Диссертация (1136170), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

, являются ортогональнойсистемой в области 0  s  1 и любая непрерывная функцияf (s) ,определенная в этой области, может быть представлена в виде ряда [61]f ( s)   f m(  ) J  (k m(  ) s), 0  s  1 ,(2.51)m 1гдеf m(  )12 2sf ( s) J  (k m(  ) s)ds, m  1, 2, 3, .... .( ) J  1 (k m ) 0(2.52)Поэтому коэффициенты Am в (2.50) могут быть выбраны так, чтобыудовлетворить начальному условию при t  0 :  (0, r )   0 (r ) , где  0 (r ) произвольная непрерывная функция.Аналогично, чтобы удовлетворить начальному условию для функции при t  0 , нужно выбрать числа  m в виде( m / ) r0  l m , m  1, 2, 3, ...

,(2.53)гле l m - различные нули бесселевой функции J 0 ( x) : 0  l1  l2  l3  ...,J 0 (l m )  0 , m  1, 2, 3, ... .Из формул (2.46) и (2.53) получаем  c(t )  D0 r 1222r02 l 2m J 0 lm r / r0   1 exp lm2 t / r02 .Dm1(2.54)mКак следует из (2.48) и (2.54),c(t ) 12D0 r022r02 l 2m exp lm2 t / r02 .Dm1(2.55)mТаким образом, полученные формулы (2.50), (2.54) и (2.55) описываютрешенияуравненийНавье-Стокса,удовлетворяющиеусловиям (2.48) в рассматриваемом случае (2.44).граничным46 0При  A0 .Приизэтихформулнаходим2r0  AmDm2221Jkr/r,D(rr)2rJ 0 lm r / r0  ,   01 m000022r m1 k mlm1 m(2.56) 0формулы(2.50),(2.54)и(2.55)дают,что (t )  0 и  (t )  0 при t   .2.4.3 Класс решений, зависящих от одной функции независимыхпеременных t и zРассмотрим случайa0  0, c0  c(t , z), d 0  D  const ,(2.57)где c(t , z ) - некоторая дифференцируемая функция.

Тогда из формул(2.25)-(2.27) находимa n  0, d n1  0, cn 2  cn11c  ,n0,cD1224(n  2) 2(2.58)и, следовательно,cn  (1) nc z( 2 n ), n  2,4 n (n!) 2(2.59)где c z( k )   k c / z k .Из формул (2.19), (2.22) и (2.57)-(2.59) получаем следующее решениеуравнений (2.15):( 2 n 1) 2 n( 2n) 2nrr1 Dr 2 n 1 c zn cz  0,    (1),  c  (1) n.n22 n 024 (n  1)!n!4(n!)n 1(2.60)47Когдас z( n)  K (t , z )  , n  0,    z   , где K (t , z ) - некотораяnположительная функция, два ряда в (2.60) – абсолютно сходящиеся прилюбых r и z .Таким образом, приходим к следующей теореме:Теорема 2.4 Существует класс частных решений уравнений НавьеСтокса (2.1)-(2.2), описываемых формулами (2.5) и (2.60).Следует подчеркнуть, что формулы (2.60) дают выражения длявектора скорости v, которые не зависят от кинематической вязкости  .Поэтому эти формулы могут быть применены как к уравнениям НавьеСтокса, так и к уравнениям Эйлера.Как можно легко проверить, функции  и  , которые определяются поформулам(2.60),удовлетворяютравенствам rr  3 r / r   zz  0,  rr   r / r   zz  2D .

