Диссертация (1136170), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Это означает, что первое уравнение (n=0) в системединамических уравнений (1.107) является следствием остальных трехуравнений (n=1,2,3).291.4.2 Движение релятивистской частицы в юкавском и кулоновскомполяхОбратимся к движению релятивистской частицы с массой покоя m0 изарядом q под действием юкавского потенциала  и кулоновскогопотенциала A0 , создаваемых покоящимся сферическим источником сцентром в начале пространственных координат.Для данных потенциалов имеемfrhr   exp(r ),   0, A0  ,A1  A2  A3  0 .(1.108)Здесь f , h,   const и r - расстояние от начала пространственныхкоординат.Пусть частица движется в плоскости x 3  0 . Перейдем теперь кполярным координатам r и  :x1  r cos , x 2  r sin  , x 3  0 .(1.109)Тогда левая часть последнего уравнения в (1.107) (n=3) тождественноравна нулю, как и его правая часть, а при n=1,2 уравнения (188) с учетом(1.108), приобретают, как показывают вычисления, следующий вид:f exp(  r )m0 exp( / c 2 ) r  r 2  2(1  r )(r 2  c 2 ) 2cr(1.110)hq 2 1  (r 2  r 2 2 ) / c 2 ,rf exp(  r )r 2r  r  2 (1  r )  0 ,rc(1.111)где r  dr / d ,   d / d и  - собственное время для движущейсячастицы: d  ds / c .30Как было сказано выше, первое уравнение в (188) (n=0) являетсяследствием остальных трех уравнений (n=1,2,3), то есть уравнений (191) и(192).Из уравнения (1.111) следует первый интеграл f  (1  r )D  2 exp  2 exp(r)dr,2r c r rD  const .(1.112)Вычисление интеграла в (1.112) приводит к следующей формуле: Df2exp(r)/c,(r)exp( r ) .rr2(1.113)Перейдем теперь к функции r  r ( ) и положим1r .(1.114)Тогда получим после ряда вычислений, используя первый интеграл(1.113), что уравнение (1.110) приобретет форму    f(1   /  ) exp(   /   2 / c 2 ) 2Dhq 2exp( / c 2 ) 1  ( D 2 / c 2 ) exp( 2 / c 2 )(  2   2 )  0,D mp(1.115)Перейдем к безразмерной форме данного уравнения, полагаяUТогдаизfhqf, a, b, g 2.22Dm0 Dcуравнения(1.115)получаемследующее(1.116)уравнениеотносительно функции U  U ( ) :U   U  b exp(  gU exp( 1 / U ))  1  ( g / a)(U  2  U 2 ) exp( 2 gU exp( 1 / U ))  a(1  1 / U ) exp( 1 / U  2 gU exp( 1 / U )) .(1.117)31Для уравнения (1.117) проводилась серия численных расчетовметодом Рунге-Кутта четвертого порядка.

Они проводились приразличных значениях параметров a, b, g и U 0  U (0) . При этомполагалось U (0)  0 . Тогда угол   0 соответствует точке экстремумафункции r ( ) . Эти расчеты показали, что при определенных значенияхего параметров становится возможным движение релятивистских частицв поле юкавских и кулоновских сил по замкнутым орбитам.Научные положения, выносимые на защиту:1)Новыеклассыосесимметричныханалитическихрешенийуравнений Навье-Стокса в виде степенных рядов по радиальнойкоординате с коэффициентами, зависящими от времени и осевойкоординаты.2) Новые частные точные решения специального вида для трехмерныхуравнений Навье-Стокса и их особенности при больших числахРейнольдса, когда становится возможным турбулентное течение вязкойжидкости, а также при возникновении явления кавитации.3) Новые классы стационарных и нестационарных сферическисимметричных решений уравнений Янга–Миллса.4) Новые типы осесимметричных неабелевых волновых решений ирешений в виде неабелевых расходящихся волн.5) Исследование системы нелинейных дифференциальных уравненийдля описания движения релятивистской частицы под действиемцентральных сил юкавского и кулоновского типов.Достоверностьполученныхрезультатов.Проведенныеисследования опираются на строгий математический анализ изучаемых32нелинейных дифференциальных уравнений и аналитические формынайденных для них решений.Апробация работы.

