Диссертация (1136170), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

(1.10)В результате рассматриваемая задача сводится к нахождениюрешений системы уравнений (1.6)-(1.9) или системы (1.6), (1.7) и (1.10) споследующим определением функции q из (1.8)-(1.9).111.2.2 Описание осесимметричных течений вязкой жидкости в видестепенных системы по радиальной координатеРешения рассматриваемых уравнений ищутся в следующем виде:   a n (t , z )r ,    bn (t , z )r ,    cn (t , z )r 2 n ,2n2nn 0n 0(1.11)n 0где an , bn , cn - некоторые функции переменных t и z, в областисходимости данных степенных рядов.Тогда для функции  в (1.10) находим   z   r / r   d n (t , z )r 2 n ,(1.12)n 0гдеd n (t , z )  bn  2(n  1)cn1 , bn  bn / z .(1.13)Подстановка формул (1.11) и (1.12) в три уравнения (1.6), (1.7) и (1.10)приводит к следующей системе рекуррентных соотношений:a n1n(n  k  1)a k cnk  (k  1)a k cn k1 a n  a n  4 (n  1)(n  2) n  k 1k 0 ,(1.14)d n1n(n  k  1)(2a k ank  d k cnk )  kdk cn k1 d n d n  4 (n  1)(n  2) n  k 1k 0 ,(1.15)c n1  c n 1  d n .2(n  1) 2(n  1) (1.16)где n  0, 1, 2, ...

, a n  an / t , an  an / z, an   2 an / z 2 .Вэтойсистемефункцииa0 (t , z ), c0 (t , z ) и d 0 (t , z )являютсяпроизвольными бесконечное число раз дифференцируемыми функциями.12Рассмотрим теперь три случая, в которых рекуррентные соотношения(1.14)-(1.16)даютрешенияуравненийНавье-Стоксаприлюбыхзначениях переменных t , z и r .1.2.2.1 Класс решений в замкнутой формеОбратимся к случаюa0  a(t ), c0  g (t )  zh(t ), d 0  0 ,(1.17)где a(t ), g (t ) и h(t ) - некоторые дифференцируемые функции. Тогда из(1.14)-(1.16) получаемan  an (t ), cn1 (t )  0, d n  0, n  0, 1, 2, ...,(1.18)где функции a n (t ) удовлетворяют рекуррентному соотношениюa n1 a n  (n  1)ha n, n  0, 1, 2, ...., h  h(t ), a n  a n (t ).4 (n  1)(n  2)(1.19)Из (1.11) и (1.19) приходим к решениюN   an (t )r 2n ,    12 h(t ),   g (t )  zh (t ) ,(1.20)n 0где t a n1 ( )a n  4 (n  1)(n  2) An (t ) d  C n  , An ( )0tAn (t )  exp (n  1)  h( )d  ,0(1.21)n  N , N  1, ..., 0 , C n - произвольные константы и an  0 при n  N  1.1.2.2.2 Класс решений, не зависящих от zРассмотрим случайa0  a(t ), c0  c(t ), d 0  d (t ) .(1.22)где a(t ), c(t ) и d (t ) - некоторые дифференцируемые функции.

Тогда из(1.14)-(1.16) находим13an  an (t ), cn  cn (t ), d n  d n (t ), n  0 ,a n1 (1.23)a nd ndn, d n1 , cn1  ,4 (n  1)(n  2)4 (n  1)(n  2)2(n  1)(1.24)откуда находимa ( n) (t )d ( n) (t )1d ( n) (t )an , dn , cn1  , n  0,2 (4 ) n (n  1)!2(4 ) n n!(n  1)!(4 ) n n!(n  1)!(1.25)где a (0) (t )  a(t ) .В результате получаемa ( n ) (t ) r 2 n1  d ( n ) (t ) r 2( n1)  a(t )  ,   0,   c(t )  .n2n2(4)n!(n1)!(4)(n1)!n 1n 0(1.26)Когдаa ( n) (t )   A(t )  и d ( n) (t )  D(t )  , n  0 , гдеnnA(t ) и D(t )-некоторые положительные функции, два ряда в (1.26) – абсолютносходящиеся при любых r.

