Диссертация (1136170), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Обратимся вначале кстационарному сферически–симметричному случаюJ 1,0  c (r ), J 1,l  0, l  1,2,3,J2,J3,(1.63) 0, r  ( x )  ( x )  ( x ) ,1 22 23 2где  (r ) - плотность заряда источника, x1 , x 2 , x 3 - декартовы координатыс началом в центре источника, r – расстояние от точки источника до егоцентра.В этом случае решения данных уравнений можно искать в видеAk ,0  0,A2,lA1,l  x l [u (r ) x 0  u0 (r )], k , l  1,2,3, x [v(r ) x  v0 (r )], Al03,l x [ w(r ) x  w0 (r )], x  ct ,l0(1.64)0где u, u0 , v, v0 , w, w0 - некоторые функции от r и t – время.Тогда формулы (1.61) для напряженностей поля даютF 1,0l  x l u (r ), F 2,0l  x l v(r ), F 3,0l  x l w(r )Fk ,ml 0, k , m, l  1,2,3.(1.65)Формулы (1.65) означают, что напряженности данного поля ЯнгаМиллса является стационарными, однако им отвечают нестационарныепотенциалы вида (1.64).Подставляя выражения (1.63)-(1.65) в уравнения Янга-Миллса (1.60),приходим к следующей системе уравнений:ru  3u  gr 2 (wv0  vw0 )  4 ,(1.66)rv  3v  gr 2 (uw0  wu 0 )  0, rw  3w  gr 2 (vu0  uv0 )  0 .(1.67)20Выражая w0 и v0 из уравнений (1.67) и подставляя в (1.66), приходимк уравнениюr (u 2  v 2  w2 )  6(u 2  v 2  w2 )  8 u ,являющемусяединственнымдифференциальным(1.68)соотношением,которому должны удовлетворять три функции u(r ), v(r ) и w(r ) .Длявыделенияоднозначногорешенияизучаемыхуравненийрассмотрим наряду с компонентами плотности 4-тока источника J k ,также следующие компоненты:I k ,  J k ,  ( gc / 4 ) klm F l , Am ,(1.69)которые, как следует из (1.60), удовлетворяют дифференциальномууравнению сохранения  I k ,  0 и потому могут быть отождествлены скомпонентами плотности полного 4-тока.

Используя их, можно добавитьследующее релятивистски-инвариантное условие к уравнениям Янга–Миллса:I k , I k ,  J k , J k , ,выражающеесохранениесобственнойэлектрической(1.70)энергиивисточнике.Как показывается в главе 2, применение уравнений (1.68)-(1.70)приводит к следующим формулам для компонентов F 1,l 0 напряженностиполя:F 1,l 0  K sin( q(r ) / K ) x l / r 3 , F 2,l 0  F 3,l 0  2 1/ 2 K[1  cos(q / K )]x j / r 3 ,(1.71)где K  const и q(r ) представляет собой заряд шара радиуса r с центром вначале координат.211.3.2 Решение уравнений Янга-Миллса для нестационарныхсферически симметрических источниковВ главе 2 проведено исследование уравнений Янга–Миллса (1.60)(1.61) с источниками вида(4 / c) J 1,0  j 0 (t , r ), (4 / c) J 1,l  x l j (t , r ), l  1,2,3,J2,J3, 0, t  x / c, r  ( x )  ( x )  ( x ) ,021 22 2(1.72)3 2где t - время и r - расстояние от центра источника.Потенциалы поля ищутся в видеA1,0   0 (t , r ), A2,0   0 (t , r ), A3,0   0 (t , r ),A  x  (t , r ), A1,ll2,l x  (t , r ), Al3,l x  (t , r ).(1.73)lТогда из (1.61) получаем следующие выражения для напряженностейполя:F k ,ml  0, k , m, l  1,2,3,F1, 0l x u (t , r ), Fl2, 0l x v(t , r ), Fl3, 0l x w(t , r ),(1.74)lгдеu  (1 / c) / t  (1 / r ) 0 / r  g ( 0    0 ),v  (1 / c) / t  (1 / r ) 0 / r  g ( 0   0 ),(1.75)w  (1 / c) / t  (1 / r ) 0 / r  g (  0   0  ).Уравнения Янга–Миллса (1.60) приводят к системе уравненийru / r  3u  gr 2 ( w  v )   j 0 ,rv / r  3v  gr 2 (u  w )  0,rw / r  3w  gr 2 (v  u )  0,(1.76)22(1 / c)u / t  g (v 0  w 0 )  j ,(1 / c)v / t  g ( w 0  u 0 )  0,(1.77)(1 / c)w / t  g (u 0  v 0 )  0.Исследование системы (1.76)-(1.77) приводит к следующим точнымвыражениямдляфункцийu(t , r ), v(t , r ) и w(t , r ) ,определяющимнапряженности поля Янга-Миллса:ru  P(q) / r 3 , v  Q(q) / r 3 , w  S (q) / r 3 , q   r 2 j 0 (t , r )dr ,0(1.78)где P, Q, S - дифференцируемые функции аргумента q представляетсобой заряд сферической области радиуса r в момент t, а P, Q, S –дифференцируемыефункцииаргументаq,удовлетворяющиесоотношениюPdP / dq  QdQ / dq  SdS / dq   P .(1.79)Применение также условия (1.70) приводит к следующим формуламдля функций P, Q, R:P(q)  K sin( q / K ), Q(q)  S (q)  2 1 / 2 K[1  cos(q / K )] ,(1.80)где K - константа.Полученные формулы позволяют обобщить приведенное вышестационарное решение со сферической симметрией на нестационарныйсферически-симметричный случай.1.3.3 Осесимметричные волновые решения уравнений Янга–МиллсаОбратимся к волновым решениям уравнений Янга–Миллса (1.60) –(1.61) вне источников поля, где J k ,  0 .