Материалы диссертации докладывались насеминарах в МГУ им. М.В. Ломоносова (2000, 2009, 2012, 2017), в РУДН(1998, 2003, 2005, 2012), в Институте ядерных исследований РАН (2004),в Математическом институте им. В.А. Стеклова РАН (2009, 2010), вИнституте общей физики им. А.М.

Прохорова РАН (2009), в Институтекосмических исследований РАН (2009), в Институте прикладнойматематики им. М.В. Келдыша РАН (2010, 2012), на 10-ой, 11-ой, 12-ой,16-ой и 17-ой Международных школах – семинарах по теоретической иматематической физике (Казань, 1998, 1999, 2000, 2004, 2005), на 11-ойМеждународной конференции европейского физического общества(Лондон, 1999), на 13-ой Ломоносовской конференции по физикеэлементарныхчастиц(Москва,2007),на1-ойМеждународнойконференции по теоретической физике в МГОУ (Москва, 2011), на 48-ой,49-ой, 50-ой, 51-ой и 52-ой Всероссийских конференциях по проблемамфизикичастиц,физикиплазмыиконденсированныхсред,оптоэлектроники в Российском университете дружбы народов (Москва,2012, 2013, 2014, 2015, 2016) и на семинаре Я.

Г. Синая в Институтепроблем передачи информации РАН им. А. А.Харкевича (2016).33ГЛАВА 2НЕКОТОРЫЕ НОВЫЕ ТИПЫ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХРЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ-СТОКСА2.1 Осесимметричные течения несжимаемой вязкой жидкостиРассмотрим уравнения Навье-Стокса, описывающие однороднуюнесжимаемую жидкость. Они могут быть представлены в виде [1-3]vvvv1 v1 v2 v3  grad p  f  v ,txyz(2.1)div v  0 ,(2.2)где v=v(t,x,y,z) – вектор скорости, p=p(t,x,y,z) -давление, v1 , v2 , v3 проекции вектора v на оси x, y, z, t - время, f=f(t,x,y,z) –вектор силы,приходящейся на единицу массы рассматриваемой жидкости,  - ееплотность и  - кинематическая вязкость.УравненияНавье-Стокса–центральныеуравнениямеханикижидкости и газа и им посвящено огромное число работ.

В этихисследованиях рассматриваются общие вопросы гидродинамики [1-16],проблемыгидродинамическойтурбулентности[17-32],устойчивости,специальныевопросынеустойчивостейдинамикиивязкихжидкостей [33-44] и численные методы в гидродинамике [45-60]. Однаковвидусущественнойнелинейностигидродинамическихуравнений,только небольшое число классов их аналитических решений.

Обзор ианализ точных решений уравнений Навье-Стокса приведен в статье [16].Далее будем рассматривать случай, в котором сила f потенциальна.Тогда для ее потенциала  имеем равенствоf  grad  .В данном случае уравнения (2.1) и (2.3) можно переписать как(2.3)34vvvv v1 v2 v3 grad q  v, q   p /    . (2.4)txyzУравненияшироко(2.4)используютсявастрономическихисследованиях, где функция  является гравитационным потенциалом.Нужно отметить, что дифференциальные уравнения (2.2) и (2.4)описывают вектор-функцию v и, вместо давления p, скалярную функциюq. Однако, когда потенциал  известен и функция q найдена, давление pможно определить с помощью равенства p    (q  ) .Вдальнейшембудемисследоватьосесимметричныерешенияуравнений Навье-Стокса.

