dm0 и зарядом dq , движущейсяв скалярном поле с потенциалом  и векторным полем с потенциаламиAn .Умножим уравнения (4.34) на dxn / ds и просуммируем по n. Тогдаучитывая формулы (4.20) и антисимметричность тенора Fmn , получимтождественный нуль. Это означает, что имеет место следующая теорема.Теорема 4.4Первое уравнение (n=0) в системе динамическихуравнений (4.34) является следствием остальных трех уравнений (n=1, 2.3).4.2 Релятивистская частица в юкавском и кулоновском поляхОбратимся к движению релятивистской частицы вокруг покоящегосясферического источника скалярного поля в плоскости x 3  0 .

Тогда изуравнения (4.27) в области вне источника, где  0  0 , имеем следующееклассическое решение Юкавы для скаоярного потенциала  [106, 107]128 B0exp( r ) .r(4.35)Здесь B0 - некоторая положительная константа, а r - расстояние от центраисточника.Пусть покоящийся источник имеет заряд Q. Тогда для потенциалов AnимеемA0 Q,rAk  0, k  1, 2, 3 .(4.36)Рассмотрим движение релятивистской частицы с массой покоя m0 изарядом q под действием юкавского поля с потенциалом  вида (4.35) икулоновского поля с потенциалом A0 вида (4.36).

Для этого применимдинамические уравнения (4.34).Выберем полярные координаты:x1  r cos , x 2  r sin  , x 3  0 .(4.37)Тогда левая часть последнего уравнения в (4.34) (n=3) тождественноравна нулю, как и его правая часть, а при n=1, 2 уравнения (4.34) сучетом (4.35), (4.36) и (4.37), приобретают следующий вид:B exp( r )22 m0 exp( / c 2 ) r  r 2  20(1r)(rc) cr2,(4.38)Qq1  (r 2  r 2 2 ) / c 2 .2rB exp(  r )r 2r  r  20 (1  r )  0 ,rc(4.39)где q - заряд частицы, Q – заряд источника, r  dr / d ,   d / d и  собственное время для движущейся частицы: d  ds / c .Как было сказано выше, первое уравнение в (4.34) (n=0) являетсяследствием остальных трех уравнений (n=1, 2, 3), то есть уравнений (4.38)и (4.39).129Из уравнения (4.39) получаем, что оно имеет первый интеграл:B exp(  r )r   2  20(1  r ) ,rrcd    2  B0 (1  r ) exp( r )dr ,ln   r c 2 r 2(4.40)откуда B0  (1  r ) DD2  2 exp  2 exp(r)drexp(/c),22rcrr r(4.41)где D  const и(1  r )exp(  r )dr .2rr  B0 (4.42)Для функции  имеем с помощью интегрирования по частям:11  B0  2 exp( r )dr  B0  d exp( r ) rrrrB11 B0  2 exp(  r )dr  0 exp(  r )  B0  2 exp(  r )dr .rrr0r(4.43)Следовательно,A0exp(  r ) .r(4.44)Сравнивая выражения (4.35) и (4.44), приходим к равенству   .(4.45)Полученные результаты приводят к следующей теореме.Теорема 4.5 В случае, когда потенциал  и An имеют вид (4.35)(4.36), динамические уравнения (4.34) в координатах (4.37) имеют первыйинтеграл вида (4.41), где функция  удовлетворяет равенству (4.45).130Переходя к функции r  r ( ) и полагая1r  ,(4.46)получаем, используя (4.41) и (4.45):r dr    D ( ) exp   ( ) / c 2 ,dr   D 2 2 ( ) exp(  ( ) / c 2 )d( ( ) exp( ( ) / c 2 )) .d(4.47)(4.48)После подстановки (4.46)-(4.48) в уравнение (4.38), оно примет вид    B0(1   /  ) exp(   /   2 / c 2 ) 2DQq 2 exp( / c 2 ) 1  ( D 2 / c 2 ) exp( 2 / c 2 )(  2   2 )  0,D mp(4.49)где    ( ),    d / d ,    d 2 / d 2 и, как следует из (4.35) и(4.46).   B0 exp( /  ) .(4.50)Перейдем к безразмерной форме уравнения (4.49).

Для этогоположимUB 1 , a  02 rDbBQq, d  20 .2m0 Dc(4.51)Тогда учитывая формулу (4.50), из уравнения (4.49) получаемследующее уравнение относительно функции U  U ( ) :U   U  b exp( dU exp( 1 / U ))  1  (d / a)(U  2  U 2 ) exp( 2dU exp( 1 / U ))  a(1  1 / U ) exp( 1 / U  2dU exp( 1 / U )),(4.52)131Применим это уравнение для изучения особенностей движениячастицы в юкавском и кулоновском полях.4.3 Периодические орбиты частиц в юкавском икулоновском поляхДля уравнения (4.52) было проведено большое число численныхрасчетов методом Рунге-Кутта четвертого порядка. Оно показало, что приb  0 , то есть когда заряд q движущейся частицы равен нулю илисовпадает по знаку с зарядом Q сферического источника поля, какправило, имеет место рассеяние частицы. В то же время, когда b  0 и,значит, заряды q и Q различны, существует широкий класс начальныхусловий, при которых становится возможным периодическое движениечастиц вокруг источника поля.

В частности, такие ситуации могутвозникать при движении антипротонов вокруг ядер атомов.Поиск периодических орбит частиц проводился при различныхзначениях параметров a, b, d и различных допустимых начальныхзначениях U (0)  U 0 . При этом полагалось U (0)  0 , что может бытьобеспечено для рассматриваемых периодических орбит выбором началаотсчета полярного угла.На рис. 1 - 4 изображен графики, показывающие зависимостьбезразмерного радиуса орбиты частицы r  1/ U от полярного угла  вчетырех случаях ее периодического движения.132Случай 1. На рис.

Характеристики

Список файлов диссертации