Диссертация (1136170), страница 15
Текст из файла (страница 15)
1 представлен один из редких случаеввозникновения периодической орбита частицы при b 0 . В нем U 0 0.7при a 50 , b 0.1 и d 20 .Рис. 1. Зависимость радиальной координаты частицы от полярного угла вcлучае 1На рис. 2-4 приведены графики периодических орбит частиц приотрицательных значениях параметра b. На них представлена зависимостьбезразмерного радиуса орбитыследующих трех случаях.r 1/ Uот полярного угла в133Случай 2. Периодическая орбита при U 0 0.1 , a 0.015 , b 0.1 иd 0.9 .Рис. 2.
Зависимость радиальной координаты частицы от полярного угла вслучае 2134Случай 3. Периодическая орбита при U 0 0.2 , a 0.05 , b 0.15 иd 0.1.Рис. 3. Зависимость радиальной координаты частицы от полярного угла вслучае 3.135Случай 4. Периодическая орбита при U 0 0.3 a 0.015 , b 0.1 иd 0.9 .Рис. 4. Зависимость радиальной координаты частицы от полярного угла вслучае 4.В главе 4 были использованы результаты наших работ [94, 105, 110118].1365. ЗАКЛЮЧЕНИЕВ диссертации рассмотрено несколько проблем математическойфизики, связанных с изучением систем дифференциальных уравнений,имеющих сильную нелинейность.Одна из них связана с исследованием уравнений Навье-Стокса,описывающихтечениявязкойжидкости.Эти уравненияиграютцентральную роль в гидродинамике.
Однако ввиду их существеннойнелинейности лишь в небольшом числе случаев удается найти точноерешение. Поэтому, как правило, для их решения прибегают к численнымметодам. Но во многих случаях их применение сопряжено с большимисложностями:cогромнымобъемомвычислений,особенноприрассмотрении трехмерных задач, а также с возможностью возникновениявычислительной неустойчивости. Кроме того, применение толькочисленныхметодовделаетчастоневозможнымописатьтакиеособенности течения вязкой жидкости, как турбулентность при большихчислах Рейнольдса и ее поведение на больших интервалах времени.Ввиду этих причин представляет особый интерес поиск новыхслучаев, особенно для трехмерных течений жидкости, при которыхуравнения Навье-Стокса допускают аналитические решения. Такиерешения могут не только прояснить некоторые особенности поведениявязких жидкостей, но и быть использованными для тестированиячисленных алгоритмов.В диссертации был рассмотрены некоторые случаи трехмерногоосесимметрического течения вязкой несжимаемой жидкости, в которыхмогут быть найдены новые аналитические решения уравнений НавьеСтокса.
В результате проведенных исследований были полученыследующие частные решения:1371) Компоненты скорости жидкости искались в виде рядов по степенямрадиальной координаты с коэффициентами, зависящими от времени иосевой координаты. Для данных коэффициентов была получена системадифференциальных рекуррентных соотношений. Был описан классслучаев, при которых ряды являются абсолютно сходящимися, а такжеуказаны случаи, при которых ряды становятся конечными суммами.2) Найдено частное аналитическое решение уравнений Навье-Стокса,экспоненциально затухающее при больших значениях радиальнойкоординаты.Онобылоиспользованодляописаниянекоторыхособенностей турбулентного течения при больших значениях чиселРейнольдса.3) Найдено частное аналитическое решение уравнений Навье-Стокса ссинусоидальной зависимостью от осевой координаты.
Оно былоприменено для описания некоторых случаев течения вязкой жидкостипри возникновении кавитации.Второй рассмотренный круг вопросов был связан с исследованиемуравнений Янга-Миллса, играющих важную роль в современных моделяхслабых и сильных взаимодействий. Так же, как и уравнения НавьеСтокса, уравнения Янга-Миллса имеют сильную нелинейность, чтоявляется большим препятствием для нахождения их точных решений.Целью проведенного в диссертации исследования был поискнекоторых новых решений этих уравнений. Он привел к следующимрезультатам.1)Получены стационарные сферически-симметричные решенияклассических уравнений Янга-Миллса с SU(2) симметрией.2)Найден класс нестационарных сферически-симметричныхрешений классических уравнений Янга-Миллса с SU(2) симметрией.1383)Описан класс осесимметричных волновых решений уравненийЯнга-Миллса с SU(2) симметрией.4)Получены решения уравнений Янга-Миллса с SU(2) симметрией,описывающие класс поперечных неабелевых волн.5)Найдены решения уравнений Янга-Миллса с произвольнойкомпактной полупростой группой симметрии, описывающие классрасходящихся неабелевых волн.Третийкругвопросовкасалсяисследованиянелинейныхдинамических уравнений для релятивистской частицы, движущейся подсовместным действием юкавского и кулоновского потенциалов.Исходя из принципа наименьшего действия, была определена систематаких уравнений и проведено ее исследование.В результате этого исследования было получено, что уравнения,описывающиединамикурелятивистскойчастицы,имеютпервыйинтеграл.
Использование его свело задачу к исследованию одногонелинейногодифференциальногоуравнениявторогопорядкаотносительно радиальной координаты частицы как функции ее угловойкоординаты.Проведенные расчеты для данного нелинейного дифференциальногоуравнения показали, что существуют начальные условия, при которыхчастицы могут двигаться по периодическим орбитам. В случае, когдазаряды источника кулоновского поля и частицы противоположны,имеется достаточно широкий класс таких начальных условий.139СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ1. Л. Д.