Для этого будем искать компоненты v1 , v2 , v3вектор-функции v и скалярную функцию q в следующем виде:v1  y  x, v2  x  y, v3   ,    (t , r , z ),   (t , r , z ),    (t , r , z ), q  q(t , r , z ), r  x  y .2(2.5)2Здесь функция  представляет собой угловую скорость вращения точекжидкости вокруг оси z, а функции  и  описывают соответственно ихскорость в радиальном направлении, перпендикулярном оси z и скоростьв направлении этой оси.Подставляя выражения (2.5) в уравнение (2.2), находимr r  2   z  0 ,(2.6)где  r   / r ,  z   / z .Используя (2.5), после несложных вычислений получаемv1v1vv v 2 1  v3 1  (r r   z  2 ) y  (r r   z   2   2 ) x,xyzv1v 2vv v 2 2  v3 2  (r r   z  2 ) x  (r r   z   2   2 ) y,xyzv1v3vv v 2 3  v3 3  r r   z .xyz35(2.7)Для компонент лапласиана v находимv1  ( rr  3 r / r   zz ) y  (  rr  3 r / r   zz ) x,v2  ( rr  3 r / r   zz ) x  (  rr  3 r / r   zz ) y,(2.8)v3   rr   r / r   zz ,где  rr   2 / r 2 ,  zz   2 / z 2 .Подставим теперь формулы (2.5), (2.7) и (2.8) в уравнения НавьеСтокса(2.4).Тогдапридемкследующимтремнелинейнымдифференциальным уравнениям в частных производных: t   (r r  2 )   z  ( rr  3 r / r   zz )  0,  t   / t , t   (r r   )   z   2  ( rr  3 r / r   zz )  qr / r , t  r r   z  ( rr   r / r   zz )  q z .(2.9)(2.10)(2.11)Ниже будем исследовать полученные четыре дифференциальныхуравнения в частных производных (2.6) и (2.9)-(2.11) относительнонеизвестных функций  ,  ,  и q и приведем их к нелинейной системетрехдифференциальныхуравненийвчастныхпроизводныхотносительно неизвестных функций  ,  и  .

Затем будем искать функции ,  и  в виде рядов по четным степеням r с коэффициентами,зависящими от t и z, и получим рекуррентные соотношения для этихкоэффициентов. Анализируя данные соотношения, мы придем у тремчастным случаям, в которых рассматриваемые степенные ряды лаютаналитические решения уравнений Навье-Стокса при дюбых значенияхкоординат t, z и r.362.2 Следствия уравнений Навье-Стокса в случае осевой симметрииРассмотрим полученные уравнения (2.9)-(2.11). Вначале исключим вних функцию q. С этой целью продифференцируем уравнения (2.10) и(11) соответственно по переменным z и r и используем очевидноеравенство qr / z  q z / r . Тогда найдем t   (r r   )   z   2   (  rr  3 r / r   zz )z1  t  r r   z  ( rr   r / r   zz ).r r(2.12)Как может быть легко проверено, данное уравнение можнопредставить в виде tz   z (r r  2 )  r rz   z  z   zz  2 z   (  rrz  3 rz / r   zzz ) ( r / r ) t  (r r  2 )( r / r )  r ( r / r ) r   z ( r / r )   ( r / r ) z  [( r / r ) rr  (3 / r )( r / r ) r  ( r / r ) zz ].(2.13)После исключения  z с помощью равенства (2.6):  z  r r  2 ,уравнение (2.13) приобретает следующий вид:2 z  (  z   r / r ) t  r (  z   r / r ) r   (  z   r / r ) z  [( z   r / r ) rr  (3 / r )( z   r / r ) r  (  z   r / r ) zz ].(2.14)В результате полученные уравнения (2.6), (2.9) и (2.14) можнопредставить как z  r r  2 , 2   t  r r   z   ( rr  3 r / r   zz ),(2.15)2 z   t  r r   z   ( rr  3 r / r   zz ),    z   r / r.Для определения функции q   p /    и, следовательно, давленияp, обратимся к уравнениям (2.10) и (2.11).

Характеристики

Список файлов диссертации