В частности, эти условия выполняются, когдафункции a(t ) и d (t ) являются конечными суммами выражений видаCe t sin(t   ) , где C,  , ,  - константы.1.2.2.3 Класс решений, зависящих от одной функции аргументов t и zРассмотрим случайa0  0, c0  c(t , z ), d 0  D  const ,(1.27)где c(t , z ) - некоторая дифференцируемая функция. Тогда из формул(1.14)-(1.16) находимa n  0, d n1  0, cn 2  и, следовательно,cn11c  ,n0,cD (1.28)1224(n  2) 214c z( 2 n )cn  (1) n, n  2,4 (n!) 2n(1.29)где c z( k )   k c / z k .В результате получаем( 2 n 1) 2 n( 2n) 2nrr1 Dr 2 n 1 c zn cz  0,    (1),  c  (1) n.n22 n 024 (n  1)!n!4(n!)n 1(1.30)Когда с z( n)  K (t , z )  , n  0,    z   , где K (t , z ) - некотораяnположительная функция, оба ряда в (1.30) являются абсолютносходящимися при любых значениях r и z .1.2.3 Частное аналитическое решение уравнений Навье-Стокса,экспоненциально затухающее при больших значениях радиальнойкоординатыОбратимся к уравнениям Навье-Стокса (1.6)-(1.9) в рассматриваемомосесимметричном случае.

Будем искать частное решение этих уравненийв виде  A(t , r ) / r 2 ,   B(t , r ) / r 2 ,   C (t , r ) z / r 2 , q  q(t , r ) , (1.31)где A, B, C. q - некоторые функции аргументов t и r.Тогда уравнения (1.6)-(1.9) дадутC  rBr ,Перейдемфункциям:At  (  B) Ar / r  Arr  0 ,(1.32)Bt  B( Br  B / r ) / r  A2 / r 2  ( Brr  Br / r )  rq r ,(1.33)Brr  (  B)(Brr  Br / r ) / r  Br 2 / r  Btr  0 .(1.34)теперькследующимбезразмернымаргументами15  (V* / l* )t ,   (r / l* ) 2 , P( , )  A(t , r ) / , Q( , )  B(t , r ) / ,S ( , )  (q r / r )(l* / V* ) ,(1.35)2где V* - среднее абсолютное значение скорости жидкости и l* - еехарактерный размер. В результате из уравнений (1.32)-(1.34) получим4P  2QP  Re P  0, Re  V*l* / , P  P( , ) ,(1.36)Re Q  4Q  Q(2Q  Q /  )  P 2 /   Re 2 S ( , ) , Q  Q( , ) , (1.37)4(Q  Q )  2(QQ  Q )  Re Q  0 ,2(1.38)где Re – число Рейнольдса.Исследование этих уравнений приводит к следующемучастномурешению: r2Q  K exp  4 ,(1.39)r2P  M  exp s  KEi ( s) ds,  ,4t12(1.40)где Ei(x) – экспоненциальный интеграл.Данное решение экспоненциально затухает при r   .Что касается функции S ( , ) , то она определяется из (1.37) и (1.39).1.2.4 Частное аналитическое решение уравнений Навье-Стокса дляжидкостп с кавитациейБудем теперь искать решение уравнений Навье-Стокса (1.6)-(1.9) ввидеFzFrA,,,rr2r2(1.41)где A  A(t , r , z ) и F  F (t , r , z ) - некоторые дифференцируемые функции.Тогда уравнение (1.6) будет тождественно выполняться.16Подстановка выражений (1.41) для  ,  ,  в уравнения (1.7)-(1.9) даетAt  ( Ar Fz  Az Fr ) / r  ( Arr  Ar / r  Azz )  0 ,Ftz  ( Fr Fzz  Fz Frz ) / r  ( A2  Fz ) / r 2  ( Frrz  Frz / r  Fzzz ) 2(1.42)1rp r ,(1.43)Ftr  ( Fr Frz  Fz Frr ) / r  Fr Fz / r 2  ( Frrr  Frr / r  Fr / r 2  Frzz )  1rp z .(1.44)Выберем переменную   r 2 вместо r.