Ландау, Е. М. Лифшиц, Гидродинамика, М., Наука, 1986.2. Л. Г. Лойцянский, Механика жидкости и газа, М., Наука, 1978.3. G. Gallavotti, Foundations of Fluid Dynamics, Berlin-Heidelberg, SpringerVerlag (2002).4. O. A. Ladyzhenskaya, The Mathematical Theory of Viscous IncompressibleFlow, Gordon and Breach, New York, 1963.5.
L. Caffarelli, R. Cohn, and L. Nirenberg, Comm. Pure Appl. Math., 35, 771(1982).6. C. Foias, C. Guillopé, and R. Temam, J. Differential Equations, 57, 440(1985).7. M. E. Schonbek, Comm. Partial Differential Equations, 11, 733 (1986).8. P. Constantin, Comm.
Math. Phys., 106, 311 (1986).9. P. Constantin and C. Foias, Navier-Stokes equations, Chicago-London, TheUniversity of Chicago Press (1988).10. C. Foias and R. Temam, J. Funct. Anal., 87, 359 (1989).11. P. Constantin and C. Fefferman, Indiana Univ. Math. Journal, 42, 775(1993).12. H. Sohr, The Navier-Stokes equations, Basel, Birkhäuser Verlag (2001).13. Ya. G. Sinai, Russ. J. Math. Phys., 11, 355 (2004).14. Ya. G. Sinai, J. Stat. Phys., 121, 779 (2005).15. В.
В. Пухначев, ПМТФ, 44, 18 (2003).16. В. В. Пухначев, Успехи механики,”Симметрии в уравнениях НавьеСтокса”, 1, 6 (2006).17. P. G. Drazin and W. H. Reid, Hydrodynamic Stability, Cambridge,Cambridge University Press (1981).14018. S. Chandrasekhar, Hydrodynamic and Hydromagnetic Stability, New York,Dover (1981).19. P. Manneville, Dissipative Structures and Weak Turbulence, San Diego,Academic Press (1990).20. P.
Constantin and C. Fefferman, Nonlinearity, 7, 41 (1991).21. L. N. Trefethen, A. E. Trefethen, S. C. Reddy, and T. A. Driscoll, Science,261, 578 (1993).22. U. Fisch, Turbulence, Cambridge, Cambridge University Press (1995).23. P.
Holmes, J. L. Lumley, and G. Berkooz, Turbulence, Coherent Structures,Dynamical Systems and Symmetry, Cambridge, Cambridge University Press(1996).24. C. Godrėche and P. Manneville (eds.), Hydrodynamics and NonlinearInstabilities, Cambridge, Cambridge University Press (1998).25. Ya. G. Sinai, Physica A 263, 565 (1999).26.
G. I. Barenblatt, A. J. Chorin, and V. M. Prostokishin, J. Fluid Mech., 410,263 (2000).27. C. Foias, O. Manley, R. Rosa, and R. Temam, Navier-Stokes equations andturbulence, Cambridge, Cambridge University Press (2001).28. C. Foias, D. Holm, and E. Titi, Physica D 152, 505 (2001).29. P. J. Schmid and D. S. Henningson, Stability and Transition in ShearFlows, New York, Springer-Verlag (2001).30. A. Majda and A. Bertozzi, Vorticity and incompressible flow, CambridgeTexts in Applied Mathematics, Cambridge, Cambridge University Press(2002).31. S. Baroud, B.
Plapp, Z.-S. She, and H. Swinney, Phys. Rev. Lett., 88,114501 (2002).32. C. Bardos, M. C. Lopes Filho, Dongjuan Niu, H. J. Nussenzveig Lopes,and E. S. Titi, SIAM J. Math. Anal., 45. 1871 (2013).14133. K. R. Rajagopal and A. S. Gupta, Int. J. Eng. Sci., 19, 1009 (1981).34. E. D. Siggia, J. Fluid Mech., 107, 37 (1981).35. W.
H. Hui, J. Appl. Math. Phys., 38, 689 (1987).36. C Childress, G. R. Terley, E. A. Spiegel, and W. R. Young, J. Fluid Mech.,203, 1 (1989).37. C. Y. Wang, Ann. Rev. Fluid Mech., 23, 159 (1991).38. Vincent and M. Meneguzzi, J. Fluid Mech., 225, 1, (1991).39. O. P. Chandna and E. O. Oku-Ukpong, Int. J. Math.
and Math. Sci., 17, 155(1994).40. F. Labropulu, Acta Mechanica, 141, 11 (2000).41. H. G. Choe and J. Lewis, J. Funct. Anal., 175, 348 (2000).42. D. Chae and J. Lee, Nonlinear Anal., 46, 727 (2001).43. M. Jamil, Int. J. Nonlin. Sci., 9, 296 (2010).44. D. Li, Ya. G. Sinai, Adv. Math., 229, 1976 (2012).45. R.
Temam Navier-Stokes equations. Theory and Numerical Analysis,Amsterdam-New York-Oxford, North-Holland Publishing Company (1977).46. J. Kim and P. Moin, J. Comput. Phys., 59, 308 (1985).47. J. B. Bell, P. Colella, and H. M. Glaz, J. Comput. Phys., 85, 257 (1989).48. G. E. Kamiadakis, M. Israeli, and S. A. Orszag, J.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