Следовательно, из (2.16)получаем, что в рассматриваемом случае функции  и qзависят отпараметра  при D  0 .Нужно отметить, что когда функция c(t , z )   j 0 w j (t ) z j , где w j (t ) Mпроизвольные функции и M –произвольное неотрицательное целое число,из (2.60) получаем конечные суммы для функций  и  .Исследуемый случай (2.57) может быть рассмотрен как предельный,когда   0 при следующих функциях a0 , c0 и d 0 :a0  u0 (t , z), c0  c(t , z), d 0  D  const ,(2.61)где  - малый параметр и u 0 (t , z ) - некоторая дифференцируемаяфункция.48Тогда, как следует из (2.26) и (2.27), выражения (2.60) для функций и  являются приближенными и их отклонения от точных выраженийбудут O( 2 ) .Рассмотрим теперь частный случайc(t , z )   C m (t ) sin m (t ) z   m (t )  ,(2.62)m 1где Сm (t ), m (t ) и  m (t ) - некоторые дифференцируемые функции от t  0и бесконечная последовательность C m (t ) - абсолютно суммируема длялюбого t  0 .Тогда из (2.60) получаемm (t ) r 2n1 ,    C m (t ) cosm (t ) z   m (t )  n2 m1n 0 4 ( n  1)!n!2 n 1 (t ) r 2n1.   Dr 2   C m (t ) sin m (t ) z   m (t )  m n224(n!)m 1n 0(2.63)2nИспользуя модифицированные бесселевы функции(2.64)I 0 ( x ) и I1 ( x )первого рода, эти выражения могут быть представлены как1     C m (t ) cosm (t ) z   m (t )  I1 m (t )r  ,r m1(2.65)1 2    Dr   C m (t ) sin m (t ) z   m (t )  I 0 m (t )r .2m 1(2.66)Как хорошо известно, при x   функции I 0 ( x) и I1 ( x) имеютасимптотический видex1  O( x 1 ) and I 0 ( x)  I 0 ( x), I1 ( x)   I1 ( x) .2xСледовательно, формулы (2.65)-(2.66) могут быть применены кконечной пространственной области.

В частности, эти формулы могут49быть применены к жидкости, занимающей цилиндрическую область0  r  r0 , где r0 - некоторый конечный радиус.Пустьm (t )  (t )m , где (t ) - некоторая дифференцируемаяфункция. Тогда формулы (2.65)-(2.66) будут соответствовать некоторымграничным условиям при r  r0 для функций  и  , являющихсяпериодическими по аргументу z.2.5 Частное аналитическое решение уравнений Навье-Стокса,экспоненциально затухающее при больших значениях радиальнойкоординатыРассмотрим осесимметричные решения уравнений Навье-Стокса (2.1)и(2.2),обладающиеследующимисвойствамивнекоторойпространственной области:1) Компоненты v1 и v2 вектора скорости независимы от координаты z.2) Компонента v3 равна нулю при z  0 .Тогда, как следует из (2.5) и (2.6), функции  ,  ,  должны иметь вид  a(t , r ),   b(t , r ),   zc (t , r ) ,(2.67)где a(t , r ), b(t , r ) и c(t , r ) - некоторые дифференцируемые функции.Булем предполагать, что диапазон, в котором изменяется переменная z, является конечным в рассматриваемой пространственной области.

Чтокасается всего пространства или полупространства z  0 , для нихформулы (2.67) дают бесконечные энергии.Их уравнений (2.10) и (2.11) и формул (2.67) находимqr  rs 0 (t , r ), q z  zs (t , r ) ,где s0 и s - некоторые функции.Как следует из (2.68), qrz  0 и, следовательно,(2.68)50s  s(t ), q  d (t , r )  12 z 2 s(t ), d r  rs 0 (t , r ) ,(2.69)где s - некоторая функция от t.Подставляя выражения (2.67) и (2.69) в уравнения (2.6) и (2.9)-(2.11),приходим к уравнениямc  rbr  2b ,(2.70)at  b(ra r  2a)  (arr  3ar / r )  0 ,(2.71)bt  b(rbr  b)  a 2  (brr  3br / r )  s0 (t , r ) ,(2.72)ct  rbc r  c 2  (crr  cr / r )  s(t ) .(2.73)Теперь нашей целью будет найти частные решения уравнений (2.70),(2.71) и (2.73).

Используя их м формулы (2.69) и (2.72), мы можем такжеопределить выражения для функции q  p /  .Положимa  A(t , r ) / r 2 , b  B(t , r ) / r 2 , c  C (t , r ) / r 2 ,(2.74)где A, B, C - некоторые дифференцируемые функции от t и r.Тогда находимra r  2a  Ar / r , a rr  3a r / r  (ra r  2a) r / r  ( Arr  Ar / r ) / r 2 ,rbr  2b  Br / r , brr  3br / r  ( Brr  Br / r ) / r 2 ,(2.75)c r  (C r  2C / r ) / r 2 , c rr  c r / r  (C rr  3C r / r  4C / r 2 ) / r 2и уравнения (2.70)-(2.73) приобретают видC  rBr ,(2.76)At  (  B) Ar / r Arr  0,(2.77)Bt  B( Br  B / r ) / r  A2 / r 2  ( Brr  Br / r )  s0 (t , r )r 2 , (2.78)Ct  B(Cr  2C / r ) / r  C 2 / r 2  (Crr  3Cr / r  4C / r 2 )  s(t )r 2 . (2.79)Substituting expression (2.76) for C into Eq.