Тогда функции p, A и F могутбыть представлены какp  p(t , , z ), A  A(t , , z ), F  F (t , , z ),   r 2 .(1.45)Подставляя выражения (1.45) в уравнения (1.42)-(1.44), приходим кследующим уравнениям:At  2( A Fz  Az F )  (4A  Azz )  0 ,(1.46)Ftz  2( F Fzz  Fz Fz )  ( A2  Fz ) /   (4Fz  Fzzz )  (2 /  )p , (1.47)2Ft  2( F Fz  Fz F )  (4F  4F  Fzz )  (1/  ) p z / 2 .(1.48)Будем искать частные решения уравнений (1.46)-(1.48) в видеp  p(t , ), A(t , , z)  F (t , , z),   const  0 .(1.49)Тогда уравнения (1.46)-(1.48) приобретают видFt  (4F  Fzz )  0 .2( F Fzz  Fz Fz )  (2 F 2  Fz ) /  (2 /  )p ,2F Fz  Fz F  0 .(1.50)(1.51)(1.52)Рассмотрим решения данных уравнений, имеющие видF  U (t , ) sin(z   ),   const ,где U (t , ) - некоторая дифференцируемая функция.(1.53)17Тогда, подставляя выражения (1.53) в уравнения (1.50)-(1.52),получаемU t  (4U  2U )  0 ,(1.54)(2 /  )p  2U (2U  U /  ) ,(1.55)U  UU  0 .2(1.56)Уравнение (1.55) приводит к следующему выражению для давления p:p  p* (t )  2U 22r 2,(1.57)где p* (t ) - некоторая непрерывная и положительная функция.Уравнения же (1.54) и (1.56) имеют следующее решение: 2r2  .U  h0 exp   t 4t(1.58)Из )1.49), (1.53) и (1.58) находим 2r2  sin( z   ), A  F .F  h0 exp   t 4t(1.59)В результате приходим к частному решению уравнений Навье-Стокса.Это решение обладает следующими свойствами при t  0 :1) Компоненты скорости vi экспоненциально стремятся к нулю приr   и при t   , и при   0 , и имеют синусоидальную зависимостьот координаты z.2) При t  0  и r  0 функции vi стремятся к нулю.3) Функция p   при r  0 .

Это означает, что радиальнаякоордината r должна быть положительной, чтобы давления p врассматриваемойжидкостибылиположительными.Болеетого,координата r для ее точек должна удовлетворять неравенству r  r0 (t )  0 .Здесь величины r  r0 (t ) отвечают достаточно малой положительнойвеличине давления p в жидкости, при котором начинает возникать18явление кавитации.

В этом случае нарушается непрерывность в течениижидкости и возникает полость, заполненная ее паром.Следовательно,полученноерешениеприменимокобласти,занимаемой жидкостью и удовлетворяющей неравенству r  r0 (t )  0 . Чтокасается области r  r0 (t ) , то она соответствует полости, заполненнойпаром данной жидкости.1.3 Новые классы решений классических уравнений Янга–Миллса1.3.1 Стационарное сферически симметричное решение уравненийЯнга-МиллсаОбратимся к уравнениям Янга–Миллса с SU(2) симметрией. Онимогут быть представлены в виде  F k ,  g klm F l , Am  (4 / c) J k , ,(1.60)F k ,    Ak ,   Ak ,  g klm Al , Am, ,(1.61)где  ,  0,1,2,3, k , l , m  1,2,3, Ak , , F k , - соответственно потенциалы инапряженности поля Янга-Миллса,  klm - антисимметрический тензор,123  1 , g - константа электрослабых взаимодействий, J k , - три 4-вектораплотностей токов.Рассмотримуравнения(1.60)-(1.61)вслучаемногочастичныхисточников, для которых может быть применено квазиклассическоеприближение и для которых источники поля имеют видJ 1,  J  , J 2,  J 3,  0 ,где J  - классический 4-вектор плотности тока.(1.62)19Тогда уравнения Янга-Миллса при потенциалах A2,  A3,  0 будутпереходить в уравнения Максвелла относительно потенциалов A1, .Поэтому они могут рассматриваться как нелинейное обобщениеуравнений Максвелла.В главе 3 будут рассматриваться нетривиальные решения уравненийЯнга–Миллса (1.60)-(1.61) с источниками (1.62).

Характеристики

Список файлов диссертации