Они ищутся в виде23Ak ,0   k ,0 ,A k ,1  ( k ,1 x   k , 2 y ) /  ,A k , 2  ( k ,1 y   k , 2 x) /  , A k ,3   k ,3 ,k ,k ,(1.81)( ,  , z ),   x ,   ( x  y ) ,022 1/2x  x1 , y  x 2 , z  x 3 .Тогда для напряженностей поля находимF k ,01  ( f k ,1 x  f k , 2 y ) /  , F k ,02  ( f k ,1 y  f k , 2 x) /  , F k ,03  f k ,3 ,F k ,12  f k , 4 , F k ,13  ( f k ,5 x  f k ,6 y ) /  , F k , 23  ( f k ,5 y  f k ,6 x) /  ,f k ,q  f k ,q ( ,  , z ), q  1, 2, ..., 6.(1.82)Рассмотрим компоненты потенциалов  k , , имеющие вид 1,0  0,  2,0  P( ,  ),  3,0  Q( ,  ),     z,1, 2  ( ) / g, 2,23,2 0, k ,1 0, k ,3(1.83)k ,0,где P( ,  ), Q( ,  ) и  (  ) - некоторые дифференцируемые функции.Тогда получаемf 1,1  0,f 2,1  P ,f 3,1  Q ,f 1, 2  0,f 2, 2  Q,f 3, 2  P,f k ,3  0, f 1, 4  (    /  ) / g , f 2, 4  f 3, 4  0, f k ,5   f k ,1 , f k ,6   f k , 2(1.84)и уравнения Янга-Миллса даютP  P /    2 P  0, Q  Q /    2 Q  0, (    /  )  0.

(1.85)Из уравнений (1.85) приходим к следующим волновым решениям,затухающим на бесконечности:  b /  , P  G(  z ) /  b , Q  H (  z ) /  b ,   x 0 , (1.86)где G и H-произвольныедифференцируемыепроизвольная ненулевая константа.функциииb-241.3.4 Неабелевые расходящиеся волныВдиссертацииисследуютсянеабелевыерасходящиесяволны,излучаемые космическими источниками полей Янга-Миллса в случае Nпараметрической калибровочной группы. Вне своих источников поляЯнга-Миллса описываются уравнениями  F a,  f abc Ab F c,  0 ,(1.87)F a,    Aa,   Aa,  f abc Ab, Ac, ,где ,  0,1,2,3, a, b, c  1,2,...,N , Aa, и F a,-(1.88)соответственнопотенциалы и напряженности поля Янга-Миллса, f abc - структурныеконстанты N-параметрической калибровочной группы и     / x  , гдеx  - прямоугольные пространственно-временные координаты геометрииМинковского.Волновые решения уравнений (1.87)-(1.88) ищутся в видеA a ,0  u a ( y 0 , y1 , y 2 , y3 ), A a ,l  ( x l / r ) A a ,0 ,y 0  x 0  r , yl  x l ,l  1, 2, 3, a  1,2,...,N , r  ( x1 ) 2  ( x 2 ) 2  ( x 3 ) 2 ,(1.89)гдеua-некоторыефункцииволновойфазыy0  x 0  rипространственных координат yl  x l .В диссертации изучается наиболее интересный с точки зренияфизических приложений случай калибровочных групп с компактнойполупростойалгебройЛи,которомусоответствуютполностьюантисимметричные структурные константы f abc .