(2.79), получаемBrrr  (  B)(Brr  Br / r ) / r  Br2 / r  Btr  s(t )r ,(2.80)51где Br  B / r , Btr   2 B / tr , Brr   2 B / r 2 , Brrr   3 B / r 3 .Выберем следующие безразмерные переменные  ,  и безразмерныефункции P( , ), Q( , ), S 0 ( , ), S ( ) :  (V* / l* )t ,   (r / l* ) 2 , A(t , r )  P( , ), B(t , r )  Q( , ),s 0 (t , r )  (V* / l* ) S 0 ( , ), s(t )  (V* / l* ) S ( ),2(2.81)2где V* - средняя абсолютная величина скорости жидкости и l* - еехарактерный линейный размер.Тогда находимV* Pr P   2 P P ,At , Ar  2 2, Arr  2 2  2 2 l*  l* l*  V* QV* r  2 Qr QBt , Br  2 2, Btr  2 3,l* l* l*  Brr  2  Q Q r   Q Q.2,B423rrr2 24 32 l*  l*   23(2.82)(2.83)2Подставляя выражения (2.81)-(2.83) в уравнения (2.77), (2.78) и (2.80),получаем4P  2QP  Re P  0, Re  V*l* / , P  P( , ) ,(2.84)Re Q  4Q  Q(2Q  Q /  )  P 2 /   Re 2 S 0 ( , ) , Q  Q( , ) , (2.85)4(Q  Q )  2(QQ  Q2 )  Re Q  12 Re 2 S ( ) ,гдеQ  Q /  , Q    2Q /  , Q  Q /  ,Q   2Q /  2 , Q   3Q /  3и константа Re - число Рейнольдса.(2.86)52Таким образом, мы приходим к двум дифференциальным уравнениямвчастныхпроизводных(2.84)и(2.86)относительнофункцийP( , ) и Q( , ) и выражению (2.85) относительно функции S 0 ( , ) .Далеебудемисследоватьчастныерешениянелинейногодифференциального уравнения (2.86) относительно функции Q( , ) .Используя его, можно будет найти другую функцию P( , ) , решаялинейное дифференциальное уравнение в частных производных (2.84).Рассмотрим дифференциальные уравнения (2.84)-(2.86) и выберемследующую форму для функций P( , ) и Q( , ) , содержащихся в них:P  F ( ,  ), Q  G( ,  ),   Re .(2.87)Тогда получимP  Re F /  , P  Re 2  2 F /  2 , P  F /  ,Q  Re G /  , Q   Re  2G /  , Q  Re 2  2G /  2 ,(2.88)Q  Re 3  3G /  3 .Подставляя (2.87) и (2.88) в уравнения (2.84)-(2.86), находим4F  2GF  F  0, F  F ( ,  ),(2.89)S 0 ( ,  )  G  4G  G(2G  G /  )  F 2 /  , G  G( ,  ) , (2.90)4(G  G )  2(GG  G 2 )  G  12 S ( ) ,(2.91)гдеG  G /  , G    2G/ , G  G /  ,G   2G /  2 , G   3G /  3 .Обратимся к уравнению (2.91) и будем искать его частные решения вследующей форме:G  K 0 ( )e f ( )  K1 ( )  K 2 ( ) ,где f и K i - некоторые дифференцируемые функции аргумента  .(2.92)53G  K1 ( )  K 0 ( ) f ( )e f ( ) ,G   K 1 ( )  [ K 0 ( ) f ( )  K 0 ( ) f ( )(1  f ( ) )]e f ( ) ,(2.93)G  K 0 ( ) f 2 ( )e f ( ) , G  K 0 ( ) f 3 ( )e f ( ) ,где f ( )  df / d .Используя (2.92) и (2.93), находимGG  G2  )  K 0 ( ) f ( )[(K 2 ( )  K1 ( ) ) f ( )  2 K1 ( )]e K12 (f ( )(2.94).Подставляя формулы (2.92)-(2.94) в уравнение (2.91), получаем2 K12  K 1  {K 0 [2 f 2 (2  K 2 )  4 K1 f  f ]  K 0 f  K 0 f [2 f (2 f  K1 )  f ]}ef S.(2.95)12Это уравнение дает2 f (2 f  K1 )  f  0 ,(2.96)K 0 [2 f 2 (2  K 2 )  4K1 f  f ]  K 0 f  0 ,2 K12  K 1  12 S .(2.97)(2.98)После использования уравнения (2.96), уравнение (2.97) приобретаетболее простой видK 0 / K 0  2(3K1  K 2 f ) .(2.99)Полученные уравнения (2.96), (2.98) и (2.99) представляют собой триуравнения относительно функцийS ( ), f ( )иK 0 ( ), K1 ( ), K 2 ( ) .Используя эти решения и формулу (2.92) для функции G( ,  ) , можноопределить частные решения для уравнения (2.91).