Тогда после подстановкивыражений (1.89) в формулу (1.88) для напряженностей поля ЯнгаМиллса находим25F a,0n  u a / y n , F a,in  (1 / r )( yi u a / y n  yn u a / yi ), i, n  1,2,3.(1.90)Далее проводится анализ уравнений Янга-Миллса (1.87), в которыхпотенциалы и напряженности имеют вид (1.89) и (1.90). В результатеприходим к выводу, что функции u a имеют следующий вид:u a  s a ( y0 ) / r  g a ( y0 , 1 ,  2 ,  3 ),  i  yi / r ,(1.91)где g a - функции, удовлетворяющие уравнениям2 ag a  32g a2  g  1   i  2  2 i  i     i k  i  k  s a ( y0 )  f abc g b s c ( y0 ),i 1 i i 13ik(1.92)и  i  yi / r удовлетворяют соотношению12   22   32  1.(1.93)Ввиду (1.93), аргументы  i функций g a можно выразить через дванезависимых аргумента. В качестве них удобно выбрать следующие: 1  1  1 ,   arctg 2 .g a ( y0 , 1 ,  2 ,  3 )  h a ( y0 , ,  ),   ln 2  1  1  3 (1.94)Тогда, как показывают вычисления, из уравнений (1.92) приходим кследующим уравнениям:(1.95)h a  v a ( y0 , ,  )   ( y0 )s a ( y0 ) ln( ch )  d a ( y0 )(1.96) 2ha  2ha 1  th 2 s a ( y0 )  f abch b s c ( y0 ) .22где s a  ds a / dy0 .Положими выберем (N+1) функцию  ( y0 ) и d a ( y0 ) так, чтобы выполнялись Nравенств26s a ( y0 )   ( y0 )s a ( y0 )  f abcd b ( y0 )s c ( y0 )  0 .(1.97)Тогда уравнений (1.95) получаем 2v a  2v a 1  th 2 f abcv b ( y0 ) s c ( y0 ), v a  v a ( y0 , ,  ).

(1.98)22Решения этих уравнений ищутся в видеMv ( y0 , , )  Re Vna ( y0 , ) exp n(  i ) ,a(1.99)n 0где n, M – неотрицательные целые числа,   12 (1  th ) и Vna ( y0 , ) - рядпо степеням  :Vna  aj ,n ( y0 ) j ,(1.100)j 0где aj ,n ( y0 ) - некоторые комплексные функции.В результате находим, что функции aj,n удовлетворяют рекуррентнымсоотношениямaj 1,nгдекомплексныеj ( j  1)aj ,n  f abcbj ,n s c( j  1)( j  1  n)функции,j  0, 1, 2,...,a0,n  a0,n ( y0 ) могутбыть(1.101)выбраныпроизвольно.В главе 3 показывается абсолютная сходимость ряда (1.100) при  1 (  ) .В результате находится класс волновых решений уравнений ЯнгаМиллса (1.87)-(1.88), определенных вне нижней полуоси x1 .271.4 Исследование нелинейных уравнений релятивистскогодвижения частиц под действием юкавского и кулоновскогопотенциалов1.4.1 Классические уравнения движения релятивистских частицпод действием скалярного и векторного поляРассмотрим релятивистскую частицу с массой покоя m0 , движущуюсяпод действием скалярного поля с потенциалом  .

Будем проводитьисследование в классическом приближении и для описания ее движенияиспользуем принцип наименьшего действия. С этой целью применимследующее выражение для действия S:t2S  m0 c  ( )ds, (0)  0 ,(1.102)t1где ds 2  dxn dx n , x n - пространственно-временные координаты, c –скорость света, ( ) -некоторая функция потенциала  и t1 , t 2 - моментывремени с фиксированными значениями координат частицы. Действие(1.102) является релятивистски-инвариантным и при   0 совпадает схорошо известным классическим выражением.Варьируя (1.102) по траекториям x n (s) , из принципа наименьшегодействия: S  0 находим, что в инерциальной системе координат( )dxn  d ()  0,ds x n ds (1.103)откуда получаем d dx n  d 2 xn  0 ,( )  ( )2dsdsxdsn где d / ds   / x n dx n / ds .(1.104)28Для нахождения неизвестной функции ( ) применим следующийпринцип, касающийся физического смысла скалярного потенциала  .Потенциальной энергией частицы с массой покоя m0 , движущейсяпод действием поля с потенциалом  , является выражение m0 .Используя этот принцип, в главе 4 находится следующий вид функции( ) .( )  exp( / c 2 ) .(1.105)Рассмотрим теперь движение частицы при совместном действиискалярного поля с потенциалом  и векторного поля с потенциаламиAn , n  0, 1, 2, 3 .В этом случае вместо действия (1.102) будем иметьследующее действие:t2tq 2S  m0 c  ( )ds   An dx n ,ctt1( )  exp( / c 2 ) .(1.106)1Варьируя теперь действие S по траекториям x n (s) и применяяпринцип наименьшего действия, приходим к следующим уравнениям винерциальной системе отсчета:m d 2 x n d dx n  n dxm0 exp( / c 2 ) c 2qF 0 , (1.107)m2dsdsxdsdsn где Fnm  Am / x n  An / x m - тензор напряженностей векторного поля иq - заряд движущейся в нем частицы.Отметим, что если умножить левую часть (188) на dx n / ds ипросуммироватьпоn,то,какнесложноубедиться,получитсятождественный нуль.

Характеристики

Список файлов диссертации