После того, какфункция G( ,  ) будет определена, функция F ( ,  ) может быть найдена54Из формул (2.5), (2.67), (2.74), (2.76), (2.81), (2.87), и выражения в(2.84) для числа Re, получаем следующие выражения для компонент viвектора скорости:v1   [ F ( ,  ) y  G ( ,  ) x] / r 2 , v2   [ F ( ,  ) x  G( ,  ) y ] / r 2 ,v3  2V*G ( ,  ) z / l* .(2.100)Применим полученные выше результаты для нахождения частногорешенияприt0уравненийНавье-Стокса,удовлетворяющиеvi  0 при t  0 и при r  0(2.101)следующим начальным условиям:и сингулярны при r  0 .Такое решение может быть использовано для описания взрыва,происходящего вдоль оси z при t=0 в несжимаемой вязкой жидкости.Нужно отметить, что вопрос о возможных решениях уравнений НавьеСтокса, сингулярных при t  0 , изучался в работах [62, 63].Потребуем, чтобы при t  0 функции vi удовлетворяли следующимграничным условиям на бесконечности:rvi  0, r  , i  1, 2, 3 .(2.102)Тогда из (2.100) найдемF ( , )  G( , )  G ( , )  0 .(2.103)Используя формулы (2.92) и (2.103), получаем следующие решенияуравнений (2.96), (2.98) и (2.99):K1  K 2  S  0, K 0  const,f 1,4(2.104)сингулярные в начальный момент t  0 .Формулы (2.92) и (2.104) дают  G  K 0 exp   . 4 (2.105)55стремящееся к нулю при t  0  , когда r  0 .Полученная формула (2.105), где K 0 - произвольная константа,представляет собой частное решение уравнения (2.91) при S  0 ,согласующееся с условиями (2.103).Рассмотримтеперьуравнениеи(2.89)будемискатьегорешение F ( ,  ) в видеF  H ( ),  ,4(2.106)где H ( ) - некоторая дифференцируемая функция.Тогда находимF  H ( )H ( )H ( )., F , F 416 2(2.107)Подставляя формулы (2.105)-(2.107) в уравнение (2.89) и умножая егона  , получаемH ( )  (  12 K 0 e  ) H ( )  0 .(2.108)Из уравнения(2.108) легко находимH   M 1 exp   K 0 Ei(  ) , Ei( x) 12 x sesds ,(2.109)где M1  const и Ei( x) - экспоненциальный интеграл.ЭтодаетфункцииF  H ( ) ,F  H ( )  M 1  exp   12 K 0 Ei ( ) d .(2.110)следующуюформулудляудовлетворяющей условию для нее в (2.103):Используя (2.105), (2.106), (2.110) и формулу для  в (2.81), получаемv1 r2 H ( ) y  K e  x ,0v3 v2 rK 0 e z,2t2H ( ) x  K e  y ,0(2.111)56где K 0 - константа, функция H ( ) определяется формулой (2.110) и, какследует из (2.106) и выражений для  ,  ,  и Re в (2.81), (2.84) и (2.87),переменная  имеет вид(r / l* ) 2 r 2.  Re44t(2.112)Формулы (2.111) и (2.112) определены при 0  t   и удовлетворяютграничным условиям (2.102).Таким образом приходим к следующей теореме:Теорема 2.5 Существует решение уравнений Навье-Стокса (2.1)-(2.2)вида (2.111), удовлетворяющее начальным условиям (2.101) и граничнымусловиям (2.102).Как следует из (2.110), H ( )  0 при    .

Характеристики

Список файлов диссертации